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### **步骤 1：验证矩阵对称性**  
确保 $A$ 是实对称矩阵（即 $A = A^\top$），此时SVD可通过特征分解直接构造。

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### **步骤 2：计算特征分解**  
对 $A$ 进行特征分解：  
$$
A = Q \Lambda Q^\top
$$
其中：  
- $Q$ 是正交矩阵（$Q^\top Q = I$），列向量为 $A$ 的特征向量。  
- $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，$\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值（可能有正、负或零）。  

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### **步骤 3：构造奇异值矩阵 $\Sigma$**  
- **奇异值**：取特征值的绝对值 $\sigma_i = |\lambda_i|$，得到对角矩阵：  
  $$
  \Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)
  $$
- **排列顺序**：通常按 $\sigma_i$ 降序排列（可选，但推荐）。  

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### **步骤 4：处理符号（负特征值）**  
- **符号矩阵 $S$**：定义对角矩阵 $S = \text{diag}(s_1, s_2, \dots, s_n)$，其中：  
  $$
  s_i = \begin{cases} 
  1 & \text{if } \lambda_i \geq 0, \\
  -1 & \text{if } \lambda_i < 0.
  \end{cases}
  $$
- **左奇异向量矩阵 $U$**：调整特征向量的方向：  
  $$
  U = Q S
  $$
  即 $U$ 的列为 $Q$ 的列乘以对应特征值的符号。  

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### **步骤 5：确定右奇异向量矩阵 $V$**  
由于 $A$ 对称，右奇异向量矩阵 $V$ 直接取特征向量矩阵：  
$$
V = Q
$$

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### **步骤 6：组合得到SVD**  
最终SVD形式为：  
$$
A = U \Sigma V^\top
$$
验证：  
$$
U \Sigma V^\top = (Q S) \Sigma Q^\top = Q (S \Sigma) Q^\top = Q \Lambda Q^\top = A
$$
（因为 $S \Sigma = \Lambda$，例如 $\text{diag}(-1) \cdot \text{diag}(2) = \text{diag}(-2)$）。  

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### **关键性质与注意事项**  
1. **奇异值与特征值**：$\Sigma$ 的非零对角元是 $|\Lambda|$ 的非零对角元。  
2. **零特征值**：若 $\lambda_i = 0$，则 $\sigma_i = 0$，对应 $U$ 和 $V$ 的列向量属于 $A$ 的核空间。  
3. **唯一性**：  
   - 奇异值 $\Sigma$ 唯一（按降序排列时）。  
   - 奇异向量 $U$ 和 $V$ 的符号可能不唯一（因特征向量方向可反转）。  
4. **计算效率**：对称矩阵的SVD无需计算 $AA^\top$ 或 $A^\top A$，直接通过特征分解获得。  

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### **示例**  
设对称矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$：  
1. **特征分解**：  
   - 特征值：$\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$。  
   - 特征向量：$Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$。  
2. **构造SVD**：  
   - $\Sigma = \text{diag}(1, 1)$（$|\lambda_i|$）。  
   - $S = \text{diag}(1, -1)$，故 $U = Q S = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$。  
   - $V = Q$。  
3. **结果**：  
   $$
   A = \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}_U \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}_\Sigma \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^\top}_{V^\top}
   $$

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