如何确定kmeans的簇数？节点之间的流量，空间转为时间的图。

压缩感知   函数拟合  采样定理  傅里叶变换



## **谱分解**与网络重构

实对称矩阵性质：

对于任意 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$：

1. **秩可以小于 $n$**（即存在零特征值，矩阵不可逆）。

2. 但仍然有 $n$ 个线性无关的特征向量（即可对角化）。



一个实对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $n \times n$ 的**对称矩阵** $A$，

**完整谱分解**可以表示为：
$$
A = Q \Lambda Q^T \\
A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
$$

$Q$是$n \times n$的正交矩阵，每一列是一个特征向量；$\Lambda$是$n \times n$的对角矩阵，对角线元素是特征值$\lambda_i$ ，其余为0。

其中，$\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。



**事实上，如果矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ,就只需要用前 $r$ 个特征值和特征向量就可以精确重构出。因为零特征值对矩阵重构不提供任何贡献。**



**截断的谱分解**（取前 r 个特征值和特征向量）

如果我们只保留前 $r$ 个最大的（或最重要的）特征值和对应的特征向量，那么：

- **特征向量矩阵 $U_r$**：取 $U$ 的前 $r$ 列，维度为 $n \times r$。
- **特征值矩阵 $\Lambda_r$**：取 $\Lambda$ 的前 $r \times r$ 子矩阵（即前 $r$ 个对角线元素），维度为 $r \times r$。

因此，截断后的近似分解为：

$$
A \approx U_r \Lambda_r U_r^T\\
A \approx \sum_{i=1}^{r} \lambda_i x_i x_i^T
$$


**推导过程**

1. **特征值和特征向量的定义**  
   对于一个对称矩阵 $A$，其特征值和特征向量满足：

$$
A x_i = \lambda_i x_i
$$

   其中，$\lambda_i$ 是特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。

2. **谱分解**  
   将这些特征向量组成一个正交矩阵 $Q$

   $A = Q \Lambda Q^T$ 

$$
   Q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix},
$$

$$
   Q \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix}.
$$

$$
   Q \Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{bmatrix}.
$$

$$
   Q \Lambda Q^T = \lambda_1 x_1 x_1^T + \lambda_2 x_2 x_2^T + \cdots + \lambda_n x_n x_n^T.
$$

   可以写为
$$
   A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T.
$$

   

3. **网络重构**  
   在随机网络中，网络的邻接矩阵 $A$ 通常是对称的。利用预测算法得到的谱参数 $\{\lambda_i, x_i\}$ 后，就可以用以下公式重构网络矩阵：

$$
A(G) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
$$





## 网络重构分析

### 基于扰动理论的特征向量估算方法

设原矩阵为 $A$，扰动后矩阵为 $A+\zeta C$（扰动矩阵 $\zeta C$，$\zeta$是小参数），令其第 $i$ 个特征值、特征向量分别为 $\lambda_i,x_i$ 和 $\tilde\lambda_i,\tilde x_i$。

**特征向量的一阶扰动公式：**
$$
\Delta x_i
=\tilde x_i - x_i
\;\approx\;
\zeta \sum_{k\neq i}
\frac{x_k^T\,C\,x_i}{\lambda_i - \lambda_k}\;x_k,
$$

- **输出**：对应第 $i$ 个特征向量修正量 $\Delta x_i$。



**特征值的一阶扰动公式：**
$$
\Delta\lambda_i = \tilde\lambda_i - \lambda_i \;\approx\;\zeta\,x_i^T\,C\,x_i
$$
**关键假设：**当扰动较小（ $\zeta\ll1$） 且各模态近似正交均匀时，常作进一步近似  
$$
x_k^T\,C\,x_i \;\approx\; x_i^T\,C\,x_i \;
$$
正交： $\{x_k\}$ 本身是正交基，这是任何对称矩阵特征向量天然具有的属性。

均匀：我们把 $C$ 看作“**不偏向任何特定模态**”的随机小扰动——换句话说，投影到任何两个方向 $(x_i,x_k)$ 上的耦合强度 $x_k^T\,C\,x_i\quad\text{和}\quad x_i^T\,C\,x_i$   在数值量级上应当差不多，因此可以互相近似。



因此，将所有的 $x_k^T C x_i$ 替换为 $x_i^T C x_i$：
$$
\Delta x_i \approx \zeta \sum_{k\neq i} \frac{x_i^T C x_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \zeta (x_i^T C x_i) \sum_{k\neq i} \frac{1}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
$$

$$
\Delta x_i \approx\sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
$$

问题：

1. **当前时刻的邻接矩阵**  
   $$
   A^{(1)}\in\mathbb R^{n\times n},\qquad
     A^{(1)}\,x_i^{(1)}=\lambda_i^{(1)}\,x_i^{(1)},\quad \|x_i^{(1)}\|=1.
   $$

2. **下一时刻的邻接矩阵**  
   $$
   A^{(2)}\in\mathbb R^{n\times n},
   $$
   **已知**它的第 $i$ 个特征值  $\lambda_i^{(2)}$（卡尔曼滤波得来）.  **求**当前时刻的特征向量  $x_i^{(2)}$。  



**下一时刻**第 $i$ 个特征向量的预测为
$$
\boxed{
x_i^{(2)}
\;=\;
x_i^{(1)}+\Delta x_i
\;\approx\;
x_i^{(1)}
+\sum_{k\neq i}
\frac{\lambda_i^{(2)}-\lambda_i^{(1)}}
     {\lambda_i^{(1)}-\lambda_k^{(1)}}\;
x_k^{(1)}.
}
$$
通过该估算方法可以依次求出下一时刻的所有特征向量。

### 矩阵符号说明

- 原始（真实）邻接矩阵：  
  $$
  A = \sum_{m=1}^n \lambda_m\,x_m x_m^T,
    \quad \lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n\;
  $$

- 滤波估计得到的矩阵及谱分解：  
  $$
  \widetilde A = \sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
    \quad \widetilde\lambda_1\ge\cdots\ge\widetilde\lambda_n\;
  $$

- 只取前 $r$ 项重构  ：
  $$
  A_r \;=\;\sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
  $$

- 对 $A_r$ 进行K-means聚类，得到 $A_{final}$

目标是让 $A_{final}$ = $A$ 

### **0/1矩阵**

其中 $\widetilde{\lambda}_i$ 和 $\widetilde{x}_i$ 分别为通过预测得到矩阵 $\widetilde A$ 的第 $i$ 个特征值和对应特征向量。  然而预测值和真实值之间存在误差，直接进行矩阵重构会使得重构误差较大。  对于这个问题，文献提出一种 0/1 矩阵近似恢复算法。
$$
a_{ij} = 
\begin{cases}
1, & \text{if}\ \lvert a_{ij} - 1 \rvert < 0.5 \\
0, & \text{else}
\end{cases}
$$
只要我们的估计值与真实值之间差距**小于 0.5**，就能保证阈值处理以后准确地恢复原边信息。



文中提出网络特征值扰动与邻接矩阵扰动具有相同的规律

真实矩阵 $A$ 与预测矩阵 $\widetilde{A} $ 之间的差为  
$$
A - \widetilde{A}=\sum_{m=1}^n \lambda_m\,x_m x_m^T-\sum_{m=1}^n \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T
$$
若假设特征向量扰动可忽略，即$\widetilde x_m\approx x_m$ ，扰动可简化为（这里可能有问题，特征向量的扰动也要计算）
$$
A - \widetilde{A} = \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m \widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T.
$$
对于任意元素 $(i, j)$ 上有  
$$
|a_{ij} - \widetilde{a}_{ij}|=\left| \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m (\widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T)_{ij} \right|  < \frac{1}{2}
$$

于一个归一化的特征向量 $\widetilde{x}_m$，其外积矩阵 $\widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T$ 的元素理论上满足  
$$
|(\widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T)_{ij}| \leq 1.
$$
经过分析推导可以得出发生特征扰动时，网络精准重构条件为：
$$
\sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m < \frac{1}{2}
$$

$$
\Delta {\lambda} < \frac{1}{2n}
$$

0-1 矩阵能够精准重构的容忍上界与网络中的节点数量成反比，网络中节点数量越多，实现精准重构的要求也就越高。



如果在**高层次**（特征值滤波）的误差累积超过了一定阈值，就有可能在**低层次**（邻接矩阵元素）中出现翻转。公式推导了只要谱参数的误差之和**不超过** 0.5，就可以保证0-1矩阵的精确重构。



### **非0/1矩阵**

#### **全局误差度量**

对估计矩阵 $\widetilde{A}$ 的所有元素 $\{\tilde{a}_{ij}\}$ 进行 $K$-means 聚类，得到中心 $\{c_k\}_{k=1}^K$。

- **簇内平均偏差**：
  $$
  \text{mean}_k = \frac{1}{|\mathcal{S}_k|} \sum_{(i,j)\in\mathcal{S}_k} |\tilde{a}_{ij} - c_k|
  $$

- **全局允许误差**：
  $$
  \delta_{\max} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \text{mean}_k
  $$

#### 带权重构需控制两类误差：

1. **截断谱分解误差**$\epsilon$：
   $$
   \epsilon
   = \bigl\|\widetilde A -  A_r\bigr\|_F
   = \Bigl\|\sum_{m=r+1}^n \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m \widetilde x_m^T\Bigr\|_F.
   $$

   ---

2. **滤波误差**$\eta$：

   **来源**：滤波器在谱域对真实特征值/向量的估计偏差，包括  

   - 特征值偏差 $\Delta\lambda_m=\lambda_m-\widetilde\lambda_m$  
   - 特征向量：矩阵扰动得来

   $$
   A - \widetilde A=\sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m \hat{x}_m \hat{x}_m^T.
   $$

   $$
   \eta \approx \Bigl\|\sum_{m=1}^n \Delta\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T\Bigr\|_F
   $$

#### **最终约束条件**：

$$
\boxed{
\underbrace{\eta}_{\text{滤波误差}}
\;+\;
\underbrace{\epsilon}_{\text{谱分解截断误差}}
\;\le\;
\underbrace{\delta_{\max}}_{\text{聚类量化容限}}
}
$$



量化的间隔是不是就和分布有关，有无其他影响因素。

通信原理，采样量化。

压缩感知的话量化分隔不是均匀的。



假设都是破松分布

