**平滑（Smoothing）**
 在时间序列分析中，“平滑”指的是用一种加权平均的方法，将原始序列中的随机波动（噪声）滤掉，突出其潜在的趋势和周期成分。指数平滑尤为典型：它对所有历史观测值 XtX_t 施加指数衰减的权重，使得离当前越近的数据权重越大、越远的数据权重越小，从而得到一条更为“平滑”的序列 StS_t。

- **单指数平滑（SES）**

  St=α Xt+(1−α) St−1,0<α<1  S_t = \alpha\,X_t + (1-\alpha)\,S_{t-1},\quad 0<\alpha<1

  其中，StS_t 是时刻 tt 的平滑值，α\alpha（平滑系数）控制新旧信息的权重比例。

- **双指数平滑（Holt）**
   在 SES 的基础上，再引入一个“趋势分量” TtT_t：

  {Lt=α Xt+(1−α)(Lt−1+Tt−1)Tt=β (Lt−Lt−1)+(1−β) Tt−1\begin{cases}  L_t = \alpha\,X_t + (1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1}) \\[6pt]  T_t = \beta\,(L_t - L_{t-1}) + (1-\beta)\,T_{t-1} \end{cases}

  这里 LtL_t 是“平滑后的水平（level）”，TtT_t 是“平滑后的趋势（trend）”，β\beta 是趋势平滑系数。

- **三指数平滑（Holt–Winters）**
   进一步加入季节性分量 StS_t：

  {Lt=α (Xt/St−m)+(1−α)(Lt−1+Tt−1)Tt=β (Lt−Lt−1)+(1−β) Tt−1St=γ (Xt/Lt)+(1−γ) St−m\begin{cases}  L_t = \alpha\,(X_t/S_{t-m}) + (1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1}) \\[4pt]  T_t = \beta\,(L_t - L_{t-1}) + (1-\beta)\,T_{t-1} \\[4pt]  S_t = \gamma\,(X_t/L_t) + (1-\gamma)\,S_{t-m} \end{cases}

  其中 mm 是季节周期长度，γ\gamma 是季节平滑系数。

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**预测逻辑**
 指数平滑系列方法的核心假设是“未来的值可以用当前估计的水平、趋势、季节性分量线性组合”来近似。

1. **单指数平滑** 预测：

   X^t+1=St  \hat X_{t+1} = S_t

   即，预测值等于最后一个时刻的平滑值。

2. **双指数平滑** 预测：

   X^t+h=Lt+h Tt  \hat X_{t+h} = L_t + h \, T_t

   意味着：水平分量加上 hh 倍的趋势分量。

3. **三指数平滑** 预测：

   X^t+h=(Lt+h Tt)×St+h−m⌊(h−1)/m⌋  \hat X_{t+h} = \bigl(L_t + h\,T_t\bigr)\times S_{t+h-m\lfloor (h-1)/m\rfloor}

   即在双平滑的结果上，再乘以对应的季节系数。

整体来看，指数平滑的预测逻辑就是：

- **水平分量（Level）** 反映序列的基准水平；
- **趋势分量（Trend）** 反映序列的线性增长或下降趋势；
- **季节分量（Seasonality）** 反映序列的周期波动；
- 将它们按照简单的线性公式“拼装”起来，就得到对未来点的估计。

这种结构使得指数平滑既简单易算，又能灵活捕捉不同的时序特征。
