# 线性代数

## 线性变换

每列代表一个基向量，行数代码这个基向量所张成空间的维度，二行三列表示二维空间的三个基向量。

- 二维标准基矩阵（单位矩阵）：  
  $$
  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | \\ \mathbf{i} & \mathbf{j} \\ | & | \end{bmatrix}
  $$

- 三维标准基矩阵（单位矩阵）：  
  $$
  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | & | \\ \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ | & | & | \end{bmatrix}
  $$

### **矩阵乘向量**

在 3blue1brown 的“线性代数的本质”系列中，他把矩阵乘向量的运算解释为**线性组合**和**线性变换**的过程。具体来说：

- **计算方法**  
  给定一个 $ m \times n $ 的矩阵 $ A $ 和一个 $ n $ 维向量 $ \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T $，矩阵与向量的乘积可以表示为：
  $$
  A\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n
  $$
  其中，$\mathbf{a}_i$ 表示 $ A $ 的第 $ i $ 列向量。也就是说，我们用向量 $\mathbf{x}$ 的各个分量作为权重，对矩阵的各列进行线性组合。

  例如：矩阵 $ A $ 是一个二阶矩阵：

  $$
  A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
  $$

  向量 $ \mathbf{x} $ 是一个二维列向量：

  $$
  \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
  $$

  可以将这个乘法看作是用 $ x $ 和 $ y $ 这两个数，分别对矩阵的两列向量进行加权：

  $$
  A\mathbf{x} = x \cdot \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y \cdot \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}
  $$

  也就是说，矩阵乘向量的结果，是“矩阵每一列”乘以“向量中对应的分量”，再把它们加起来。

- **背后的思想**  

  1. **分解为基向量的组合**：  
     任何向量都可以看作是标准基向量的线性组合。矩阵 $ A $ 在几何上代表了一个线性变换，而标准基向量在这个变换下会分别被映射到新的位置，也就是矩阵的各列。  

  2. **构造变换**：  
     当我们用 $\mathbf{x}$ 的分量对这些映射后的基向量加权求和时，就得到了 $ \mathbf{x} $ 在变换后的结果。这种方式不仅方便计算，而且直观地展示了线性变换如何“重塑”空间——每一列告诉我们基向量被如何移动，然后这些移动按比例组合出最终向量的位置。



### **矩阵乘矩阵**

当你有两个矩阵 $ A $ 和 $ B $，矩阵乘法 $ AB $ 实际上代表的是：

> 先对向量应用 $ B $ 的线性变换，再应用 $ A $ 的线性变换。

也就是说：

$$
(AB)\vec{v} = A(B\vec{v})
$$

**3blue1brown 的直觉解释：**

矩阵 B：提供了新的**变换后基向量**  

记住：矩阵的每一列，表示标准基向量 $ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 $ 在变换后的样子。

所以：

- $ B $ 是一个变换，它把空间“拉伸/旋转/压缩”成新的形状；
- $ A $ 接着又对这个已经变形的空间进行变换。

例：
$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$

- $ B $ 的列是：
  - $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ → 第一个标准基向量变形后的位置
  - $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ → 第二个标准基向量变形后的位置

我们计算：

- $ A \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $
- $ A \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} $

所以：

$$
AB = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}
$$

这个新矩阵 $ AB $ 的列向量，表示标准基向量在经历了 **“先 B 再 A”** 的变换后，落在了哪里。



## 行列式

3blue1brown讲解行列式时，核心在于用几何直观来理解行列式的意义：

缩放比例！！！

**体积（或面积）的伸缩因子**
对于二维空间中的2×2矩阵，行列式的绝对值表示该矩阵作为线性变换时，对**单位正方形**施加变换后得到的平行四边形的面积。类似地，对于三维空间中的3×3矩阵，行列式的绝对值就是单位立方体变换后的平行六面体的体积。也就是说，行列式告诉我们这个变换如何“拉伸”或“压缩”空间。

**方向的指示（有向面积或体积）**
行列式不仅仅给出伸缩倍数，还通过正负号反映了变换是否保持了原来的方向（正）还是发生了翻转（负）。例如，在二维中，如果行列式为负，说明变换过程中存在翻转（类似镜像效果）。

**变换的可逆性**
当行列式为零时，说明该线性变换把空间**压缩到了低维**（例如二维变一条线，三维变成一个平面或线），这意味着信息在变换过程中丢失，变换不可逆。

![image-20250323104603200](https://pic.bitday.top/i/2025/03/23/j1llgr-0.png)



## 逆矩阵、列空间、零空间

### **逆矩阵**

逆矩阵描述了一个矩阵所代表的线性变换的**“反过程”**。假设矩阵 $A$ 对空间做了某种变换（比如旋转、拉伸或压缩），那么 $A^{-1}$ 就是把这个变换“逆转”，把变换后的向量再映射回原来的位置。  

前提是$A$ 是可逆的，即它对应的变换不会把空间压缩到更低的维度。

### 秩

秩等于矩阵列向量（或行向量）**所生成的空间的维数**。例如，在二维中，如果一个 $2 \times 2$ 矩阵的秩是 2，说明这个变换把平面“充满”；如果秩为 1，则所有输出都落在一条直线上，说明变换“丢失”了一个维度。

### 列空间

列空间是矩阵所有列向量的线性组合所构成的集合（也可以说所有可能的**输出向量**$A\mathbf{x}$所构成的集合）。  比如一个二维变换的列空间可能是整个平面，也可能只是一条直线，这取决于矩阵的秩。

### 零空间

零空间（又称核、kernel）是所有在该矩阵作用（线性变换$A$）下变成零向量的**输入向量**的集合。 

它展示了变换中哪些方向被“压缩”成了一个点（原点）。例如，在三维中，如果一个矩阵将所有向量沿某个方向压缩到零，那么这个方向构成了零空间。

零空间解释了$Ax=0$的解的集合，就是齐次的通解。如果满秩，零空间只有唯一解零向量。

### 求解线性方程

设线性方程组写作  
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
$$
这相当于在问：“有没有一个向量 $\mathbf{x}$ ，它经过矩阵 $A$ 的变换后，恰好落在 $\mathbf{b}$ 所在的位置？”  

- 如果 $\mathbf{b}$ 落在 $A$ 的列空间内，那么就存在解。解可能是唯一的（当矩阵满秩时）或无穷多（当零空间非平凡时）。  
- 如果 $\mathbf{b}$ 不在列空间内，则说明 $\mathbf{b}$ 不可能由 $A$ 的列向量线性组合得到，这时方程组无解。  
- 唯一解对应于所有这些几何对象在一点相交；  
- 无限多解对应于它们沿着某个方向重合；  
- 无解则说明这些对象根本没有公共交点。



## 基变换

新基下的变换矩阵 $A_C$ 为：
$$
A_C = P^{-1} A P
$$

$P$：从原基到新基的**基变换矩阵**（可逆），$P$的每一列代表了新基中的一个基向量

$A$：线性变换 $T$ 在**原基**下的矩阵表示

原来空间中进行$A$线性变换等同于新基的视角下进行 $A_C$ 变换



## 点积、哈达马积

**向量点积（Dot Product）**

3blue1brown认为，两个向量的点乘就是将其中一个向量转为线性变换。

假设有两个向量  
$$
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}.
$$

$$
\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} =\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}=v_1w_1 + v_2w_2..
$$



- **结果**：  
  点积的结果是一个**标量**（即一个数）。
- **几何意义**：  
  点积可以衡量两个向量的相似性，或者计算一个向量在另一个向量方向上的投影。



**哈达马积（Hadamard Product）**

- **定义**：  
  对于两个向量 $\mathbf{u} = [u_1, u_2, \dots, u_n]$ 和 $\mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$，它们的哈达马积定义为：
  $$
  \mathbf{u} \circ \mathbf{v} = [u_1 v_1, u_2 v_2, \dots, u_n v_n].
  $$

- **结果**：  
  哈达马积的结果是一个**向量**，其每个分量是对应位置的分量相乘。

- **几何意义**：  
  哈达马积通常用于逐元素操作，比如在神经网络中对两个向量进行逐元素相乘。

矩阵也有哈达马积！。



## 特征值和特征向量

设矩阵：

$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}
$$

步骤 1：求特征值

构造特征方程：

$$
\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 0 = 0
$$

解得：

$$
(2-\lambda)(3-\lambda) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 3
$$

步骤 2：求特征向量

- 对于 $\lambda_1 = 2$：
  解方程：

$$
  (A - 2I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 \\ 0 & 3-2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$$

  从第一行 $x_2 = 0$。因此特征向量可以写成：

$$
  \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍})
$$

- 对于 $\lambda_2 = 3$：
  解方程：

$$
  (A - 3I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2-3 & 1 \\ 0 & 3-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_1+x_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$$

  从第一行得 $-x_1 + x_2 = 0$ 或 $x_2 = x_1$。因此特征向量可以写成：

$$
  \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍})
$$



**设一个对角矩阵**：
$$
D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix}
$$

$$
\lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2
$$

对角矩阵的特征方程为：

$$
\det(D - \lambda I) = (d_1 - \lambda)(d_2 - \lambda) = 0
$$

因此特征值是：

$$
\lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2
$$

- 对于 $\lambda_1 = d_1$，方程 $(D-d_1I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 得到：

$$
  \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d_2-d_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ (d_2-d_1)x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$$

  若 $d_1 \neq d_2$，则必须有 $x_2=0$，而 $x_1$ 可任意取非零值，因此特征向量为：

$$
  \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$$

- 对于 $\lambda_2 = d_2$，类似地解得：

$$
  \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$



## 矩阵乘法

**全连接神经网络** 

![image-20250316145729703](https://pic.bitday.top/i/2025/03/23/j1lnso-0.png)

其中：

- $a^{(0)}$ 是输入向量，表示当前**层**的输入。
- $\mathbf{W}$ 是权重矩阵，表示输入向量到输出向量的线性变换。
- $b$ 是偏置向量，用于调整输出。
- $\sigma$ 是激活函数（如 ReLU、Sigmoid 等），用于引入非线性。

- **输入向量 $a^{(0)}$**：

$$
  a^{(0)} = \begin{pmatrix}
  a_0^{(0)} \\
  a_1^{(0)} \\
  \vdots \\
  a_n^{(0)}
  \end{pmatrix}
$$

  这是一个 $n+1$ 维的列向量，表示输入特征。

- **权重矩阵 $\mathbf{W}$**：

$$
  \mathbf{W} = \begin{pmatrix}
  w_{0,0} & w_{0,1} & \cdots & w_{0,n} \\
  w_{1,0} & w_{1,1} & \cdots & w_{1,n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  w_{k,0} & w_{k,1} & \cdots & w_{k,n} \\
  \end{pmatrix}
$$

  这是一个 $k \times (n+1)$ 的矩阵，其中 $k$ 是输出向量的维度，$n+1$ 是输入向量的维度。

- **偏置向量 $b$**：

$$
  b = \begin{pmatrix}
  b_0 \\
  b_1 \\
  \vdots \\
  b_k
  \end{pmatrix}
$$

  这是一个 $k$ 维的列向量，用于调整输出。





1. 在传统的连续时间 RNN 写法里，常见的是

$$
   \sum_{j} W_{ij} \, \sigma(x_j),
$$

   这代表对所有神经元 $j$ 的激活 $\sigma(x_j)$ 做加权求和，再求和到神经元 $i$。

   如果拆开来看，每个输出分量也都含一个求和 $\sum_{j}$：

   - 输出向量的第 1 个分量（记作第 1 行的结果）：

$$
     (W_r x)_1 = 0.3 \cdot x_1 + (-0.5) \cdot x_2 = 0.3 \cdot 2 + (-0.5) \cdot 1 = 0.6 - 0.5 = 0.1.
$$

   - 输出向量的第 2 个分量（第 2 行的结果）：

$$
     (W_r x)_2 = 1.2 \cdot x_1 + 0.4 \cdot x_2 = 1.2 \cdot 2 + 0.4 \cdot 1 = 2.4 + 0.4 = 2.8.
$$

   

2. 在使用矩阵乘法时，你可以写成

$$
   y = W_r \, \sigma(x),
$$

   其中 $\sigma$ 表示对 $x$ 的各分量先做激活，接着用 $W_r$ 乘上去。这就是把“$\sum_j \dots$”用矩阵乘法隐藏了。

$$
\begin{pmatrix}
0.3 & -0.5\\
1.2 & \;\,0.4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.3 \times 2 + (-0.5) \times 1\\[6pt]
1.2 \times 2 + 0.4 \times 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.6 - 0.5\\
2.4 + 0.4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.1\\
2.8
\end{pmatrix}.
$$



## 奇异值

**定义**

对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其奇异值是非负实数 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_r$（$r = \min(m, n)$），满足存在正交矩阵 $U$ 和 $V$，使得：

$$
A = U \Sigma V^T
$$

其中，$\Sigma$ 是对角矩阵，对角线上的元素即为奇异值。

---



**主要特点**

1. **非负性**：奇异值总是非负的。
2. 对角矩阵的奇异值是对角线元素的**绝对值**。
3. **降序排列**：通常按从大到小排列，即 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots \geq \sigma_r \geq 0$。
4. **矩阵分解**：奇异值分解（SVD）将矩阵分解为三个矩阵的乘积，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵。
5. **应用广泛**：奇异值在数据降维、噪声过滤、图像压缩等领域有广泛应用。

---

### 奇异值求解

奇异值可以通过计算矩阵 $A^T A$ 或 $A A^T$ 的特征值的**平方根**得到。

**步骤 1：计算 $A^T A$**

首先，我们计算矩阵 $A$ 的转置 $A^T$：

$$
A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}
$$

然后，计算 $A^T A$：

$$
A^T A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}
$$

**步骤 2：计算 $A^T A$ 的特征值**

接下来，我们计算 $A^T A$ 的特征值。特征值 $\lambda$ 满足以下特征方程：

$$
\det(A^T A - \lambda I) = 0
$$

即：

$$
\det \begin{pmatrix} 9 - \lambda & 0 \\ 0 & 16 - \lambda \end{pmatrix} = (9 - \lambda)(16 - \lambda) = 0
$$

解这个方程，我们得到两个特征值：

$$
\lambda_1 = 16, \quad \lambda_2 = 9
$$

**步骤 3：计算奇异值**

奇异值是特征值的平方根，因此我们计算：

$$
\sigma_1 = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{16} = 4
$$

$$
\sigma_2 = \sqrt{\lambda_2} = \sqrt{9} = 3
$$

**结果**

矩阵 $A$ 的奇异值为 **4** 和 **3**。



### 奇异值分解

给定一个实矩阵 $A$（形状为 $m \times n$），SVD 是将它分解为：

$$
A = U \Sigma V^T
$$

1. **构造 $A^T A$**  
   - 计算对称矩阵 $A^T A$（$n \times n$）

2. **求解 $A^T A$ 的特征值和特征向量**  
   - 设特征值为 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n \geq 0$
   - 对应特征向量为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$

3. **计算奇异值**  
   - $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$

4. **构造矩阵 $V$**  
   - 将*正交归一*的特征向量作为列向量：$V = [\mathbf{v}_1 | \mathbf{v}_2 | \dots | \mathbf{v}_n]$

5. **求矩阵 $U$**  
   - 对每个非零奇异值：$\mathbf{u}_i = \frac{A \mathbf{v}_i}{\sigma_i}$
   - 标准化（保证向量长度为 1）后组成 $U = [\mathbf{u}_1 | \mathbf{u}_2 | \dots | \mathbf{u}_m]$

6. **构造 $\Sigma$**  
   - 对角线放置奇异值：$\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_p)$，$p=\min(m,n)$



## 范数

### **L2范数定义**：  

对于一个向量 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_n]$，L2 范数定义为  
$$
\|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_n^2}
$$

假设一个权重向量为 $\mathbf{w} = [3, -4]$，则  
$$
\|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
$$


**用途**：  

- **正则化（L2正则化/权重衰减）**：在训练过程中，加入 L2 正则项有助于防止模型过拟合。正则化项通常是权重的 L2 范数的平方，例如  

$$
  \lambda \|\mathbf{w}\|_2^2
$$

  其中 $\lambda$ 是正则化系数。

- **梯度裁剪**：在 RNN 等深度网络中，通过计算梯度的 L2 范数来判断是否需要对梯度进行裁剪，从而防止梯度爆炸。



**具体例子**：  

假设我们有一个简单的线性回归模型，损失函数为均方误差（MSE）：
$$
L(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf{x}_i)^2
$$
其中，$N$ 是样本数量，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$\mathbf{x}_i$ 是第 $i$ 个样本的特征向量，$\mathbf{w}$ 是权重向量。

加入 L2 正则项后，新的损失函数为：
$$
L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf{x}_i)^2 + \lambda \|\mathbf{w}\|_2^2
$$

在训练过程中，优化算法会同时最小化原始损失函数和正则项，从而在拟合训练数据的同时，避免权重值过大。

**梯度更新**

在梯度下降算法中，权重 $\mathbf{w}$ 的更新公式为：
$$
\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w})
$$
其中，$\eta$ 是学习率，$\nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w})$ 是损失函数关于 $\mathbf{w}$ 的梯度。

对于加入 L2 正则项的损失函数，梯度为：
$$
\nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w}
$$
因此，权重更新公式变为：
$$
\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta (\nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w})
$$

通过加入 L2 正则项，模型在训练过程中不仅会最小化原始损失函数，还会尽量减小权重的大小，从而避免过拟合。正则化系数 $\lambda$ 控制着正则化项的强度，较大的 $\lambda$ 会导致权重更小，模型更简单，但可能会欠拟合；较小的 $\lambda$ 则可能无法有效防止过拟合。因此，选择合适的 $\lambda$ 是使用 L2 正则化的关键。



### 矩阵的元素级范数

L0范数（但它 **并不是真正的范数**）：
$$
\|A\|_0 = \text{Number of non-zero elements in } A = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \mathbb{I}(a_{ij} \neq 0)
$$
其中：

- $\mathbb{I}(\cdot)$ 是指示函数（若 $a_{ij} \neq 0$ 则取 1，否则取 0）。
- 如果矩阵 $A$ 有 $k$ 个非零元素，则 $\|A\|_0 = k$。

1. **衡量稀疏性**：

   - $\|A\|_0$ **越小**，矩阵 $A$ 越稀疏（零元素越多）。
   - 在压缩感知、低秩矩阵恢复、稀疏编码等问题中，常用 $L_0$ 范数来 **约束解的稀疏性**。

2. **非凸、非连续、NP难优化**：

   - $L_0$ 范数是 **离散的**，导致优化问题通常是 **NP难** 的（无法高效求解）。

   - 因此，实际应用中常用 **$L_1$ 范数**（绝对值之和）作为凸松弛替代：
     $$
     \|A\|_1 = \sum_{i,j} |a_{ij}|
     $$

NP难问题：

可以在多项式时间内 **验证一个解是否正确**，但 **不一定能在多项式时间内找到解**。



L1范数：元素绝对值和
$$
\|A\|_1 = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|
$$

| 范数类型  | 定义                                   | 性质               | 优化难度   | 用途           |
| --------- | -------------------------------------- | ------------------ | ---------- | -------------- |
| **$L_0$** | $\sum_{i,j} \mathbb{I}(a_{ij} \neq 0)$ | 非凸、离散、不连续 | NP难       | 精确稀疏性控制 |
| **$L_1$** | $\sum_{i,j} |a_{ij}|$                  | 凸、连续           | 可高效求解 | 稀疏性近似     |



### 矩阵的核范数

核范数，又称为**迹范数**（trace norm），是矩阵范数的一种，定义为矩阵所有奇异值之和。对于一个矩阵 $A$（假设其奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_r$），其核范数定义为：
$$
\|A\|_* = \sum_{i=1}^{r} \sigma_i,
$$
其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩。

**核范数的主要特点**

1. 凸性  
   - 核范数是一个凸函数，因此在优化问题中**常用作替代矩阵秩**的惩罚项（因为直接最小化矩阵秩是一个NP困难的问题）。

2. 低秩逼近  
   - 在矩阵补全、低秩矩阵恢复等应用中，核范数被用来鼓励矩阵解具有**低秩**性质，因其是矩阵秩的凸松弛。

3. 与SVD的关系  
   - 核范数直接依赖于矩阵的奇异值，计算时通常需要**奇异值分解**（SVD）。



### Frobenius 范数

对于一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其 Frobenius 范数定义为

$$
\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2}
$$

这个定义与向量 $L2$ 范数类似，只不过是对矩阵中**所有元素取平方和后再开平方**。



对于**归一化**的向量$\mathbf{x}_m$ ，其外积矩阵 $\mathbf{x}_m \mathbf{x}_m^T$，其元素为 $(\mathbf{x}_m \mathbf{x}_m^T)_{ij} = x_i x_j$，因此：
$$
\|\mathbf{x}_m \mathbf{x}_m^T\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i x_j|^2 } = \sqrt{\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{j=1}^n x_j^2 \right) } = \|\mathbf{x}_m\|_2 \cdot \|\mathbf{x}_m\|_2 = 1.
$$

例：

设归一化向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$，其外积矩阵为：
$$
\mathbf{x} \mathbf{x}^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
$$
计算 Frobenius 范数：
$$
\|\mathbf{x} \mathbf{x}^T\|_F = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1.
$$

---



如果矩阵 $A$ 的奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$，则：
$$
\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}
$$

这使得 Frobenius 范数在低秩近似和矩阵分解（如 SVD）中非常有用。

设矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
$$

定义：
$$
\|A\|_F = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 } = \sqrt{1 + 0 + 0 + 4 + 1 + 1} = \sqrt{7}
$$
验证：

1. 计算 $A^T A$：
   $$
   A^T A = \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 1 \\
   0 & 2 & 1
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 2 \\
   1 & 1
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   2 & 1 \\
   1 & 5
   \end{bmatrix}
   $$

2. 求 $A^T A$ 的特征值（即奇异值的平方）：
   $$
   \det(A^T A - \lambda I) = \lambda^2 - 7\lambda + 9 = 0 \implies \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}
   $$
   因此：
   $$
   \sigma_1 = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{13}}{2}}, \quad \sigma_2 = \sqrt{\frac{7 - \sqrt{13}}{2}}
   $$

3. 验证 Frobenius范数：
   $$
   \sigma_1^2 + \sigma_2^2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} + \frac{7 - \sqrt{13}}{2} = 7
   $$
   所以：
   $$
   \|A\|_F = \sqrt{7}
   $$
   

公式正确！



**迹和 Frobenius 范数的关系**：
$$
\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A)
$$
这表明 Frobenius 范数的平方就是 $A^* A$ 所有特征值之和。而 $A^* A$ 的特征值开方就是A的奇异值。



### 最大范数

矩阵的最大范数（也称为 **元素级无穷范数** 或 **一致范数**）定义为矩阵所有元素绝对值的最大值：

$$
\|A\|_{\max} = \max_{i,j} |A_{ij}|
$$

它衡量的是矩阵中**绝对值最大的元素**，适用于逐元素（element-wise）分析。

如果比较两个矩阵 $A$ 和 $B$，它们的**误差矩阵** $E = A - B$ 的最大范数为：

$$
\|A - B\|_{\max} = \max_{i,j} |A_{ij} - B_{ij}|
$$

**意义**：  

- 如果 $\|A - B\|_{\max} \leq \epsilon$，说明 $A$ 和 $B$ 的**所有对应元素的误差都不超过 $\epsilon$**。 



对于任意 $m \times n$ 的矩阵 $A$，以下不等式成立：

$$
\|A\|_{\max} \leq \|A\|_F \leq \sqrt{mn} \cdot \|A\|_{\max}
$$





## 矩阵的迹

**迹的定义**

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹（trace）定义为矩阵对角线元素之和：

$$
\text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n B_{ii}
$$

**迹与特征值的关系**

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹等于其特征值之和。即：

$$
\text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n \lambda_i
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是矩阵 $B$ 的特征值。

**应用到 $A^* A$**

对于矩阵 $A^* A$（如果 $A$ 是实矩阵，则 $A^* = A^T$），它是一个半正定矩阵，其特征值是非负实数。

$A^* A$ 的迹还与矩阵 $A$ 的 Frobenius 范数有直接关系。具体来说：

$$
\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A)
$$

**迹的基本性质**

迹是一个线性运算，即对于任意标量 $c_1, c_2$ 和矩阵 $A, B$，有：

$$
\text{tr}(c_1 A + c_2 B) = c_1 \text{tr}(A) + c_2 \text{tr}(B)
$$

对于任意矩阵 $A, B, C$，迹满足循环置换性质：

$$
\text{tr}(ABC) = \text{tr}(CAB) = \text{tr}(BCA)
$$

注意：迹的循环置换性**不**意味着 $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BAC)$，除非矩阵 $A, B, C$ 满足某些特殊条件（如对称性）。



## 酉矩阵

酉矩阵是一种复矩阵，其满足下面的条件：对于一个 $n \times n$ 的复矩阵 $U$，如果有

$$
U^* U = U U^* = I,
$$

其中 $U^*$ 表示 $U$ 的共轭转置（先转置再取复共轭），而 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，那么 $U$ 就被称为酉矩阵。简单来说，酉矩阵在复内积空间中保持内积不变，相当于在该空间中的“旋转”或“反射”。

如果矩阵的元素都是实数，那么 $U^*$ 就等于 $U^T$（转置），这时酉矩阵就退化为**正交矩阵**。



考虑二维旋转矩阵

$$
U = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}.
$$

当 $\theta$ 为任意实数时，这个矩阵满足

$$
U^T U = I,
$$

所以它是一个正交矩阵，同时也属于酉矩阵的范畴。

例如，当 $\theta = \frac{\pi}{4}$（45°）时，

$$
U = \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}.
$$



## 正定\正半定矩阵

1. **正定矩阵（PD）**  
   $$
   A \text{ 正定} \iff \forall\, x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}, \quad x^T A x > 0.
   $$

2. **正半定矩阵（PSD）**  
   $$
   A \text{ 正半定} \iff \forall\, x \in \mathbb{R}^n, \quad x^T A x \ge 0.
   $$



- **PD**：所有特征值都严格大于零。  
  $\lambda_i(A)>0,\;i=1,\dots,n$。

- **PSD**：所有特征值都非负。  
  $\lambda_i(A)\ge0,\;i=1,\dots,n$。



**拉普拉斯矩阵是正半定矩阵！**

对于任意实矩阵 $A$（大小为 $m\times n$），矩阵  $B = A^T A\quad(\text{大小为 }n\times n).$是半正定矩阵

- 显然  
  $$
  B^T = (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A = B,
  $$
  所以 $B$ 是对称矩阵。

- 对任意向量 $x\in\mathbb R^n$，有  
  $$
  x^T B\,x = x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2 \;\ge\;0.
  $$
  因此 $B$ 总是 **正半定（PSD）** 的。

  

  

  





## 对称非负矩阵分解

$$
A≈HH^T
$$

**1. 问题回顾**

给定一个**对称非负**矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$，我们希望找到一个**非负矩阵** $H\in\mathbb{R}^{n\times k}$ 使得
$$
A \approx HH^T.
$$
为此，我们可以**最小化目标函数(损失函数)**
$$
f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2,
$$
其中 $\|\cdot\|_F$ 表示 Frobenius 范数，定义为矩阵所有元素的平方和的平方根。

$\| A - H H^T \|_F^2$ 表示矩阵 $A - H H^T$ 的所有元素的平方和。

**2. 梯度下降方法**

2.1 计算梯度

目标函数(损失函数)是
$$
f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2.
$$

$$
\|M\|_F^2 = \operatorname{trace}(M^T M),
$$

因此，目标函数可以写成：

$$
f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^T\bigl(A-HH^T\bigr)\Bigr].
$$

注意到 $A$ 和$HH^T$ 都是对称矩阵，可以简化为：

$$
f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^2\Bigr].
$$

展开后得到

$$
f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[A^2 - 2AHH^T + (HH^T)^2\Bigr].
$$

其中 $\operatorname{trace}(A^2)$ 与 $H$ 无关，可以看作常数，不影响梯度计算。

**计算** $\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T)$
$$
\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T) = -4 A H
$$

**计算** $\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2)$
$$
\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2) = 4 H H^T H
$$



将两部分梯度合并：

$$
\nabla_H f(H) = \frac{1}{2}(4 H H^T H - 4 A H )= 2(H H^T H - A H)
$$



2.2 梯度下降更新

设学习率为 $\eta>0$，则梯度下降的**基本更新公式为**：
$$
H \leftarrow H - \eta\, \nabla_H f(H) = H - 2\eta\Bigl(HH^T H - A H\Bigr).
$$

由于我们要求 $H$ 中的元素保持非负，所以每次更新之后通常需要进行**投影**：  
$$
H_{ij} \leftarrow \max\{0,\,H_{ij}\}.
$$

这种方法称为**投影梯度下降**，保证每一步更新后 $H$ 满足非负约束。

**3. 举例说明**

设对称非负矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad k=1, \quad H \in \mathbb{R}^{2 \times 1}
$$
初始化 $H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，学习率 $\eta = 0.01$。



**迭代步骤**：

1. **初始 \( H^{(0)} \):**

$$
   H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad H^{(0)}(H^{(0)})^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.
$$

   目标函数值：
$$
   f(H^{(0)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1)^2 + 2(1-1)^2 + (2-1)^2 \right) = 1.
$$

2. **计算梯度：**

$$
   HH^T H = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad AH = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix},
$$

$$
   \nabla_H f(H^{(0)}) = 2 \left( \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}.
$$

3. **更新 \( H \):**

$$
   H^{(1)} = H^{(0)} - 2 \cdot 0.01 \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.04 \\ 1.04 \end{bmatrix}.
$$

4. **更新后目标函数：**

$$
   H^{(1)}(H^{(1)})^T = \begin{bmatrix} 1.0816 & 1.0816 \\ 1.0816 & 1.0816 \end{bmatrix},
$$

$$
   f(H^{(1)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1.0816)^2 + 2(1-1.0816)^2 + (2-1.0816)^2 \right) \approx 0.8464.
$$

一次迭代后目标函数值从 $1.0$ 下降至 $0.8464$