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# 动态图神经网络
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## 如何对GAT的权重（$W$）和注意力参数（$a$）进行增量更新（邻居偶尔变化）
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#### 1. 核心思想
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- **局部更新**：邻居变化的节点及其直接邻域的权重和注意力参数需要调整，其他部分冻结。
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- **梯度隔离**：反向传播时，仅计算受影响节点的梯度，避免全局参数震荡。
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#### 2. 数学实现步骤
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#### **(1) 识别受影响的节点**
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设邻居变化后的新邻接矩阵为 $\tilde{A}$，原邻接矩阵为 $A$，受影响节点集合 $\mathcal{V}_{\text{affected}}$ 包括：
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- 新增或删除边的两端节点（直接受影响）。
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- 这些节点的1-hop邻居（间接受影响，根据GAT层数决定）。
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#### **(2) 损失函数局部化**
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仅对 $\mathcal{V}_{\text{affected}}$ 中的节点计算损失：
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$$
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\mathcal{L}_{\text{incremental}} = \sum_{i \in \mathcal{V}_{\text{affected}}} \ell(y_i, \hat{y}_i)
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$$
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其中 $\ell$ 为交叉熵损失，$y_i$ 为标签，$\hat{y}_i$ 为模型输出。
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#### **(3) 梯度计算与参数更新**
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- **梯度掩码**：
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反向传播时，非受影响节点的梯度强制置零：
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$$
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\nabla_{W,a} \mathcal{L}_{\text{incremental}} = \left\{
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\begin{array}{ll}
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\nabla_{W,a} \ell(y_i, \hat{y}_i) & \text{if } i \in \mathcal{V}_{\text{affected}} \\
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0 & \text{otherwise}
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\end{array} \right.
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$$
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- **参数更新**：
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使用优化器（如Adam）仅更新有梯度的参数：
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$$
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W \leftarrow W - \eta \nabla_W \mathcal{L}_{\text{incremental}}, \quad a \leftarrow a - \eta \nabla_a \mathcal{L}_{\text{incremental}}
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$$
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其中 $\eta$ 为较小的学习率（防止过拟合）。
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#### **(4) 注意力权重的动态适应**
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GAT的注意力机制会自动适应新邻居：
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$$
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\alpha_{ij} = \text{softmax}\left(\text{LeakyReLU}\left(a^T [W h_i \| W h_j]\right)\right)
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$$
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由于 $W$ 和 $a$ 已局部更新，新邻居 $j \in \tilde{\mathcal{N}}(i)$ 的权重 $\alpha_{ij}$ 会重新计算。
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#### 3. 适用场景
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- **低频变化**：如社交网络每天新增少量边、论文引用网络月度更新。
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- **局部变化**：每次变化仅影响图中少量节点（<10%）。
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若邻居**高频变化**（如秒级更新），需改用动态GNN（如TGAT）或时间序列建模。
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## EvolveGCN
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### EvolveGCN-H
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#### **1. EvolveGCN-H核心思想**
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EvolveGCN-H 通过 **GRU（门控循环单元）** 动态更新 GCN 每一层的权重矩阵 $W_t^{(l)}$，将权重矩阵视为 GRU 的 **隐藏状态**，并利用当前时间步的 **节点嵌入（特征）** 作为输入来驱动演化。
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**关键特点**：
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- **输入依赖**：利用节点嵌入 $H_t^{(l)}$ 指导权重更新。
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- **时序建模**：通过 GRU 隐式捕捉参数演化的长期依赖。
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#### **2. 动态更新流程（以第 $l$ 层为例）**
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**输入**：
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1. 当前节点嵌入矩阵 $H_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{n \times d}$：
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2. 上一时间步的权重矩阵 $W_{t-1}^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$：
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3. 邻接矩阵 $A_t \in \mathbb{R}^{n \times n}$：
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**输出**：
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1. 更新后的权重矩阵 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$。
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2. 下一层节点嵌入 $H_t^{(l+1)} \in \mathbb{R}^{n \times d'}$。
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#### **3. 动态更新示意图**
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```plaintext
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Time Step t-1 Time Step t
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+-------------------+ +-------------------+
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| Weight Matrix | | Weight Matrix |
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| W_{t-1}^{(l)} | --(GRU更新)--> | W_t^{(l)} |
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+-------------------+ +-------------------+
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^ ^
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+-------------------+ +-------------------+
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| Node Embeddings | | Node Embeddings |
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| H_t^{(l)} | --(GCN计算)--> | H_t^{(l+1)} |
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+-------------------+ +-------------------+
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^ ^
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+-------------------+ +-------------------+
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| 邻接矩阵 A_t | | 邻接矩阵 A_{t+1} |
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| (显式输入) | | (下一时间步输入) |
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+-------------------+ +-------------------+
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```
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$$
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\begin{align*}
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W_t^{(l)} &<= H_t^{(l)} + W_{t-1}^{(l)} \\
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H_t^{(l+1)} &<= A_t + H_t^{(l)} + W_t^{(l)}
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\end{align*}
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#### **4. 具体步骤分解**
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##### **步骤 1：节点嵌入聚合（Summarize）**
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由于 GRU 的输入需与隐藏状态 $W_{t-1}^{(l)}$ 的列维度匹配（即 $d'$），需将 $H_t^{(l)}$ 从 $n \times d$ 压缩为 $d' \times d$ ：
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$$
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Z_t = \text{Summarize}(H_t^{(l)}, d')
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**实现方式**（论文方案）：
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1. 计算得分：
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y_t = H_t^{(l)} p / \|p\| \quad (p \in \mathbb{R}^d \text{为可学习参数})
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$$
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学一个“打分器”参数 $p$，$H_t^{(l)} p$相当于对每个节点的嵌入向量和 $p$做点积，得到一个分数。比如在社交网络中，$p$ 可能代表“活跃度”，得分高的用户更活跃。
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2. 选取 Top-$d'$ 个节点（按 $y_t$ 排序），加权求和：
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$$
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Z_t = [H_t^{(l)} \circ \tanh(y_t)]_{\text{top-}d'} \quad (\circ \text{为逐元素乘})
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$$
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- 输出 $Z_t \in \mathbb{R}^{d' \times d}$。
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**举个例子**
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假设：
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- 有3个节点（$n=3$），嵌入维度 $d=2$，选Top-2个节点（$d'=2$）。
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- 节点嵌入：
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$$ H_t^{(l)} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad p = [1, 0] $$
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（$p$ 只关注嵌入的第一维，比如“用户发帖数量”）
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1. **计算分数**：
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$$ y_t = H_t^{(l)} p = [1 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0, \ 0.3 \cdot 1 + 2 \cdot 0, \ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 0] = [1, 0.3, -1] $$
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Top-2节点是第1、第2个节点（分数1和0.3）。
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2. **加权聚合**：
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$$ Z_t = \begin{bmatrix} [1, 0.5] \circ \tanh(1) \\ [0.3, 2] \circ \tanh(0.3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.76 & 0.38 \\ 0.09 & 0.58 \end{bmatrix} $$
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（假设 $\tanh(1) \approx 0.76$, $\tanh(0.3) \approx 0.29$）
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3. **输出**：$Z_t$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，可以直接喂给GRU。
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##### **步骤 2：GRU 更新权重矩阵**
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$$
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W_t^{(l)} = \text{GRU}(Z_t^T, W_{t-1}^{(l)})
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标准GRU，输入隐藏输出都是向量，这里都是矩阵！
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当前时间步的输入：$Z_t^T$
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上一时间步的隐藏状态：$W_{t-1}^{(l)}$
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更新隐藏状态： $W_t^{(l)}$
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| **标准GRU** | **论文中的矩阵GRU** | **作用** |
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| ------------------------ | ------------------- | ------------------------------------------------------------ |
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| $W_{xz}$ (输入→更新门) | $W_Z$ | 将当前输入 $Z_t^T$ 映射到更新门。 |
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| $W_{hz}$ (隐藏→更新门) | $U_Z$ | 将上一隐藏状态 $W_{t-1}^{(l)}$ 映射到更新门。 |
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| $b_z$ (更新门偏置) | $B_Z$ | 更新门的偏置项。 |
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| $W_{xh}$ (输入→候选状态) | $W_H$ | 将当前输入 $Z_t^T$ 映射到候选状态。 |
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| $W_{hh}$ (隐藏→候选状态) | $U_H$ | 将调制后的隐藏状态 $(R_t \circ W_{t-1}^{(l)})$ 映射到候选状态。 |
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| $b_h$ (候选状态偏置) | $B_H$ | 候选状态的偏置项。 |
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**GRU 的矩阵形式计算**：
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1. **重置门** $R_t$：控制历史信息的遗忘程度
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$$
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R_t = \sigma(Z_t^T W_Z + W_{t-1}^{(l)} U_Z + B_Z)
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$$
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2. **更新门** $Z_t$：控制新旧状态混合比例
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$$
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U_t = \sigma(Z_t^T W_U + W_{t-1}^{(l)} U_U + B_U)
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$$
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3. **候选状态** $\widetilde{W}_t$：
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$$
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\widetilde{W}_t = \tanh(Z_t^T W_H + (R_t \circ W_{t-1}^{(l)}) U_H + B_H)
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$$
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4. **最终权重更新**：
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$$
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W_t^{(l)} = (1 - U_t) \circ W_{t-1}^{(l)} + U_t \circ \widetilde{W}_t
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$$
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- 输出 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$。
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##### **步骤 3：GCN 生成下一层嵌入**
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使用更新的 $W_t^{(l)}$ 执行标准 GCN 操作：
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$$
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H_t^{(l+1)} = \sigma\left(\widehat{A}_t H_t^{(l)} W_t^{(l)}\right)
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$$
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- $\widehat{A}_t$ 为归一化邻接矩阵（含自环）。
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#### **5. 关键设计细节**
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1. **权重共享**：
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- 所有时间步共享同一 GRU 的参数（$W_*, U_*, B_*$），确保模型尺寸不随时间增长。
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2. **层独立性**：
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- 每一层 GCN 的权重矩阵独立演化（不同层有各自的 GRU）。
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3. **特征与结构的协同**：
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- 节点嵌入 $H_t^{(l)}$ 既包含特征信息，也隐含历史结构信息（通过多层 GCN 传播），因此 GRU 能间接感知结构变化。
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#### 6. 所需提前训练的权重
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| **参数类型** | **符号** | **维度** | **作用** |
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| ---------------- | --------------- | --------------------------- | ----------------------------- |
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| GCN 初始权重 | $W_0^{(l)}$ | $\mathbb{R}^{d \times d'}$ | 初始时刻各层 GCN 的初始参数 |
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| GRU 输入变换矩阵 | $W_Z, W_R, W_H$ | $\mathbb{R}^{d \times d'}$ | 将输入 $Z_t^T$ 映射到门控 |
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| GRU 隐藏变换矩阵 | $U_Z, U_R, U_H$ | $\mathbb{R}^{d' \times d'}$ | 将 $W_{t-1}^{(l)}$ 映射到门控 |
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| GRU 偏置项 | $B_Z, B_R, B_H$ | $\mathbb{R}^{d'}$ | 门控和候选状态的偏置 |
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| Summarize 参数 | $p$ | $\mathbb{R}^d$ | 动态选择重要节点 |
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| 任务相关参数 | 例如 MLP 权重 | 任务相关 | 链接预测、节点分类等输出层 |
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### **EvolveGCN-O**
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#### **1. 核心思想**
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EvolveGCN-O 通过 **LSTM** 直接演化 GCN 的权重矩阵 $W_t^{(l)}$，将权重矩阵视为 **LSTM的输出**（下一时间步的输入），**不依赖节点嵌入**。
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**关键特点**：
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- **结构驱动**：仅通过历史权重 $W_{t-1}^{(l)}$ 预测当前权重，完全基于图结构的动态变化。
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- **轻量化**：无需处理节点嵌入，计算效率更高。
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#### **2. 动态更新流程（第$l$层）**
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**输入**：
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1. 上一时间步权重 $W_{t-1}^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$
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2. 邻接矩阵 $A_t \in \mathbb{R}^{n \times n}$（仅用于GCN计算）
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**输出**：
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1. 更新后权重 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$
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2. 下一层节点嵌入 $H_t^{(l+1)} \in \mathbb{R}^{n \times d'}$
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#### 3.具体步骤分解
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##### **步骤1：LSTM更新权重矩阵**
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**矩阵版LSTM计算**：
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1. 遗忘门：
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$F_t = \sigma(W_F W_{t-1}^{(l)} + U_F C_{t-1} + B_F)$
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2. 输入门：
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$I_t = \sigma(W_I W_{t-1}^{(l)} + U_I C_{t-1} + B_I)$
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3. 候选状态：
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$\widetilde{C}_t = \tanh(W_C W_{t-1}^{(l)} + U_C C_{t-1} + B_C)$
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4. 细胞状态更新：
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$C_t = F_t \circ C_{t-1} + I_t \circ \widetilde{C}_t$
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5. 输出门：
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$O_t = \sigma(W_O W_{t-1}^{(l)} + U_O C_{t-1} + B_O)$
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6. 最终权重输出：
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$W_t^{(l)} = O_t \circ \tanh(C_t)$
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##### **步骤2：GCN生成下一层嵌入**
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$H_t^{(l+1)} = \sigma(\widehat{A}_t H_t^{(l)} W_t^{(l)})$
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#### **4. 与EvolveGCN-H对比**
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| **特性** | **EvolveGCN-H** | **EvolveGCN-O** |
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| -------------- | -------------------------- | ---------------------------- |
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| **RNN类型** | GRU | LSTM |
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| **演化依据** | 节点嵌入+历史权重 | 仅历史权重 |
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| **计算复杂度** | 高（需Summarize） | 低 |
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| **适用场景** | 特征动态性强（如社交网络） | 结构变化主导（如路由器拓扑） |
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## TGAT
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