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# 力扣Hot 100题

## 杂项

- **最大值**：`Integer.MAX_VALUE`
- **最小值**：`Integer.MIN_VALUE`



### **数组集合比较**

**`Arrays.equals(array1, array2)`**

- 用于比较两个数组是否相等（内容相同）。

- 支持多种类型的数组（如 `int[]`、`char[]`、`Object[]` 等）。

- ```java
  int[] arr1 = {1, 2, 3};
  int[] arr2 = {1, 2, 3};
  boolean isEqual = Arrays.equals(arr1, arr2); // true



`Collections` 类本身没有直接提供类似 `Arrays.equals` 的方法来比较两个集合的内容是否相等。不过，Java 中的集合类（如 `List`、`Set`、`Map`）已经实现了 `equals` 方法

- ```java
  List<Integer> list1 = Arrays.asList(1, 2, 3);
          List<Integer> list2 = Arrays.asList(1, 2, 3);
          List<Integer> list3 = Arrays.asList(3, 2, 1);
          System.out.println(list1.equals(list2)); // true
          System.out.println(list1.equals(list3)); // false（顺序不同）
  ```



**逻辑比较**

```java
boolean flag = false;
if (!flag) {    //! 是 Java 中的逻辑非运算符，只能用于对布尔值取反。
    System.out.println("flag 是 false");
}

if (flag == false) {             //更常用！
    System.out.println("flag 是 false");
}
//java中没有 if(not flag) 这种写法！
```



### Character好用的方法

`Character.isDigit(char c)`用于判断一个字符是否是一个数字字符

`Character.isLetter(char c)`用于判断字符是否是一个字母（大小写字母都可以）。

`Character.isLowerCase(char c)`判断字符是否是小写字母。

`Character.toLowerCase(char c)`将字符转换为小写字母。



### Integer好用的方法

`Integer.parseInt(String s)`：将字符串 `s` 解析为一个整数（`int`）。

`Integer.toString(int i)`：将 `int` 转换为字符串。

`Integer.compare(int a,int b)`  比较a和b的大小，内部实现类似：

```
public static int compare(int x, int y) {
    return (x < y) ? -1 : ((x == y) ? 0 : 1);
}
```

避免了 **整数溢出** 的风险，在排序中建议使用`Integer.compare(a,b)`代替 `a-b`。注意，仅支持Integer[] arr，不支持int[] arr。



## 常用数据结构

### String

子串：字符串中**连续的一段字符**。

子序列：字符串中**按顺序选取的一段字符**，可以不连续。

异位词：字母相同、字母频率相同、顺序不同，如`"listen"` 和 `"silent"`



排序：

需要String先转为char [] 数组，排序好之后再转为String类型！！

```java
char[] charArray = str.toCharArray();
Arrays.sort(charArray);
String sortedStr = new String(charArray);
```



取字符：

- `charAt(int index)` 方法返回指定索引处的 `char` 值。
- `char` 是基本数据类型，占用 2 个字节，表示一个 Unicode 字符。
- `HashSet<Character> set = new HashSet<Character>();` 

取子串：

- `substring(int beginIndex, int endIndex)` 方法返回从 `beginIndex` 到 `endIndex - 1` 的子字符串。
- 返回的是 `String` 类型，即使子字符串只有一个字符。



### StringBuffer

`StringBuffer` 是 Java 中用于操作可变字符串的类

```java
public class StringBufferExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建初始字符串 "Hello"
        StringBuffer sb = new StringBuffer("Hello");
        System.out.println("Initial: " + sb.toString());  // 输出 "Hello"
        
        // 1. append：在末尾追加 " World"
        sb.append(" World");
        System.out.println("After append: " + sb.toString());  // 输出 "Hello World"
        
        // 2. insert：在索引 5 位置（"Hello"后）插入 ", Java"
        sb.insert(5, ", Java");
        System.out.println("After insert: " + sb.toString());  // 输出 "Hello, Java World"
        
        // 3. delete：删除从索引 5 到索引 11（不包含）的子字符串（即删除刚才插入的 ", Java"）
        sb.delete(5, 11);
        //sb.delete(5, sb.length()); 删除到末尾
        System.out.println("After delete: " + sb.toString());  // 输出 "Hello World"
        
        // 4. deleteCharAt：删除索引 5 处的字符（删除空格）
        sb.deleteCharAt(5);
        System.out.println("After deleteCharAt: " + sb.toString());  // 输出 "HelloWorld"
        
        // 5. reverse：反转整个字符串
        sb.reverse();
        System.out.println("After reverse: " + sb.toString());  // 输出 "dlroWolleH"
    }
}
```

`StringBuffer`有库函数可以翻转，String未提供！

```java
StringBuilder sb = new StringBuilder(s);
String reversed = sb.reverse().toString();
```

StringBuffer清空内容：

```java
StringBuffer sb = new StringBuffer("Hello, world!");
System.out.println("Before clearing: " + sb);
// 清空 StringBuffer
sb.setLength(0);
```

`StringBuffer` 的 `append()` 方法不仅支持添加普通的字符串，也可以直接将另一个 `StringBuffer` 对象添加到当前的 `StringBuffer`。



### HashMap

- 基于哈希表实现，查找、插入和删除的平均时间复杂度为 O(1)。
- 不保证元素的顺序。

```java
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

public class HashMapExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建 HashMap
        Map<String, Integer> map = new HashMap<>();

        // 添加键值对
        map.put("apple", 10);
        map.put("banana", 20);
        map.put("orange", 30);

        // 获取值
        int appleCount = map.get("apple");   //如果获取不存在的元素，返回null
        System.out.println("Apple count: " + appleCount); // 输出 10

        // 遍历 HashMap
        for (Map.Entry<String, Integer> entry : map.entrySet()) {
            System.out.println(entry.getKey() + ": " + entry.getValue());
        }
        // 输出：
        // apple: 10
        // banana: 20
        // orange: 30

        // 检查是否包含某个键
        boolean containsBanana = map.containsKey("banana");
        System.out.println("Contains banana: " + containsBanana); // 输出 true

        // 删除键值对
        map.remove("orange");   //删除不存在的元素也不会报错
        System.out.println("After removal: " + map); // 输出 {apple=10, banana=20}
    }
}
```

记录二维数组中某元素是否被访问过，推荐使用：

```java
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
boolean[][] visited = new boolean[m][n];

// 访问 (i, j) 时标记为已访问
visited[i][j] = true;
```

而非创建自定义Pair二元组作为键用Map记录。



### HashSet

- 基于哈希表实现，查找、插入和删除的平均时间复杂度为 O(1)。

- 不保证元素的顺序!!因此不太用iterator迭代，而是用contains判断是否有xx元素。

```java
  import java.util.HashSet;
  import java.util.Set;
  
  public class HashSetExample {
      public static void main(String[] args) {
          // 创建 HashSet
          Set<Integer> set = new HashSet<>();
  
          // 添加元素
          set.add(10);
          set.add(20);
          set.add(30);
          set.add(10); // 重复元素，不会被添加
  
          // 检查元素是否存在
          boolean contains20 = set.contains(20);
          System.out.println("Contains 20: " + contains20); // 输出 true
  
          // 遍历 HashSet
          for (int num : set) {
              System.out.println(num);
          }
          // 输出：
          // 20
          // 10
          // 30
  
          // 删除元素
          set.remove(20);
          System.out.println("After removal: " + set); // 输出 [10, 30]
      }
  }
```



### PriorityQueue

- 基于优先堆（最小堆或最大堆）实现，元素按优先级排序。
- **默认是最小堆**，即队首元素是最小的。  `new PriorityQueue<>(Comparator.reverseOrder());`定义最大堆
- 支持自定义排序规则，通过 `Comparator` 实现。

**常用方法：**

`add(E e)` / `offer(E e)`：

- 功能：将元素插入队列。
- 时间复杂度：`O(log n)`
- 区别
  - `add`：当队列满时会抛出异常。
  - `offer`：当队列满时返回 `false`，不会抛出异常。

`remove()` / `poll()`：

- 功能：移除并返回队首元素。
- 时间复杂度：`O(log n)`
- 区别
  - `remove`：队列为空时抛出异常。
  - `poll`：队列为空时返回 `null`。

`element()` / `peek()`：

- 功能：查看队首元素，但不移除。
- 时间复杂度：`O(1)`
- 区别
  - `element`：队列为空时抛出异常。
  - `peek`：队列为空时返回 `null`。

`clear()`：

- 功能：清空队列。
- 时间复杂度：`O(n)`（因为需要删除所有元素）

```java
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Comparator;

public class PriorityQueueExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建 PriorityQueue（默认是最小堆）
        PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();

        // 添加元素
        minHeap.add(10);
        minHeap.add(20);
        minHeap.add(5);

        // 查看队首元素
        System.out.println("队首元素: " + minHeap.peek()); // 输出 5

        // 遍历 PriorityQueue（注意：遍历顺序不保证有序）
        System.out.println("遍历 PriorityQueue:");
        for (int num : minHeap) {
            System.out.println(num);
        }
        // 输出：
        // 5
        // 10
        // 20

        // 移除队首元素
        System.out.println("移除队首元素: " + minHeap.poll()); // 输出 5

        // 再次查看队首元素
        System.out.println("队首元素: " + minHeap.peek()); // 输出 10

        // 创建最大堆（通过自定义 Comparator）
        PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(Comparator.reverseOrder());
        maxHeap.add(10);
        maxHeap.add(20);
        maxHeap.add(5);

        // 查看队首元素
        System.out.println("最大堆队首元素: " + maxHeap.peek()); // 输出 20

        // 清空队列
        minHeap.clear();
        System.out.println("队列是否为空: " + minHeap.isEmpty()); // 输出 true
    }
}
```



**自定义排序：按第二个元素的值构建小根堆**

如何比较器返回负数，则第一个数排在前面->优先级高->在堆顶

```java
public class CustomPriorityQueue {
    public static void main(String[] args) {
        // 定义一个 PriorityQueue，其中每个元素是 int[]，并且按照数组第二个元素升序排列
        PriorityQueue<int[]> minHeap = new PriorityQueue<>(
            (a, b) -> return a[i]-b[i];
        );
        
        // 添加数组
        minHeap.offer(new int[]{1, 2});
        minHeap.offer(new int[]{3, 4});
        minHeap.offer(new int[]{0, 5});
        
        // 依次取出元素，输出结果
        while (!minHeap.isEmpty()) {
            int[] arr = minHeap.poll();
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }
}
```

不用lambda版本：

```java
PriorityQueue<int[]> minHeap = new PriorityQueue<>(new Comparator<int[]>() {
    @Override
    public int compare(int[] a, int[] b) {
        return a[1] - b[1];
    }
});
```



#### **自己实现小根堆：**

**父节点**：对于任意索引 `i`，其父节点的索引为 `(i - 1) // 2`。

**左子节点**：索引为 `i` 的节点，其左子节点的索引为 `2 * i + 1`。

**右子节点**：索引为 `i` 的节点，其右子节点的索引为 `2 * i + 2`。

**上滤与下滤操作**

- **上滤**（Sift-Up）：
  用于插入操作。将新加入的元素与其父节点不断比较，若小于父节点则交换，直到满足堆序性质。
- **下滤**（Sift-Down）：
  用于删除操作或建堆。将根节点或某个节点与其子节点中较小的进行比较，若大于子节点则交换，直至满足堆序性质。

**建堆：**从数组中最后一个非叶节点开始（索引为 `heapSize/2 - 1`），对每个节点执行**下滤**操作（sift-down）

**插入元素：**将新元素插入到堆的末尾，然后执行**上滤**操作（sift-up），以保持堆序性质。

**弹出元素（删除堆顶）：**弹出操作一般是删除堆顶元素（小根堆中即最小值），然后用堆尾元素替代堆顶，再进行**下滤**操作。



```java
class MinHeap {
    private int[] heap; // 数组存储堆元素
    private int size;   // 当前堆中元素的个数

    // 构造函数，初始化堆，capacity为堆的最大容量
    public MinHeap(int capacity) {
        heap = new int[capacity];
        size = 0;
    }

    // 插入元素：先将新元素添加到数组末尾，然后执行上滤操作恢复堆序性质
    public void insert(int value) {
        if (size >= heap.length) {
            throw new RuntimeException("Heap is full");
        }
        // 将新元素放到末尾
        heap[size] = value;
        int i = size;
        size++;

        // 上滤操作：不断与父节点比较，若新元素小于父节点则交换
        while (i > 0) {
            int parent = (i - 1) / 2;
            if (heap[i] < heap[parent]) {
                swap(heap, i, parent);
                i = parent;
            } else {
                break;
            }
        }
    }

    // 弹出堆顶元素：移除堆顶（最小值），用最后一个元素替换堆顶，然后下滤恢复堆序
    public int pop() {
        if (size == 0) {
            throw new RuntimeException("Heap is empty");
        }
        int min = heap[0];
        // 将最后一个元素移到堆顶
        heap[0] = heap[size - 1];
        size--;
        // 对新的堆顶执行下滤操作，恢复堆序性质
        minHeapify(heap, 0, size);
        return min;
    }

    // 建堆：将无序数组a构造成小根堆，heapSize为数组长度
    public static void buildMinHeap(int[] a, int heapSize) {
        for (int i = heapSize / 2 - 1; i >= 0; --i) {
            minHeapify(a, i, heapSize);
        }
    }

    // 下滤操作：从索引i开始，将子树调整为小根堆
    public static void minHeapify(int[] a, int i, int heapSize) {
        int l = 2 * i + 1, r = 2 * i + 2;
        int smallest = i;
        // 判断左子节点是否存在且比当前节点小
        if (l < heapSize && a[l] < a[smallest]) {
            smallest = l;
        }
        // 判断右子节点是否存在且比当前最小节点小
        if (r < heapSize && a[r] < a[smallest]) {
            smallest = r;
        }
        // 如果最小值不是当前节点，交换后继续对被交换的子节点执行下滤操作
        if (smallest != i) {
            swap(a, i, smallest);
            minHeapify(a, smallest, heapSize);
        }
    }

    // 交换数组中两个位置的元素
    public static void swap(int[] a, int i, int j) {
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }

}

```

改为大根堆只需要把里面 ''<'' 符号改为 ''>''



### **ArrayList**

- 基于数组实现，支持动态扩展。
- 访问元素的时间复杂度为 O(1)，在末尾插入和删除的时间复杂度为 O(1)。
- 在指定位置插入和删除O(n)    `add(int index, E element)`   `remove(int index)`

复制链表(list set queue都有addAll方法，map是putAll)：

```java
List<Integer> list1 = new ArrayList<>();
// 假设 list1 中已有数据
List<Integer> list2 = new ArrayList<>();
list2.addAll(list1);   //法一
List<Integer> list2 = new ArrayList<>(list1);  //法二
```

清空(list set map queue map都有clear方法):

```java
List<Integer> list = new ArrayList<>();
// 清空 list
list.clear();
```



```java
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class ArrayListExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建 ArrayList
        List<Integer> list = new ArrayList<>();

        // 添加元素
        list.add(10);
        list.add(20);
        list.add(30);
        
        int size = list.size(); // 获取列表大小
		System.out.println("Size of list: " + size); // 输出 3

        // 获取元素
        int firstElement = list.get(0);
        System.out.println("First element: " + firstElement); // 输出 10

        // 修改元素
        list.set(1, 25); // 将第二个元素改为 25
        System.out.println("After modification: " + list); // 输出 [10, 25, 30]

        // 遍历 ArrayList
        for (int num : list) {
            System.out.println(num);
        }
        // 输出：
        // 10
        // 25
        // 30

        // 删除元素
        list.remove(2); // 删除第三个元素
        System.out.println("After removal: " + list); // 输出 [10, 25]
    }
}
```

**如果事先不知道嵌套列表的大小如何遍历呢？**

```java
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

int rows = 3;
int cols = 3;
List<List<Integer>> list = new ArrayList<>();


for (List<Integer> row : list) {
    for (int num : row) {
        System.out.print(num + " ");
    }
    System.out.println(); // 换行
}
for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
    List<Integer> row = list.get(i);
    for (int j = 0; j < row.size(); j++) {
        System.out.print(row.get(j) + " ");
    }
    System.out.println(); // 换行
}
```




### **数组（Array）**

数组是一种固定长度的数据结构，用于存储相同类型的元素。数组的特点包括：

- **固定长度**：数组的长度在创建时确定，无法动态扩展。
- **快速访问**：通过索引访问元素的时间复杂度为 O(1)。
- **连续内存**：数组的元素在内存中是连续存储的。

```java
public class ArrayExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建数组
        int[] array = new int[5]; // 创建一个长度为 5 的整型数组

        // 添加元素
        array[0] = 10;
        array[1] = 20;
        array[2] = 30;
        array[3] = 40;
        array[4] = 50;

        // 获取元素
        int firstElement = array[0];
        System.out.println("First element: " + firstElement); // 输出 10

        // 修改元素
        array[1] = 25; // 将第二个元素改为 25
        System.out.println("After modification:");
        for (int num : array) {
            System.out.println(num);
        }
        // 输出：
        // 10
        // 25
        // 30
        // 40
        // 50

        // 遍历数组
        System.out.println("Iterating through array:");
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.println("Index " + i + ": " + array[i]);
        }
        // 输出：
        // Index 0: 10
        // Index 1: 25
        // Index 2: 30
        // Index 3: 40
        // Index 4: 50

        // 删除元素（数组长度固定，无法直接删除，可以通过覆盖实现）
        int indexToRemove = 2; // 要删除的元素的索引
        for (int i = indexToRemove; i < array.length - 1; i++) {
            array[i] = array[i + 1]; // 将后面的元素向前移动
        }
        array[array.length - 1] = 0; // 最后一个元素置为 0（或其他默认值）
        System.out.println("After removal:");
        for (int num : array) {
            System.out.println(num);
        }
        // 输出：
        // 10
        // 25
        // 40
        // 50
        // 0

        // 数组长度
        int length = array.length;
        System.out.println("Array length: " + length); // 输出 5
    }
}
```

复制数组：

```
int[] source = {1, 2, 3, 4, 5};
int[] destination = Arrays.copyOf(source, source.length);
int[] partialArray = Arrays.copyOfRange(source, 1, 4);   //复制指定元素，不包括索引4
```

初始化：

int double 数值默认初始化为0，boolean默认初始化为false

```
int[] memo = new int[nums.length];
Arrays.fill(memo, -1);
```



### 二维数组

```java
int rows = 3;
int cols = 3;
int[][] array = new int[rows][cols];
// 填充数据
for (int i = 0; i < rows; i++) {
    for (int j = 0; j < cols; j++) {
        array[i][j] = i * cols + j + 1;
    }
}
//创建并初始化
int[][] array = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6},
    {7, 8, 9}
};

// 遍历二维数组，不知道几行几列
public void setZeroes(int[][] matrix) {
    // 遍历每一行
    for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
        // 遍历当前行的每一列
        for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
            // 这里可以处理 matrix[i][j] 的元素
            System.out.print(matrix[i][j] + " ");
        }
        System.out.println(); // 换行，便于输出格式化
    }
}
```

[[1, 0]] 是一行两列数组。




### Queue

队尾插入，队头取！

```java
import java.util.Queue;
import java.util.LinkedList;

public class QueueExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个队列
        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();

        // 添加元素到队列中
        queue.add(10);       // 使用 add() 方法添加元素
        queue.offer(20);     // 使用 offer() 方法添加元素
        queue.add(30);
        System.out.println("队列内容：" + queue);

        // 查看队头元素，不移除
        int head = queue.peek();
        System.out.println("队头元素（peek）： " + head);

        // 移除队头元素
        int removed = queue.poll();
        System.out.println("移除的队头元素（poll）： " + removed);
        System.out.println("队列内容：" + queue);

        // 再次移除队头元素
        int removed2 = queue.remove();
        System.out.println("移除的队头元素（remove）： " + removed2);
        System.out.println("队列内容：" + queue);
    }
}
```



### Deque(双端队列+栈)

支持在队列的两端（头和尾）进行元素的插入和删除。这使得 Deque 既能作为队列（FIFO）又能作为栈（LIFO）使用。

建议在需要栈操作时使用 `Deque` 的实现

**栈**

```java
Deque<Integer> stack = new ArrayDeque<>();
//Deque<Integer> stack = new LinkedList<>();
stack.push(1);   // 入栈
Integer top1=stack.peek()
Integer top = stack.pop();   // 出栈
```

- **LinkedList** 是基于双向链表实现的，每个节点存储数据和指向前后节点的引用。
- **ArrayDeque** 则基于动态数组实现，内部使用循环数组来存储数据。
- **ArrayDeque** 在大多数情况下性能更好，因为数组在内存中连续，缓存友好，且操作（如 push/pop）开销更小。



**双端队列**

*在队头操作*

- `addFirst(E e)`：在队头添加元素，如果操作失败会抛出异常。
- `offerFirst(E e)`：在队头插入元素，返回 `true` 或 `false` 表示是否成功。
- `peekFirst()`：查看队头元素，不移除；队列为空返回 `null`。
- `removeFirst()`：移除并返回队头元素；队列为空会抛出异常。
- `pollFirst()`：移除并返回队头元素；队列为空返回 `null`。

*在队尾操作*

- `addLast(E e)`：在队尾添加元素，若失败会抛出异常。
- `offerLast(E e)`：在队尾插入元素，返回 `true` 或 `false` 表示是否成功。
- `peekLast()`：查看队尾元素，不移除；队列为空返回 `null`。
- `removeLast()`：移除并返回队尾元素；队列为空会抛出异常。
- `pollLast()`：移除并返回队尾元素；队列为空返回 `null`。



*添加元素*：调用 `add(e)` 或 `offer(e)` 时，实际上是调用 `addLast(e)` 或 `offerLast(e)`，即在**队尾**添加元素。

*删除或查看元素*：调用 `remove()` 或 `poll()` 时，则是调用 `removeFirst()` 或 `pollFirst()`，即在队头移除元素；同理，`element()` 或 `peek()` 则是查看队头元素。

```java
import java.util.Deque;
import java.util.LinkedList;

public class DequeExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 使用 LinkedList 实现双端队列
        Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();

        // 在队列头部添加元素
        deque.addFirst(10);
        // 在队列尾部添加元素
        deque.addLast(20);
        // 在队列头部插入元素
        deque.offerFirst(5);
        // 在队列尾部插入元素
        deque.offerLast(30);

        System.out.println("双端队列内容：" + deque);

        // 查看队头和队尾元素，不移除
        int first = deque.peekFirst();
        int last = deque.peekLast();
        System.out.println("队头元素：" + first);
        System.out.println("队尾元素：" + last);

        // 从队头移除元素
        int removedFirst = deque.removeFirst();
        System.out.println("移除队头元素：" + removedFirst);
        // 从队尾移除元素
        int removedLast = deque.removeLast();
        System.out.println("移除队尾元素：" + removedLast);

        System.out.println("双端队列最终内容：" + deque);
    }
}
```



### Iterator

- **`HashMap`、`HashSet`、`ArrayList` 和 `PriorityQueue`** 都实现了 `Iterable` 接口，支持 `iterator()` 方法。

`Iterator` 接口中包含以下主要方法：

1. `hasNext()`：如果迭代器还有下一个元素，则返回 `true`，否则返回 `false`。
2. `next()`：返回迭代器的下一个元素，并将迭代器移动到下一个位置。
3. `remove()`：从迭代器当前位置删除元素。该方法是可选的，不是所有的迭代器都支持。

```java
import java.util.ArrayList;
import java.util.Iterator;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个 ArrayList 集合
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(1);
        list.add(2);
        list.add(3);

        // 获取集合的迭代器
        Iterator<Integer> iterator = list.iterator();

        // 使用迭代器遍历集合并输出元素
        while (iterator.hasNext()) {
            Integer element = iterator.next();
            System.out.println(element);
        }
    }
}
```



## 排序

排序时间复杂度:O(nlog(n))

求最大值：O(n)



### 快速排序

**基本思想：**

快速排序是一种基于“分治”思想的排序算法，通过选定一个“枢轴元素（pivot）”，将数组划分为左右两个子区间：左边都小于等于 pivot，右边都大于等于 pivot；然后对这两个子区间递归排序，最终使整个数组有序。

```java
public class QuickSortWithSwap {
    
    // 交换数组中两个元素的位置
    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    private static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {
        if (low < high) {
            int pivotPos = partition(arr, low, high); // 划分
            quickSort(arr, low, pivotPos - 1);  // 递归排序左子表
            quickSort(arr, pivotPos + 1, high); // 递归排序右子表
        }
    }

    private static int partition(int[] arr, int low, int high) {
        int pivot = arr[low]; // 选取第一个元素作为枢轴
        int left = low;       // 左指针
        int right = high;     // 右指针
        
        while (left < right) {
            // 从右向左找第一个小于枢轴的元素
            while (left < right && arr[right] >= pivot) {
                right--;
            }
            // 从左向右找第一个大于枢轴的元素
            while (left < right && arr[left] <= pivot) {
                left++;
            }
            // 交换这两个元素
            if (left < right) {
                swap(arr, left, right);
            }
        }
        // 将枢轴放到最终位置
        swap(arr, low, left);
        return left; // 返回枢轴的位置
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49};
 
        quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
        
        System.out.println("\n排序后:");
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
    }
}
```



### 冒泡排序

**基本思想：**

【每次将最小/大元素，通过依次交换顺序，放到首/尾位。】

- 从后往前（或从前往后）两两比较相邻元素的值，若为逆序, 则交换它们，直到序列比较完。我们称它为第一趟冒泡，结果是将最小的元素交换到待排序列的第一个位置（或将最大的元素交换到待排序列的最后一个位置）；
- 下一趟冒泡时，前一趟确定的最小元素不再参与比较，每趟冒泡的结果是把序列中的最小元素（或最大元素）放到了序列的最终位置。
- ……这样最多做n - 1趟冒泡就能把所有元素排好序。
- 如若有一趟没有元素交换位置，则可提前说明已排好序。
  

![image-20250403170049551](https://pic.bitday.top/i/2025/04/03/s4ffs8-0.png)

```java
public void bubbleSort(int[] arr){
        //n-1 趟冒泡
        for (int i = 0; i < arr.length-1; i++) {
            boolean flag=false;
            //冒泡
            for (int j = arr.length-1; j >i ; j--) {
                if (arr[j-1]>arr[j]){
                    swap(arr,j-1,j);
                    flag=true;
                }
            }
            //本趟遍历后没有发生交换，说明表已经有序
            if (!flag){
                return;
            }
        }
    }
    private void swap(int[] arr,int i,int j){
        int temp=arr[i];
        arr[i]=arr[j];
        arr[j]=temp;
    }
```



### 归并排序

**基本思想：**

将待排序的数组视为多个有序子表，每个子表的长度为 1，通过两两归并逐步合并成一个有序数组。

**实现思路**

- 分解：递归地将数组拆分成两个子数组，直到每个子数组只有一个元素。
- 合并：将两个有序子数组合并为一个有序数组。

**时间复杂度**：
O(n log n)，无论最坏、最好、平均情况。

```java
public class MergeSort {

    /**
     * 归并排序（入口函数）
     * @param arr 待排序数组
     */
    public static void mergeSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length <= 1) {
            return; // 边界条件
        }
        int[] temp = new int[arr.length]; // 辅助数组
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    }

    private static void mergeSort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if (left < right) {
            int mid = (right + left) / 2; 
            mergeSort(arr, left, mid, temp);     // 递归左子数组
            mergeSort(arr, mid + 1, right, temp); // 递归右子数组
            merge(arr, left, mid, right, temp);  // 合并两个有序子数组
        }
    }

    private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left;    // 左子数组起始指针
        int j = mid + 1; // 右子数组起始指针
        int t = 0;       // 辅助数组指针

        // 1. 按序合并两个子数组到temp
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) { // 注意等号保证稳定性
                temp[t++] = arr[i++];
            } else {
                temp[t++] = arr[j++];
            }
        }

        // 2. 将剩余元素拷贝到temp
        while (i <= mid) {
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {
            temp[t++] = arr[j++];
        }

        // 3. 将temp中的数据复制回原数组
        t = 0;
        while (left <= right) {
            arr[left++] = temp[t++];
        }
    }
}
```



### 数组排序

默认升序：

```java
import java.util.Arrays;

public class ArraySortExample {
    public static void main(String[] args) {
        int[] numbers = {5, 2, 9, 1, 5, 6};
        Arrays.sort(numbers); // 对数组进行排序
        System.out.println(Arrays.toString(numbers)); // 输出 [1, 2, 5, 5, 6, 9]
    }
}
```



自定义降序：

注意：如果数组元素是对象（例如 `Integer`、`String` 或自定义类）那么可以利用 `Arrays.sort()` 方法配合自定义的比较器（Comparator）实现降序排序。例如，对于 `Integer` 数组，可以这样写：

```java
public class DescendingSortExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个Integer数组
        Integer[] arr = {5, 2, 9, 1, 5, 6};

        // 使用Comparator进行降序排序（使用lambda表达式）
        Arrays.sort(arr, (a, b) -> b - a);
        // 或者使用Collections.reverseOrder()也可以：
        // Arrays.sort(arr, Collections.reverseOrder());

        // 输出排序后的数组
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}
```



对于基本数据类型的数组（如 `int[]`、`double[]` 等），`Arrays.sort()` 方法**仅支持升序排序**，需要先对数组进行升序排序，然后反转数组元素顺序！。

```java
public class DescendingPrimitiveSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {5, 2, 9, 1, 5, 6};

        // 先排序（升序）
        Arrays.sort(arr);

        // 反转数组
        for (int i = 0; i < arr.length / 2; i++) {
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[arr.length - 1 - i];
            arr[arr.length - 1 - i] = temp;
        }

        // 输出结果
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}
```



### 集合排序

```java
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

public class ListSortExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个 ArrayList 并添加元素
        List<Integer> numbers = new ArrayList<>();
        numbers.add(5);
        numbers.add(2);
        numbers.add(9);
        numbers.add(1);
        numbers.add(5);
        numbers.add(6);

        // 对 List 进行排序
        Collections.sort(numbers);

        // 输出排序后的 List
        System.out.println(numbers); // 输出 [1, 2, 5, 5, 6, 9]
    }
}
```



### 自定义排序

要实现接口自定义排序，必须实现 `Comparator<T>` 接口的 `compare(T o1, T o2)` 方法。

`Comparator` 接口中定义的 `compare(T o1, T o2)` 方法返回**一个整数**（非布尔值！！），这个整数的正负意义如下：

- 如果返回负数，说明 `o1` 排在 `o2`前面。
- 如果返回零，说明 `o1` 等于 `o2`。
- 如果返回正数，说明 `o1` 排在 `o2`后面。



**自定义比较器排序二维数组**  用Lambda表达式实现`Comparator<int[]>接口`

```java
import java.util.Arrays;

public class IntervalSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] intervals = { {1, 3}, {2, 6}, {8, 10}, {15, 18} };

        // 自定义比较器，先比较第一个元素，如果相等再比较第二个元素
        Arrays.sort(intervals, (a, b) -> {
            if (a[0] != b[0]) {
                return Integer.compare(a[0], b[0]);
            } else {
                return Integer.compare(a[1], b[1]);
            }
        });

        // 输出排序结果
        for (int[] interval : intervals) {
            System.out.println(Arrays.toString(interval));
        }
    }
}
```



对象排序，不用lambda方式

```java
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;

class Person {
    String name;
    int age;

    public Person(String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return name + " (" + age + ")";
    }
}

public class ComparatorSortExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个 Person 列表
        List<Person> people = new ArrayList<>();
        people.add(new Person("Alice", 25));
        people.add(new Person("Bob", 20));
        people.add(new Person("Charlie", 30));

        // 使用 Comparator 按姓名排序,匿名内部类形式
        Collections.sort(people, new Comparator<Person>() {
            @Override
            public int compare(Person p1, Person p2) {
                return p1.name.compareTo(p2.name); // 按姓名升序排序
            }
        });
        
        // 使用 Comparator 按姓名排序，使用 lambda 表达式
        //Collections.sort(people, (p1, p2) -> p1.name.compareTo(p2.name));

        // 输出排序后的列表
        System.out.println(people); // 输出 [Alice (25), Bob (20), Charlie (30)]
    }
}
```



## 题型

常见术语：

子串（Substring）：子字符串 是字符串中连续的 非空 字符序列

回文串(Palindrome)：回文 串是向前和向后读都相同的字符串。

子序列（(Subsequence)）：可以通过删除原字符串中任意个字符（不改变剩余字符的相对顺序）得到的序列，不要求连续。例如 "abc" 的 "ac" 就是一个子序列。

前缀 (Prefix) ：从字符串起始位置开始的连续字符序列，如 "leetcode" 的前缀 "lee"。

字母异位词 (Anagram)：由相同字符组成但排列顺序不同的字符串。例如 "abc" 与 "cab" 就是异位词。

子集、幂集：数组的 子集 是从数组中选择一些元素（可能为空）。例如，对于集合 S = {1, 2}，其幂集为：
{ ∅, {1}, {2}, {1, 2} }，子集有{1}



### 哈希

**问题分析**：

- 确定是否需要快速查找或存储数据。
- 判断是否需要统计元素频率或检查元素是否存在。

**适用场景**

1. **快速查找**：
   - 当需要频繁查找元素时，哈希表可以提供 O(1) 的平均时间复杂度。
2. **统计频率**：
   - 统计元素出现次数时，哈希表是常用工具。
3. **去重**：
   - 需要去除重复元素时，`HashSet` 可以有效实现。

### 双指针

题型：

- 同向双指针：两个指针从同一侧开始移动，通常用于**滑动窗口**或链表问题。
- 对向双指针：两个指针从两端向中间移动，通常用于有序数组或回文问题。重点是考虑**移动哪个指针**可能优化结果！！！
- 快慢指针：两个指针以不同速度移动，通常用于链表中的环检测或中点查找。

适用场景：

**有序数组的两数之和**：

- 在对向双指针的帮助下，可以在 O(n) 时间内找到两个数，使它们的和等于目标值。

**滑动窗口**：

- 用于解决**子数组或子字符串**问题，如同向双指针可以在 O(n) 时间内找到满足条件的最短或最长子数组。

**链表中的环检测**：

- 快慢指针可以用于检测链表中是否存在环，并找到环的起点。

**回文问题**：

- 对向双指针可以用于判断字符串或数组是否是回文。

**合并有序数组或链表**：

- 双指针可以用于合并两个有序数组或链表，时间复杂度为 O(n)。



### 前缀和

1. **前缀和的定义**  
   定义前缀和 `preSum[i]` 为数组 `nums` 从索引 0 到 i 的元素和，即  
   $$
   \text{preSum}[i] = \sum_{j=0}^{i} \text{nums}[j]
   $$

2. **子数组和的关系**  
   对于任意子数组 `nums[i+1..j]`（其中 `0 ≤ i < j < n`），其和可以表示为  
   $$
   \text{sum}(i+1,j) = \text{preSum}[j] - \text{preSum}[i]
   $$
   当这个子数组的和等于 k 时，有  
   $$
   \text{preSum}[j] - \text{preSum}[i] = k
   $$
   即  
   $$
   \text{preSum}[i] = \text{preSum}[j] - k
   $$
   $\text{preSum}[j] - k$表示 "以当前位置结尾的子数组和为k"

3. **利用哈希表存储前缀和**  
   我们可以使用一个哈希表 `prefix` 来存储每个**前缀和**出现的**次数**。  

   - 初始时，`prefix[0] = 1`，表示前缀和为 0 出现一次（对应空前缀）。
   - 遍历数组，每计算一个新的前缀和 `preSum`，就查看 `preSum - k` 是否在哈希表中。如果存在，则说明之前有一个前缀和等于 `preSum - k`，那么从该位置后一个位置到**当前索引**的子数组和为 k，累加其出现的次数。

4. **时间复杂度**  
   该方法只需要遍历数组一次，时间复杂度为 O(n)。



### **遍历二叉树**

*递归法中序*

```java
public void inOrderTraversal(TreeNode root, List<Integer> list) {
    if (root != null) {
        inOrderTraversal(root.left, list);     // 遍历左子树
        list.add(root.val);                    // 访问当前节点
        inOrderTraversal(root.right, list);    // 遍历右子树
    }
}
```

*迭代法中序*

```java
public void inOrderTraversalIterative(TreeNode root, List<Integer> list) {
    Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();
    TreeNode curr = root;

    while (curr != null || !stack.isEmpty()) {
        // 一路向左入栈
        while (curr != null) {
            stack.push(curr);  // push = addFirst
            curr = curr.left;
        }

        // 弹出栈顶并访问
        curr = stack.pop();     // pop = removeFirst
        list.add(curr.val);

        // 转向右子树
        curr = curr.right;
    }
}

```

*迭代法前序*

```java
public void preOrderTraversalIterative(TreeNode root, List<Integer> list) {
    if (root == null) return;

    Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();
    stack.push(root);

    while (!stack.isEmpty()) {
        TreeNode node = stack.pop();
        list.add(node.val); // 先访问当前节点

        // 注意：先压右子节点，再压左子节点
        // 因为栈是“后进先出”的，先弹出的是左子节点
        if (node.right != null) {
            stack.push(node.right);
        }
        if (node.left != null) {
            stack.push(node.left);
        }
    }
}
```

层序遍历BFS

```java
public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        if (root == null) return result;
        
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        
        while (!queue.isEmpty()) {
            int levelSize = queue.size();
            List<Integer> level = new ArrayList<>();
            
            for (int i = 0; i < levelSize; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                level.add(node.val);
                
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            result.add(level);
        }
        
        return result;
    }
```



### 回溯法

回溯算法用于 **搜索一个问题的所有的解** ，即爆搜（暴力解法），通过深度优先遍历的思想实现。核心思想是：

**1.逐步构建解答：**

回溯算法通过逐步构造候选解，当构造的部分解满足条件时继续扩展；如果发现当前解不符合要求，则“回溯”到上一步，尝试其他可能性。

**2.剪枝（Pruning）：**

在构造候选解的过程中，算法会判断当前部分解是否有可能扩展成最终的有效解。如果判断出无论如何扩展都不可能得到正确解，就立即停止继续扩展该分支，从而节省计算资源。

**3.递归调用**

回溯通常通过递归来实现。递归函数在**每一层都尝试不同的选择**，并在尝试失败或达到终点时返回上一层重新尝试其他选择。

**例：以数组 `[1, 2, 3]` 的全排列为例。**

先写以 1 开头的全排列，它们是：`[1, 2, 3], [1, 3, 2]`，即 `1` + `[2, 3]` 的全排列（注意：递归结构体现在这里）；
再写以 2 开头的全排列，它们是：`[2, 1, 3]`, `[2, 3, 1]`，即 `2` + `[1, 3]` 的全排列；
最后写以 3 开头的全排列，它们是：`[3, 1, 2]`, `[3, 2, 1]`，即 `3` + `[1, 2]` 的全排列。

![image-20250326095409631](https://pic.bitday.top/i/2025/03/26/fs3bz0-0.png)

```java
public class Permute {
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        // 用来标记数组中数字是否被使用
        boolean[] used = new boolean[nums.length];
        List<Integer> path = new ArrayList<>();
        backtrack(nums, used, path, res);
        return res;
    }

    private void backtrack(int[] nums, boolean[] used, List<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
        // 当path中元素个数等于nums数组的长度时，说明已构造出一个排列
        if (path.size() == nums.length) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        // 遍历数组中的每个数字
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 如果该数字已经在当前排列中使用过，则跳过
            if (used[i]) {
                continue;
            }
            // 选择数字nums[i]
            used[i] = true;
            path.add(nums[i]);
            // 递归构造剩余的排列
            backtrack(nums, used, path, res);
            // 回溯：撤销选择，尝试其他数字
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = false;
        }
    }
}
```



### 大小根堆

**题目描述**：给定一个整数数组 `nums` 和一个整数 `k`，返回出现频率最高的前 `k` 个元素，返回顺序可以任意。

**解法一：大根堆（最大堆）**

**思路**：

1. 使用 `HashMap` 统计每个元素的出现频率。
2. 构建一个**大根堆**（`PriorityQueue` + 自定义比较器），根据频率降序排列。
3. 将所有元素加入堆中，**弹出前 `k` 个元素**即为答案。

**适合场景**：

- 实现简单，适用于对全部元素排序后取前 `k` 个。
- 时间复杂度：**O(n log n)**，因为需要将所有 `n` 个元素都加入堆。

------

**解法二：小根堆（最小堆）**

**思路**：

1. 使用 `HashMap` 统计频率。
2. 构建一个**小根堆**，堆中仅保存前 `k` 个高频元素。
3. 遍历每个元素：
   - 如果堆未满，直接加入。
   - 如果当前元素频率大于堆顶（最小频率），则弹出堆顶，加入当前元素。
4. 最终堆中保存的就是前 `k` 个高频元素。

| 方法   | 适合场景        | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
| ------ | --------------- | ---------- | ---------- |
| 大根堆 | k ≈ n，简单易写 | O(n log n) | O(n)       |
| 小根堆 | k ≪ n，更高效   | O(n log k) | O(n)       |



### 动态规划

解题步骤：

**确定 dp 数组以及下标的含义（很关键！不跑偏）**

- 目的：明确 dp 数组中存储的状态或结果。
- 关键：下标往往对应问题中的一个“阶段”或“子问题”，而数组的值则表示这一阶段的最优解或累计结果。
- 示例：在背包问题中，可以设 `dp[i]` 表示前 `i` 个物品能够达到的最大价值。

**确定递推公式**

- 目的：找到状态之间的转移关系，表明如何从已解决的子问题求解更大规模的问题。

- 关键：分析每个状态可能来源于哪些小状态，写出数学或逻辑表达式。

- 示例：对于 0-1 背包问题，递推公式通常为 
  $$
  dp[i]=max⁡(dp[i],dp[i−weight]+value)
  $$

**dp 数组如何初始化**

- 目的：给定初始状态，为所有可能情况设置基础值。
- 关键：通常初始化基础的情况（如 `dp[0]=0`），或者用极大或极小值标示未计算状态。
- 示例：在求最短路径问题中，可以用较大值（如 `infinity`）初始化所有状态，然后设定起点状态为 0。

**确定遍历顺序**

- 目的：按照正确的顺序计算每个状态，确保依赖的子问题都已经计算完毕。
- 关键：遍历顺序需要与递推公式保持一致，既可以是正向（从小到大）也可以是反向（从大到小），取决于问题要求。
- 示例：对背包问题，为避免重复计算，每个物品的更新通常采用反向遍历。

**举例推导 dp 数组**

- 目的：通过一个具体例子来演示递推公式的应用，直观理解每一步计算。
- 关键：选择简单案例，从初始化、更新到最终结果展示整个过程。
- 示例：对一个简单的路径问题，展示如何从起点逐步更新 dp 数组，最后得到终点的最优解。



**例题**

* 题目： 746. 使用最小花费爬楼梯 (MinCostClimbingStairs)
* 描述：给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯**第 i 个台阶向上爬需要支付的费用**。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
* 你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
* 请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 2：
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

* 链接：https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/



1.确定dp数组以及下标的含义

**dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]**。

2.确定递推公式

**可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]**。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3.dp数组如何初始化

看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]、dp[1]推出。

 由“你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” =》初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0

4.确定遍历顺序

因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

5.举例推导dp数组

拿示例：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

![image-20250410134701578](https://pic.bitday.top/i/2025/04/10/ma0nvs-0.png)



### 背包问题

总结：背包问题不仅可以求**能装的物品的最大价值**，还可以求**背包是否可以装满**，还可以求**组合总和**。



**背包是否可以装满示例说明**

假设背包容量为 10，物品的重量分别为 [3, 4, 7]。我们希望判断是否可以恰好填满容量 10。

其中 dp[j] 表示在容量 j 下，能装入的**最大重量**（保证不超过 j）。如果dp[10]=10，代表能装满

```java
public boolean canFillBackpack(int[] weights, int capacity) {
        // dp[j] 表示在不超过背包容量 j 的前提下，能装入的最大重量
        int[] dp = new int[capacity + 1];
        // 初始状态: 背包容量为0时，能够装入的重量为0，其他位置初始为0
        
        // 遍历每一个物品（0/1背包，每个物品只能使用一次）
        for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
            // 逆序遍历背包容量，防止当前物品被重复使用
            for (int j = capacity; j >= weights[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + weights[i]);
            }
        }
        
        // 如果 dp[capacity] 恰好等于 capacity，则说明背包正好被装满
        return dp[capacity] == capacity;
    }
```



**求组合总和**

统计数组中有多少种组合（子集）使得其和正好为 P ？

dp[j] 表示从数组中选取若干个数，使得这些数的和正好为 j 的方法数。

状态转移：
对于数组中的每个数字 numnumnum，从 dp 数组后向前（逆序）遍历，更新：

dp[j]=dp[j]+dp[j−num]

这里的意思是：

- 如果不选当前数字，方法数保持不变；
- 如果选当前数字，那么原来凑出和 j−num 的方案都可以扩展成凑出和 j 的方案。

初始条件：

- dp[0] = 1，代表凑出和为 0 只有一种方式，即不选任何数字。



[代码随想录](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html#算法公开课)

![image-20250411162005659](https://pic.bitday.top/i/2025/04/11/qsjkju-0.png)

完全背包是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

#### 0/1背包（一）

描述：有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品只能用一次**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

<img src="https://pic.bitday.top/i/2025/04/11/r292zm-0.png" alt="image-20250411163635562" style="zoom: 80%;" />

**1.确定dp数组以及下标的含义**

因为有两个维度需要分别表示：物品 和 背包容量，所以 dp为二维数组。

<img src="https://pic.bitday.top/i/2025/04/11/r0xkd9-0.png" alt="image-20250411163414119" style="zoom: 67%;" />

即 **dp\[i\]\[j\] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。

**2. 确定递推公式**

考虑dp\[i][j]，有两种情况：

- **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是 dp\[i - 1][j]。
- **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为 j - weight[i]，dp\[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp\[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递归公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);`

**3. dp数组如何初始化**

（1）首先从dp\[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp\[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

（2）由状态转移方程 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);` 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

此时就看存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

（3）其他地方初始化为0

<img src="https://pic.bitday.top/i/2025/04/11/r9skxy-0.png" alt="image-20250411164902801" style="zoom:67%;" />

**4.确定遍历顺序**

都可以，但推荐**先遍历物品**

```cpp
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
```

**5.举例推导dp数组**

略

**代码：**

```
 public int knapsack(int[] weight, int[] value, int capacity) {
        int n = weight.length; // 物品的总个数
        
        // 定义二维 dp 数组：
        // dp[i][j] 表示从下标为 [0, i] 的物品中任意选择，放入容量为 j 的背包中，能够获得的最大价值
        int[][] dp = new int[n][capacity + 1];
        
        // 1. 初始化第 0 行：只考虑第 0 个物品的情况
        // 当背包容量 j >= weight[0] 时，可以选择放入第 0 个物品，价值为 value[0]；否则为 0
        for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
            if (j >= weight[0]) {
                dp[0][j] = value[0];
            } else {
                dp[0][j] = 0;
            }
        }
        
        // 2. 状态转移：从第 1 个物品开始，逐步填表
        // 遍历物品，物品下标从 1 到 n-1
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 遍历背包容量，从 0 到 capacity
            for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
                // 情况一：不放第 i 个物品，则最大价值不变，继承上一行的值
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                
                // 情况二：如果当前背包容量 j 大于等于物品 i 的重量，则考虑放入当前物品
                if (j >= weight[i]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }
        
        // 返回考虑所有物品，背包容量为 capacity 时的最大价值
        return dp[n - 1][capacity];
    }
```



#### 0/1背包（二）

**可以将二维 dp 优化为一维 dp 的典型条件包括：**

1.状态转移只依赖于之前的状态（例如上一行或上一个层次），而不是当前行中动态更新的状态。

- 例如在 0/1 背包问题中，二维 dp\[i][j] 只依赖于 dp\[i-1][j] 和 dp\[i-1][j - weight[i]]。

2.存在确定的遍历顺序（例如逆序或正序）能够确保在更新一维 dp 时，所依赖的值不会被当前更新覆盖。

- **逆序遍历**：例如 0/1 背包问题，为了防止同一个物品被重复使用，需要对容量 j 从大到小遍历，确保 dp[j - weight] 的值还是上一轮（上一行）的。

- **正序遍历**：在一些问题中，如果状态更新不会导致当前状态被重复利用（例如完全背包问题），可以顺序遍历。

3.状态数足够简单，不需要记录多维信息，仅一个维度的状态即可准确表示和转移问题状态。



**1.确定 dp 数组以及下标的含义**

使用一维 dp 数组 `dp[j]` 表示「在当前考虑的物品下，背包容量为 j 时能够获得的最大价值」。

**2.确定递推公式**
当考虑当前物品 i（重量为 weight[i]，价值为 value[i]）时，有两种选择：

- **不选当前物品 i：**
  此时的最大价值为 dp[j]（即前面的状态没有变化）。
- **选当前物品 i：**
  当背包容量至少为 weight[i] 时，如果选择物品 i，剩余容量变为 j - weight[i]，则最大价值为 dp[j - weight[i]] 加上 value[i]。

因此，状态转移方程为：
$$
dp[j]=max⁡(dp[j],  dp[j−weight[i]]+value[i])
$$
**3.dp 数组如何初始化**

`dp[0] = 0`，表示当背包容量为 0 时，能获得的最大价值自然为 0。

对于其他容量 dp[j]，初始值也设为 0，dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。确保值不被初始值覆盖即可。

**4.一维dp数组遍历顺序**

外层遍历物品： 从第一个物品到最后一个物品，依次做决策。

内层遍历背包容量（**逆序遍历**）： 遍历容量从 capacity 到当前物品的重量，进行状态更新。

- 逆序遍历的目的在于确保当前物品在更新过程中只会被使用一次，因为 dp[j - weight[i]] 代表的是上一轮（当前物品未使用前）的状态，不会被当前物品更新后的状态覆盖。



假设物品 $w=2$, $v=3$，背包容量 $C=5$。

错误的正序遍历（$j=2 \to 5$）

1. $j=2$:  
   $dp[2] = \max(0, dp[0]+3) = 3$  
   $\Rightarrow dp = [0, 0, 3, 0, 0, 0]$
2. $j=4$:  
   $dp[4] = \max(0, dp[2]+3) = 6$  
   $\Rightarrow$ **错误**：物品被重复使用两次！

**5.举例推导dp数组**

略

**代码：**

```java
public int knapsack(int[] weight, int[] value, int capacity) {
        int n = weight.length;
        // 定义 dp 数组，dp[j] 表示背包容量为 j 时的最大价值
        int[] dp = new int[capacity + 1];

        // 初始化：所有 dp[j] 初始为0，dp[0] = 0（无须显式赋值）

        // 外层：遍历每一个物品
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 内层：逆序遍历背包容量，保证每个物品只被选择一次
            for (int j = capacity; j >= weight[i]; j--) {
                // 更新状态：选择不放入或者放入当前物品后的最大价值
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        
        // 返回背包总容量为 capacity 时获得的最大价值
        return dp[capacity];
    }
```



#### 完全背包(一)

**完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件**。

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

例：背包最大重量为4，物品为：

| 物品  | 重量 | 价值 |
| ----- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1    | 15   |
| 物品1 | 3    | 20   |
| 物品2 | 4    | 30   |

**1. 确定dp数组以及下标的含义**

dp\[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

**2. 确定递推公式**

- **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp\[i - 1][j]。
- **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp\[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp\[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递推公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);`

01背包中是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`

因为在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： **dp\[1][1]， 而不是 dp\[0][1]**。而0/1背包中，**既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1**，即dp\[0][1]。

```java
for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
                // 不选物品 i，价值不变
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                // 如果当前背包容量 j 能放下物品 i，则考虑选取物品 i（完全背包内层循环正序或逆序都可以，但这里通常建议正序）
                if (j >= weight[i]) {
                    // 注意：这里选取物品 i 后仍然可以继续选取物品 i，
                    // 所以状态转移方程为 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }
```

**3. dp数组如何初始化**

- 如果背包容量j为0的话，即dp\[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
- 由递推公式，有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

```java
for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
            // 当 j 小于第 0 个物品重量时，无法选取，所以价值为 0
            if (j < weight[0]) {
                dp[0][j] = 0;
            } else {
                // 完全背包允许多次使用物品 0，所以递归地累加
                dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
            }
}
```

**4. 确定遍历顺序**

先物品或先背包容量都可，但推荐先物品。



#### 完全背包（二）

压缩成一维dp数组，也就是将上一层拷贝到当前层。

将上一层dp[i-1] 的那一层拷贝到 当前层 dp[i] ，那么递推公式由 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 变成： `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])`

压缩成一维，即`dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])`

- 根据题型选择先遍历物品或者背包，**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
  **组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。
- 内层循环正序，不要逆序！因为要利用已经更新的dp数组，允许同一物品重复使用！

注意，完全背包和0/1背包的一维dp形式的递推公式一样，但是遍历顺序不同！！



#### 多重背包

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品**最多有Mi件可用**，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

|       | 重量 | 价值 | 数量 |
| ----- | ---- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1    | 15   | 2    |
| 物品1 | 3    | 20   | 3    |
| 物品2 | 4    | 30   | 2    |

把每种物品按数量展开，就**转化为0/1背包问题**了！相当于物品0-a 物品0-b  物品1-a ....，每个只能用一次。

```java
public int multipleKnapsack(int V, int[] weight, int[] value, int[] count) {
    // 将每件物品按数量展开成 0/1 背包的多个物品
    List<Integer> wList = new ArrayList<>();
    List<Integer> vList = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
        for (int k = 0; k < count[i]; k++) {
            wList.add(weight[i]);
            vList.add(value[i]);
        }
    }
    // 0/1 背包 DP
    int[] dp = new int[V + 1];
    int N = wList.size();
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int wi = wList.get(i);
        int vi = vList.get(i);
        for (int j = V; j >= wi; j--) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - wi] + vi);
        }
    }
    return dp[V];
}
```