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## 颜佳佳论文

### 网络结构优化

**直接SNMF分解（无优化）**

- 输入矩阵：原始动态网络邻接矩阵 $A$（可能稠密或高秩）
- 处理流程：
  - 直接对称非负矩阵分解：$A \approx UU^T$
  - 通过迭代调整$U$和旋转矩阵$Q$逼近目标
- 存在问题：
  - 高秩矩阵需要保留更多特征值（$\kappa$较大）
  - 非稀疏矩阵计算效率低

**先优化再SNMF（论文方法）**

- 优化阶段（ADMM）：
  - 目标函数：$\min_{A_{\text{opt}}} (1-\alpha)\|A_{\text{opt}}\|_* + \alpha\|A_{\text{opt}}\|_1$
  - 输出优化矩阵$A_{\text{opt}}$
- SNMF阶段：
  - 输入变为优化后的$A_{\text{opt}}$
  - 保持相同分解流程但效率更高



#### 网络优化中的邻接矩阵重构问题建模与优化

**可行解集合定义（公式4-4）**
$$
\Omega = \left\{ A \middle| A^T = A,\, A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P,\, A \odot A_{\max}' = 0 \right\}
$$

- **$A^T = A$**：确保邻接矩阵对称  
- **$A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P$**：掩码矩阵$P$ ，指定位置的原始值（$\odot$为Hadamard积）  
- **$A \odot A_{\max}' = 0$**：功率约束矩阵$\ A_{\max}'$ 禁止在原本无连接的节点间新增边  



**限制矩阵$A_{\max}'$的定义（公式4-5）**
$$
A'_{\max, ij} = 
\begin{cases} 
0, & \text{若 } A_{\max, ij} \ne 0 \\ 
1, & \text{若 } A_{\max, ij} = 0 
\end{cases}
$$

- 通过$A_{\max}'$​标记禁止修改的零元素位置  



**原始优化目标（公式4-6）**
$$
\min_{A} \, (1-\alpha)\, \text{rank}(A) + \alpha \|A\|_0
$$
$\|A\|_0$ 表示矩阵 $A$ 中非零元素的个数

- **目标**：平衡低秩性（$\text{rank}(A)$）与稀疏性（$\|A\|_0$）  
- **问题**：非凸、不可导，难以直接优化  



**凸松弛后的目标（公式4-7）**
$$
\min_{A} \, (1-\alpha)\, \|A\|_* + \alpha \|A\|_1
$$

- **核范数$\|A\|_*$**：奇异值之和，替代$\text{rank}(A)$  
- **L1范数$\|A\|_1$**：元素绝对值和，替代$\|A\|_0$  
- **性质**：凸优化问题，存在全局最优解  



**求解方法**

- **传统方法**：
  可转化为**半定规划（SDP）**问题，使用内点法等求解器。但缺点是计算效率低，尤其当矩阵规模大（如多智能体网络节点数 $n$ 很大）时不可行。
- **改进方法**：
  采用**ADMM（交替方向乘子法）**结合**投影**和**对偶上升**的方法，适用于动态网络（矩阵频繁变化的情况）。



#### ADMM核心算法

##### **变量定义与作用**

- **输入变量**：
  - $A_{pre}$：初始邻接矩阵（优化前的网络拓扑）。
  - $P$：对称的0-1矩阵，用于标记 $A_{pre}$ 中非零元素的位置（保持已有边不变）。
  - $A'_{max}$：功率最大时的邻接矩阵的补集（$A'_{maxij} = 1$ 表示 $A_{maxij} = 0$，即不允许新增边）。
  - $\alpha$：权衡稀疏性（$L_1$ 范数）和低秩性（核范数）的系数。
  - **iters**：ADMM迭代次数。



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##### **算法步骤详解**

**(S.1) 更新原始变量 $A$（对应ADMM的$x$步）**

- **代码行4-17**：通过内层循环（投影和对偶上升）更新 $A$。
  - **行4-11**：将 $A$ 投影到约束 $A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P$ 的集合。
    - 通过内层循环（行8-11）迭代更新 $R$，本质是**梯度投影法**：
      - $temp_R^{k+1} = M - X^k \odot A_{\text{pre}}$（计算残差）。
      - $X^{k+1} = X^k + \beta(A_{\text{pre}} \odot temp_R^{k+1})$（梯度上升步，$\beta$ 为步长）。
    - **本质**：通过迭代强制 $A$ 在 $P$ 标记的位置与 $A_{pre}$ 一致。
  - **行13-17**：将 $A$ 投影到 $A \odot A'_{\text{max}} = 0$ 的集合。
    - 类似地，通过内层循环（行14-17）更新 $Y$：
      - $temp_A^{k+1} = D_2 - Y^k \odot A'_{\text{max}}$（残差计算）。
      - $Y^{k+1} = Y^k + \gamma(A'_{\text{max}} \odot temp_A^{k+1})$（对偶变量更新）。

**(S.2) 更新辅助变量 $Z_1, Z_2$（对应ADMM的$z$步）**

通过阈值操作分离目标函数的两部分：

- **行18-19**：分别对核范数和 $L_1$ 范数进行阈值操作：
  - $Z_1^{t+1} = T_r(A^{t+1} + U_1^t)$：  
    $T_r(\cdot)$ 是**奇异值阈值算子**（核范数投影），对$A + U1$ 做SVD分解，保留前 $r$ 个奇异值。**作用**：把自己变成低秩矩阵=》强制 $A$ 低秩。
  - $Z_2^{t+1} = S_{\alpha}(A^{t+1} + U_2^t)$：  
    $S_{\alpha}(\cdot)$ 是**软阈值算子**（$L_1$ 范数投影），将小于 $\alpha$ 的元素置零。把自己变成稀疏矩阵=》促进 $A$ 的稀疏性。

**(S.3) 更新 拉格朗日乘子$U_1, U_2$（对应ADMM的对偶上升）**

- **行20-21**：通过残差 $(A - Z)$ 调整拉格朗日乘子 $U_1, U_2$：
  - $U_1^{t+1} = U_1^t + A^{t+1} - Z_1^{t+1}$（核范数约束的乘子更新）。
  - $U_2^{t+1} = U_2^t + A^{t+1} - Z_2^{t+1}$（$L_1$ 范数约束的乘子更新）。
  - **作用**：惩罚 $A$ 与辅助变量 $Z1, Z2$ 的偏差（迫使$A$更贴近$Z$），推动收敛。