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## 液态神经网络
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### 连续时间递归神经网络（CT-RNN）
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**举例说明**
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- 以下以第 $i$个隐藏神经元为例，给出一个典型的 **连续时间** 动力学方程（微分方程形式）：
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$$
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\frac{d h_i(t)}{dt}
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\;=\;
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-\alpha \, h_i(t)
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\;+\;
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\sum_{j} W_{ij} \,\sigma\bigl(h_j(t)\bigr)
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\;+\;
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V_i\, x(t).
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$$
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- $\displaystyle h_i(t)$
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表示第 \(i\) 个神经元的 **内部状态**（或称膜电位、液体状态等）。
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- $\displaystyle -\alpha\,h_i(t)$
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表示自然衰减项，$\alpha>0$ 是衰减系数。
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- $\displaystyle \sum_{j} W_{ij}\,\sigma\bigl(h_j(t)\bigr)$
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表示对第 $i$ 个输出神经元，计算所有输入神经元$j$的加权和。
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- $\displaystyle \sigma(\cdot)$ 是一个非线性激活函数，例如 $\tanh$、ReLU 等；
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- $\displaystyle W_{ij}$ 是从神经元 \(j\) 到神经元 \(i\) 的 **连接权重**；
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- 这里的求和 $\sum_{j}$意味着 **第 $i$ 个神经元** 会「收集」当前层所有神经元（含自己）的输出信号。
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- $\displaystyle V_i\, x(t)$
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外部输入 $x(t)$ 对神经元 $i$ 的直接驱动作用。
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因此，这个公式表示：**第 $i$个隐藏神经元** 的状态变化率，依赖：
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1. 自身的衰减；
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2. 其他神经元的输出（相互耦合）；
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3. 来自上一层（或外部）的输入刺激。
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**使用欧拉法 (Forward Euler) 离散近似**
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这是最简单、最直接的数值积分方法。给定一个小的时间步长$\Delta t$，将连续时间 $t$ 离散化为 $t_0,\, t_1,\, \dots$，其中 $t_{n+1} = t_n + \Delta t$。
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则第 $i$ 个神经元的状态 $h_i(t)$ 在离散时刻 $t_n$ 的值可以表示为 $h_i^{(n)}$，其中 $h_i^{(n)}$ 表示在时间 $t_n$ 时刻的状态。
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微分方程：
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$$
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\frac{d h_i(t)}{dt}
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= f_i\bigl(h_1(t), \dots, h_N(t), x(t)\bigr),
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$$
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在这里，
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$$
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f_i(\mathbf{h}(t),\, x(t)) \;=\;
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-\alpha\, h_i(t)
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\;+\;
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\sum_j W_{ij}\,\sigma\bigl(h_j(t)\bigr)
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\;+\;
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V_i\,x(t).
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$$
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**欧拉更新公式**：
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$$
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h_i^{(n+1)}
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\;=\;
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h_i^{(n)}
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\;+\;
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\Delta t \,\Bigl[
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f_i\bigl(\mathbf{h}^{(n)},\, x^{(n)}\bigr)
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\Bigr],
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$$
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其中：
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1. $ \mathbf{h}^{(n)} = [h_1^{(n)}, \dots, h_N^{(n)}]^\top$
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表示所有神经元在时刻 $t_n$ 的状态向量。
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2. $x^{(n)} $
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表示输入信号在时刻$ t_n$的值（或小区间平均值）。
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这可以并行对 **所有** $i$ 同时更新。
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**优点**：简单易实现
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**缺点**：稳定性、精度较低，需要选小一些的$\Delta t$才能获得良好数值表现。
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### 神经ODE的基本形式
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神经ODE（Neural ODE）的状态 $x(t)$ 由以下微分方程定义：
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$$
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\frac{dx(t)}{dt} = f(x(t), I(t), t, \theta)
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$$
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- 其中，$f$ 是一个由参数 $\theta$ 定义的神经网络，$I(t)$ 是输入，$t$ 是时间。
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- 通过数值ODE求解器可以计算状态 $x(t)$，并通过**反向模式自动微分**（reverse-mode automatic differentiation）来训练网络。
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- 使用**伴随敏感度 (adjoint) 方法** 来节省显存，但这会带来一定的数值不稳定与反向误差
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### **连续时间递归神经网络（CT-RNN）的稳定性**
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\frac{dx(t)}{dt} = -\frac{x(t)}{\tau} + f(x(t), I(t), t, \theta)
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$$
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其中，$-\frac{x(t)}{\tau}$ 是一个阻尼项，帮助系统达到平衡状态，$\tau$ 是时间常数。
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*$τ$* 越大，系统的响应越慢；*$τ$* 越小，系统的响应越快
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### 小型生物（如线虫）的神经动力学模型
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在生物学中，非脉冲神经元的电位动态可以通过以下线性微分方程描述：
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$$
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\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = -g_l \mathbf{v}(t) + \mathbf{S}(t)
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$$
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其中：
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- $\mathbf{v}(t)$ 是神经元的电位。
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- $g_l$ 是**泄漏电导**（leakage conductance），表示神经元电位的自然衰减速度。
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- $\mathbf{S}(t)$ 是**突触输入**的总和，表示来自其他神经元的输入信号。
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突触输入 $\mathbf{S}(t)$ 可以通过以下非线性函数近似：
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$$
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\mathbf{S}(t) = f(\mathbf{v}(t), \mathbf{I}(t))(A - \mathbf{v}(t))
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$$
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其中：
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- $f(\mathbf{v}(t), \mathbf{I}(t))$ 是一个**非线性函数**（通常是 sigmoid 函数），表示突触前神经元的电位 $\mathbf{v}(t)$ 和外部输入 $\mathbf{I}(t)$ 对突触输入的影响。
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- $A$ 是一个**偏置项**，表示突触输入的最大值。（*$A$* 可以理解为突触输入的平衡电位。当神经元的电位 **$v(t)$**接近 *$A$* 时，突触输入*$S(t)$*会减小，从而防止电位无限增长。）
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**例子**
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为了具体化，我们设定以下参数：
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- **泄漏电导**：$g_l = 0.1$（表示电位以每秒 0.1 的速度自然衰减）。
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- **突触输入的最大值**：$A = 1$。
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- **非线性函数**：假设 $f(\mathbf{v}(t), \mathbf{I}(t))$ 是一个简单的 sigmoid 函数：
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$$
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f(\mathbf{v}(t), \mathbf{I}(t)) = \frac{1}{1 + e^{-\mathbf{I}(t)}}
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$$
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其中，$\mathbf{I}(t)$ 是外部输入。
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假设在 $t = 0$ 时，神经元的电位为：
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$$
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\mathbf{v}(0) = 0.5
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$$
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假设在 $t = 0$ 到 $t = 10$ 秒内，外部输入 $\mathbf{I}(t)$ 为：
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$$
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\mathbf{I}(t) = 1
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**计算突触输入**
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根据设定的非线性函数，突触输入为：
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$$
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f(\mathbf{v}(t), \mathbf{I}(t)) = \frac{1}{1 + e^{-\mathbf{I}(t)}} = \frac{1}{1 + e^{-1}} \approx 0.731
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$$
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这里为了简化，突触输入仅由外部驱动，不随自身电位变化。
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因此，突触输入项为：
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$$
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f(\mathbf{v}(t), \mathbf{I}(t))(A - \mathbf{v}(t)) = 0.731 \times (1 - \mathbf{v}(t))
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$$
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**动态方程**
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将参数代入动态方程，得到：
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$$
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\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = -0.1 \mathbf{v}(t) + 0.731 (1 - \mathbf{v}(t))
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$$
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**数值模拟**
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我们可以通过数值方法（如显示欧拉法）来模拟神经元的电位变化。假设时间步长 $\Delta t = 0.1$ 秒，初始电位 $\mathbf{v}(0) = 0.5$。
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第一次迭代（$t = 0$ 到 $t = 0.1$ 秒）
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- 计算电位变化率：
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$$
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\frac{d\mathbf{v}(0)}{dt} = -0.1 \times 0.5 + 0.731 \times (1 - 0.5) = -0.05 + 0.3655 = 0.3155
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$$
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- 更新电位：
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$$
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\mathbf{v}(0.1) = \mathbf{v}(0) + \frac{d\mathbf{v}(0)}{dt} \times \Delta t = 0.5 + 0.3155 \times 0.1 = 0.53155
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$$
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- 重复上述过程，直至t=10秒
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由于泄漏电导和偏置项$A$的作用，电位的上升速度逐渐减慢，最终趋于稳定值。
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**稳定状态**
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在稳定状态下，电位变化率为 0，即：
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$$
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\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = 0
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$$
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代入动态方程：
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$$
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0 = -0.1 \mathbf{v}_{\text{stable}} + 0.731 (1 - \mathbf{v}_{\text{stable}})
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$$
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解得：
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$$
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\mathbf{v}_{\text{stable}} = \frac{0.731}{0.1 + 0.731} \approx 0.88
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### 液态时间常数网络（LTCs）
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$$
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\frac{dx(t)}{dt} = -\frac{x(t)}{\tau} + S(t)
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$$
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其中，$S(t)$ 是一个非线性项，定义为：
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$$
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S(t) = f(x(t), I(t), t, \theta)(A - x(t))
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$$
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这里，$f$ 是一个神经网络，$A$ 是一个偏置项。
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将 $S(t)$ 代入隐藏状态方程后，得到LTCs的动态方程：
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$$
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\frac{dx(t)}{dt} = -\left[\frac{1}{\tau} + f(x(t), I(t), t, \theta)\right] x(t) + f(x(t), I(t), t, \theta) A
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$$
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LTCs 的核心创新在于其**可变的时间常数** $\tau_{sys}$，它由以下公式定义：
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$$
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\tau_{sys} = \frac{\tau}{1 + \tau f(x(t), I(t), t, \theta)}
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$$
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这意味着时间常数 $\tau_{sys}$ 会根据输入 $I(t)$ 和隐藏状态 $x(t)$ 的变化而动态调整。从而在处理复杂时间序列数据时表现出更强的适应性和表达能力。
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这个方程展示了LTCs的核心特性：**可变的时间常数**。
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#### 显式欧拉 vs 隐式欧拉
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| 方法 | 公式 | 特点 |
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| ------------ | ---------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
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| **显式欧拉** | $x_{k+1} = x_k + \Delta t \cdot f(x_k, t_k)$ | 用当前时刻的导数计算下一步，**计算快但稳定性差**（步长受限） |
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| **隐式欧拉** | $x_{k+1} = x_k + \Delta t \cdot f(x_{k+1}, t_{k+1})$ | 用未来时刻的导数计算下一步，**稳定性好但需解方程**（适合刚性系统） |
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#### **融合求解器**
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$$
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\frac{dx(t)}{dt} = -\left[\frac{1}{\tau} + f(x(t), I(t), t, \theta)\right] x(t) + f(x(t), I(t), t, \theta) A
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$$
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$$
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\frac{dx}{dt} = -\alpha(t)x(t) + \beta(t) \quad \text{其中}\ \alpha(t) = \frac{1}{\tau} + f, \ \beta(t) = f \odot A
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$$
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**应用隐式欧拉法离散化：**
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$$
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x_{k+1} = x_k + \Delta t \cdot \left[ -\alpha_{k+1} x_{k+1} + \beta_{k+1} \right]
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$$
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<span style="color: red;">**关键点**</span>：右侧的$\alpha_{k+1}$和$\beta_{k+1}$都依赖于未来状态$x_{k+1}$。
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**显示近似非线性项：**
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论文假设非线性项$f$在时间步内近似不变（即$f_{k+1} \approx f_k$），从而：
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$$
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\alpha_{k+1} \approx \alpha_k = \frac{1}{\tau} + f_k, \quad \beta_{k+1} \approx \beta_k = f_k \odot A
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$$
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代入后方程变为：
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$$
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x_{k+1} = x_k + \Delta t \cdot \left[ -\left( \frac{1}{\tau} + f_k \right) x_{k+1} + f_k \odot A \right]
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$$
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**求解：**
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将含$x_{k+1}$的项移到左边：
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$$
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x_{k+1} + \Delta t \left( \frac{1}{\tau} + f_k \right) x_{k+1} = x_k + \Delta t \cdot f_k \odot A
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$$
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提取公因子$x_{k+1}$：
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$$
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x_{k+1} \left[ 1 + \Delta t \left( \frac{1}{\tau} + f_k \right) \right] = x_k + \Delta t \cdot f_k \odot A
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$$
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最终显式解：
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$$
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x_{k+1} = \frac{x_k + \Delta t \cdot f_k \odot A}{1 + \Delta t \left( \frac{1}{\tau} + f_k \right)}
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$$
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- $x_k \in \mathbb{R}^N$ 是第 $k$ 个时间步的隐藏状态向量。
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- $I_k$ 是输入。
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- $f(\cdot)$ 是包含可学习权重的非线性映射，$f_k$ 表示在第 $k$ 步时刻对 $\bigl(x_k,I_k\bigr)$ 的运算结果。
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可以假设
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- $\tau$ 是时间常数（若每个神经元各有一套，可以是一个向量 $\tau \in \mathbb{R}^N$）。
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- $A \in \mathbb{R}^N$ 是可学习的偏置向量。
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- $\odot$ 表示逐元素相乘。
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#### 示例
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**参数与初始数据设定**
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为便于演示，这里只做 **一次** 更新（从 $x_k$ 到 $x_{k+1}$），并给出具体数值。
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- 隐藏层维度 $N=2$。
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- 时间步长 $\Delta t = 1$（只是示例；实际中可更小或可自适应）。
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- 初始隐藏状态和输入（随意设定）：
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$$
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x_k = \begin{bmatrix}0 \\[4pt] 1\end{bmatrix},
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\quad
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I_k = 2.
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$$
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|||
|
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|||
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|
- 令时间常数 $\tau = \begin{bmatrix}1 \\[4pt] 1\end{bmatrix}$（即 2 维，都为 1）。
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|
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|||
|
|
- 令 $A = \begin{bmatrix}2 \\[4pt] -1\end{bmatrix}$。
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|
**非线性 $f$ 的定义**
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- 我们假设
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$$
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|||
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|
f(x,I) \;=\; \mathrm{ReLU}\!\bigl(W_r\,x \;+\; W_i\,I \;+\; b\bigr),
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$$
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其中
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- $W_r$ 是隐藏层的“自连接”或“循环”权重，尺寸 $2\times 2$；
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|
- $W_i$ 是输入到隐藏层的权重，尺寸 $2\times 1$；
|
|||
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|
- $b$ 是偏置向量（2 维）；
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|
- $\mathrm{ReLU}(z)$ 对每个分量做 $\max(z,0)$。
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这里举例设：
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$$
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W_r =
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
0.5 & -0.3\\
|
|||
|
|
0.1 & \;\,0.2
|
|||
|
|
\end{bmatrix},
|
|||
|
|
\quad
|
|||
|
|
W_i =
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
1\\
|
|||
|
|
2
|
|||
|
|
\end{bmatrix},
|
|||
|
|
\quad
|
|||
|
|
b =
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
-1\\
|
|||
|
|
0.5
|
|||
|
|
\end{bmatrix}.
|
|||
|
|
$$
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**计算 $f_k$**
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1. 先算 $W_r\,x_k$：
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$$
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|
W_r\,x_k
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
0.5 & -0.3\\
|
|||
|
|
0.1 & \;\,0.2
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
0\\[3pt]
|
|||
|
|
1
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
0.5 \times 0 \;+\; (-0.3)\times 1\\[5pt]
|
|||
|
|
0.1 \times 0 \;+\; 0.2 \times 1
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
-0.3\\[3pt]
|
|||
|
|
0.2
|
|||
|
|
\end{bmatrix}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
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2. 再算 $W_i \, I_k$：
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$$
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|
W_i \, I_k
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
1\\
|
|||
|
|
2
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
\cdot 2
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
2\\
|
|||
|
|
4
|
|||
|
|
\end{bmatrix}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
3. 加上偏置 $b$：
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|
$$
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|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
-0.3\\[3pt]
|
|||
|
|
0.2
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
+
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
2\\[3pt]
|
|||
|
|
4
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
+
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
-1\\[3pt]
|
|||
|
|
0.5
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
-0.3 + 2 \;-\; 1\\[3pt]
|
|||
|
|
0.2 + 4 \;+\; 0.5
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
0.7\\[3pt]
|
|||
|
|
4.7
|
|||
|
|
\end{bmatrix}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
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|
4. 通过 $\mathrm{ReLU}$，得到
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$$
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|||
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|
f_k
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|||
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|
=
|
|||
|
|
\mathrm{ReLU}\!\Bigl(\begin{bmatrix}0.7\\[4pt]4.7\end{bmatrix}\Bigr)
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}0.7\\[4pt]4.7\end{bmatrix}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**更新 $x_{k+1}$**
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|
$$
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|||
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|
x_{k+1}
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|||
|
|
=
|
|||
|
|
\frac{
|
|||
|
|
x_k + \Delta t\,\bigl[f_k \odot A\bigr]
|
|||
|
|
}{
|
|||
|
|
1 + \Delta t\,\Bigl(\frac{1}{\tau} + f_k\Bigr)
|
|||
|
|
}
|
|||
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|
\quad\longrightarrow\quad
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|
|
\text{都是逐元素算}.
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$$
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1. 先算分子：
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- $f_k \odot A = [\,0.7 \times 2,\;\;4.7 \times(-1)\,] = [\,1.4,\;-4.7]$。
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|||
|
|
- $x_k + \Delta t\,\bigl[f_k \odot A\bigr] = [\,0,\,1\,] + [\,1.4,\;-4.7\,] = [\,1.4,\;-3.7\,]$。
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|||
|
|
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|
|
2. 分母也要逐元素：
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$$
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|
|
1 + \Delta t \Bigl(\frac{1}{\tau} + f_k\Bigr)
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
1 + 1 \cdot
|
|||
|
|
\bigl([\,1,\,1\,] + [\,0.7,\,4.7\,]\bigr)
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
1 + [\,1.7,\,5.7\,]
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
[\,2.7,\;\,6.7\,].
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
3. 逐元素相除：
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|
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|
$$
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|||
|
|
x_{k+1}
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\bigl[\,1.4,\;-3.7\bigr]
|
|||
|
|
\;\Big/\;
|
|||
|
|
\bigl[\,2.7,\;6.7\bigr]
|
|||
|
|
=
|
|||
|
|
\Bigl[\;\frac{1.4}{2.7},\;\;\frac{-3.7}{6.7}\Bigr]
|
|||
|
|
\approx
|
|||
|
|
[\,0.5185,\;-0.5522\,].
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
因此，我们最终得到
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|||
|
|
$$
|
|||
|
|
x_{k+1} \approx [\,0.5185,\;-0.5522\,].
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|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
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|
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#### 训练方法
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论文采用 **BPTT（通过时间反向传播）** 进行训练：
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1. **前向传播**：
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使用数值求解器（融合显式-隐式欧拉法）沿时间步迭代计算状态 $x(t)$，公式为：
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$$
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x_{k+1} = \frac{x_k + \Delta t \cdot f_k \odot A}{1 + \Delta t \left( \frac{1}{\tau} + f_k \right)}
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|
$$
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|
其中 $f_k = f(x_k, I_k, t_k, \theta)$，所有中间状态 $\{x_0, x_1, ..., x_T\}$ 被缓存。
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|
2. **反向传播**：
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从最终损失 $L$ 出发，沿时间步逆向计算梯度：
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- 通过链式法则逐层传递梯度 $\frac{\partial L}{\partial x_k}$；
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|
- 更新参数 $\tau$, $A$, $\theta$ 的梯度：$\nabla_{\tau} L$, $\nabla_{A} L$, $\nabla_{\theta} L$；
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|
- 显式利用缓存的中间状态，避免伴随方法的重积分误差。
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|
3. **优势**：
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- 精度高：直接计算梯度，无近似误差累积；
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- 稳定性强：适用于刚性（Stiff）动力学系统；
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- 代价：内存复杂度为 $O(T)$（$T$ 为时间步数），需权衡序列长度。
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代码训练：python har.py --model ltc --size 32 --epochs 50 --log 1
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#### **液态时间常数的直观作用**
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**对快/慢时间尺度的自适应**：
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当网络检测到输入信号变化非常快或幅度很大时，可动态增大衰减、加速更新；反之信号较稳定时，则让衰减变小、记忆更久。
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**增强模型的非线性表征能力**：
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因为衰减系数也会因网络状态而变，所以整体微分方程更具表达力，理论上能更好地逼近复杂的非线性时变系统。
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**优势**
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- **参数数量减少**：每个神经元本身通过内置的动态机制承担了更多的功能，网络在**捕捉时间依赖性**时不需要额外堆叠大量的隐藏层或者引入复杂的循环结构(LSTM、GRU)。这大大减少了模型参数数量，从而降低了计算资源和能耗。
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- **稀疏激活**：动态更新机制意味着并非所有神经元在每个时刻都需要全量参与计算，只有部分神经元在关键时刻激活处理，从而提升整体计算效率。
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**应用场景**
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**无人机和自动驾驶**
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- 由于液态神经网络能够在新环境下实时适应，其在无人机导航和自动驾驶系统中表现出色。研究表明，即使在复杂、未见过的场景中，它也能做出精准决策，从而实现高效导航。
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**金融和医疗预测**
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- 在处理连续的时间序列数据（如股票价格、气候数据或生命体征监控）时，液态神经网络能够捕捉细微的动态变化，帮助进行更准确的预测与预警。
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