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李振河 陈茂森 

# 图神经网络

图表示学习的本质是把节点映射成低维连续稠密的向量。这些向量通常被称为 **嵌入（Embedding）**，它们能够捕捉节点在图中的结构信息和属性信息，从而用于下游任务（如节点分类、链接预测、图分类等）。

- **低维**：将高维的原始数据（如邻接矩阵或节点特征）压缩为低维向量，减少计算和存储开销。
- **连续**：将离散的节点或图结构映射为连续的向量空间，便于数学运算和捕捉相似性。
- **稠密**：将稀疏的原始数据转换为稠密的向量，每个维度都包含有意义的信息。



## 对图数据进行深度学习的“朴素做法”

把图的邻接矩阵和节点特征“直接拼接”成固定维度的输入，然后将其送入一个深度神经网络（全连接层）进行学习。

![image-20250316142412685](https://pic.bitday.top/i/2025/03/19/u8cfvq-2.png)

这种做法面临重大问题，导致其**并不可行**：

1. $O(|V|^2)$ 参数量 ，参数量庞大

2. 无法适应不同大小的图  ，需要固定输入维度

3. 对节点顺序敏感  ，节点编号顺序一变，输入就完全变样，但其实图的拓扑并没变（仅节点编号/排列方式不同）。  

   ```text
      A —— B
      |     |
      D —— C
   ```

   *矩阵 1*（顺序 $[A,B,C,D]$）：
   $$
   M_1 = 
   \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 & 1\\
    1 & 0 & 1 & 0\\
    0 & 1 & 0 & 1\\
    1 & 0 & 1 & 0
   \end{pmatrix}.
   $$
   *矩阵 2*（顺序 $[C,A,D,B]$）：
   $$
   M_2 =
   \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    1 & 1 & 0 & 0
   \end{pmatrix}.
   $$

​		两个矩阵完全不同，但**它们对应的图是相同的**（只不过节点的顺序改了）。



## 计算图

在**图神经网络**里，通常每个节点$v$ 都有一个**局部计算图**，用来表示该节点在聚合信息时所需的所有邻居（及邻居的邻居……）的依赖关系。

直观理解
- 以节点 $v$ 为根；
- 1-hop 邻居在第一层，2-hop 邻居在第二层……
- 逐层展开直到一定深度（例如 k 层）。
- 这样形成一棵“邻域树”或“展开图”，其中每个节点都需要从其子节点（邻居）获取特征进行聚合。



![image-20250316152729679](https://pic.bitday.top/i/2025/03/19/u8d0gg-2.png)

![image-20250316152836156](https://pic.bitday.top/i/2025/03/19/u8cr12-2.png)



### 例子

在图神经网络中，每一层的计算通常包括以下步骤：

1. **聚合（Aggregation）**：将邻居节点的特征聚合起来（如求和、均值、最大值等）。
2. **变换（Transformation）**：将聚合后的特征通过一个神经网络（如 MLP）进行非线性变换。

```text
      A
      |
      B
    /   \
   C     D
```

假设每个节点的特征是一个二维向量：

- 节点 $ A $ 的特征：$ h_A = [1.0, 0.5] $
- 节点 $ B $ 的特征：$ h_B = [0.8, 1.2] $
- 节点 $ C $ 的特征：$ h_C = [0.3, 0.7] $
- 节点 $ D $ 的特征：$ h_D = [1.5, 0.9] $

**第 1 层更新：$A^{(0)} \to A^{(1)}$**

1. 节点 $A$ 的 1-hop 邻居：只有 $B$。  

2. 聚合（示例：自+邻居取平均）：
   $$
   z_A^{(1)} = \frac{A^{(0)} + B^{(0)}}{2} = \frac{[1.0,\,0.5] + [0.8,\,1.2]}{2} = \frac{[1.8,\,1.7]}{2} = [0.9,\,0.85].
   $$
   
3. MLP 变换：用一个MLP映射 $z_A^{(1)}$ 到 2 维输出：
   $$
   A^{(1)} \;=\; \mathrm{MLP_1}\bigl(z_A^{(1)}\bigr).
   $$

   - （数值略，可想象 $\mathrm{MLP}([0.9,0.85]) \approx [1.0,0.6]$ 之类。）

**结果**：$A^{(1)}$ 包含了 **A** 的初始特征 + **B** 的初始特征信息。

---

**第 2 层更新：$A^{(1)} \to A^{(2)}$**

为了让 **A** 获得 **2-hop** 范围（$C, D$）的信息，需要先让 $B$ 在第 1 层就吸收了 $C, D$ 的特征，从而 **$B^{(1)}$** 蕴含 $C, D$ 信息。然后 **A** 在第 2 层再从 **$B^{(1)}$** 聚合。

1. **节点 B 在第 1 层**（简要说明）  

   - 邻居：$\{A,C,D\}$  
   - 聚合：$z_B^{(1)} = \frac{B^{(0)} + A^{(0)} + C^{(0)} + D^{(0)}}{4} = \frac{[0.8,\,1.2] + [1.0,\,0.5] + [0.3,\,0.7] + [1.5,\,0.9]}{4} = \frac{[3.6,\,3.3]}{4} = [0.9,\,0.825].$  
   - MLP 变换：$B^{(1)} = \mathrm{MLP}\bigl(z_B^{(1)}\bigr)$。  
   - 此时 **$B^{(1)}$** 已经包含了 $C, D$ 的信息。

2. **节点 $A$ 的第 2 层聚合**  

   - 邻居：$B$，但此时要用 **$B^{(1)}$**（它已吸收 C、D）  

   - 聚合：
     $$
     z_A^{(2)} = A^{(1)} + B^{(1)}.
     $$

   - MLP 变换：
     $$
     A^{(2)} = \mathrm{MLP_2}\bigl(z_A^{(2)}\bigr).
     $$

**结果**：$A^{(2)}$ 就包含了 **2-hop** 范围的信息，因为 **$B^{(1)}$** 中有 $C, D$ 的贡献。



**GNN 的层数**就是**节点聚合邻居信息的迭代次数**（也是计算图的层数）。

同一层里，**所有节点共享一组参数**（同一个 MLP 或全连接神经网络）



### **矩阵运算**

$\tilde D^{-1}\,\tilde A\,\tilde D^{-1}H$ 

$H'=\tilde D^{-1}\,\tilde A\,H$ 

       A
       |
       B
     /   \
    C     D
**1.构造矩阵**

含自环邻接矩阵 $\tilde A=A+I$
$$
\tilde A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
度矩阵 $\tilde D$（对角＝自身＋邻居数量）
$$
\tilde D = \mathrm{diag}(2,\,4,\,2,\,2)
$$
特征矩阵 $H$（每行为一个节点的特征向量）
$$
H =
\begin{bmatrix}
1.0 & 0.5\\
0.8 & 1.2\\
0.3 & 0.7\\
1.5 & 0.9
\end{bmatrix}
$$
**2.计算**

求和： $\tilde A\,H$
$$
\tilde A H =
\begin{bmatrix}
1.8 & 1.7\\
3.6 & 3.3\\
1.1 & 1.9\\
2.3 & 2.1
\end{bmatrix}
$$
平均： $\tilde D^{-1}(\tilde A H)$
$$
\tilde D^{-1}\tilde A H =
\begin{bmatrix}
0.90 & 0.85\\
0.90 & 0.825\\
0.55 & 0.95\\
1.15 & 1.05
\end{bmatrix}
$$


## GCN

在 GCN 里，归一化（normalization）的核心目的就是 **平衡不同节点在信息传播（message‑passing）中的影响力**，避免「高连通度节点（high‑degree nodes）」主导了所有邻居的特征聚合。

$H' = \tilde D^{-1}\,\tilde A\,\tilde D^{-1}H$ 

- 对节点 $i$ 来说：  

$$
H'_i = \frac1{d_i}\sum_{j\in \mathcal N(i)}\frac1{d_j}\,H_j
$$

- **先用源节点 $j$ 的度 $d_j$ 缩小它的特征贡献**，再用目标节点 $i$ 的度 $d_i$ 归一化总和。



### **GCN中实际的公式：**

$$
H^{(l+1)} = \sigma\Big(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}H^{(l)}W^{(l)}\Big)
$$

其中：

- $H^{(l)}$ 是第 $l$ 层的输入特征（对第 $0$ 层来说就是节点的初始特征），
- $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的可训练权重矩阵，相当于一个简单的线性变换（类似于 MLP 中的全连接层），
- $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数（例如 ReLU），
- $\tilde{A}$ 是包含自连接的邻接矩阵，
- $\tilde{D}$ 是 $\tilde{A}$ 的度矩阵。



**$\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}$的优势**

**1.对称归一化**：$\tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 是一个对称矩阵，这意味着信息在节点之间的传播是双向一致的。这种对称性特别适合无向图，因为无向图的邻接矩阵 $\tilde A$ 本身就是对称的。

**2.适度抑制高连通度节点**：对称平方根归一化通过 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 对源节点和目标节点同时进行归一化，能够适度抑制高连通度节点的特征贡献，而不会过度削弱其影响力。

**3.谱半径控制**：对称平方根归一化后的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 的谱半径（最大特征值）被控制在 $[0, 1]$ 范围内，这有助于保证模型的数值稳定性。

**4.归一化拉普拉斯矩阵**：对称平方根归一化的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 与归一化拉普拉斯矩阵 $L = I - \tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 有直接联系。归一化拉普拉斯矩阵在图信号处理中具有重要的理论意义，能够更好地描述图的频谱特性。



**GraphSAGE优化**
$$
h_v^{(k+1)} = \sigma \Big(
   \mathbf{W}_{\text{self}}^{(k)} \cdot h_v^{(k)} 
   \;+\; 
   \mathbf{W}_{\text{neigh}}^{(k)} \cdot \mathrm{MEAN}_{u\in N(v)}\bigl(h_u^{(k)}\bigr)
\Big),
$$



## GAT

图注意力网络（GAT）中最核心的运算：**图注意力层**。它的基本思想是：

1. **线性变换**：先对每个节点的特征 $\mathbf{h}_i$ 乘上一个可学习的权重矩阵 $W$，得到变换后的特征 $W \mathbf{h}_i$。
2. **自注意力机制**：通过一个可学习的函数 $a$，对节点 $i$ 和其邻居节点 $j$ 的特征进行计算，得到注意力系数 $e_{ij}$。这里会对邻居进行遮蔽（masked attention），即只计算图中有边连接的节点对。
3. **归一化**：将注意力系数 $e_{ij}$ 通过 softmax 进行归一化，得到 $\alpha_{ij}$，表示节点 $j$ 对节点 $i$ 的重要性权重。
4. **聚合**：最后利用注意力系数加权邻居节点的特征向量，并经过激活函数得到新的节点表示 $\mathbf{h}_i'$。
5. **多头注意力**：为增强表示能力，可并行地执行多个独立的注意力头（multi-head attention），再将它们的结果进行拼接（或在最后一层进行平均），从而得到最终的节点表示。

### 注意力系数

1. **注意力系数（未归一化）**  

$$
e_{ij} = a\bigl(W\mathbf{h}_i,\; W\mathbf{h}_j\bigr)
$$

2. **注意力系数的 softmax 归一化**  

$$
\alpha_{ij} = \text{softmax}_j\bigl(e_{ij}\bigr)
= \frac{\exp\bigl(e_{ij}\bigr)}{\sum_{k \in \mathcal{N}_i} \exp\bigl(e_{ik}\bigr)}
$$

3. **具体的注意力计算形式（以单层前馈网络 + LeakyReLU 为例）**  

$$
\alpha_{ij}
= \frac{\exp\Bigl(\text{LeakyReLU}\bigl(\mathbf{a}^\top \bigl[\;W\mathbf{h}_i \,\|\, W\mathbf{h}_j\bigr]\bigr)\Bigr)}
{\sum_{k\in \mathcal{N}_i} \exp\Bigl(\text{LeakyReLU}\bigl(\mathbf{a}^\top \bigl[\;W\mathbf{h}_i \,\|\, W\mathbf{h}_k\bigr]\bigr)\Bigr)}
$$

 - 其中，$\mathbf{a}$ 为可学习的参数向量，$\|$ 表示向量拼接（concatenation）。

**示例假设：**

- **节点特征**：  
  假设每个节点的特征向量维度为 $F=2$。  
  $$
  \mathbf{h}_i = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix},\quad
  \mathbf{h}_j = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix},\quad
  \mathbf{h}_k = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}.
  $$
  
- **线性变换矩阵 $W$**：  
  为了简化，我们令 $W$ 为单位矩阵（即 $W\mathbf{h} = \mathbf{h}$）。  
  $$
  W = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.
  $$

- **可学习向量 $\mathbf{a}$**：  
  假设 $\mathbf{a}$ 为 4 维向量，设  
  $$
  \mathbf{a} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}.
  $$

- 激活函数使用 LeakyReLU（负数斜率设为0.2，但本例中结果为正数，所以不变）。

---

**计算步骤：**

1. **计算 $W\mathbf{h}_i$、$W\mathbf{h}_j$ 和 $W\mathbf{h}_k$：**
   $$
   W\mathbf{h}_i = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix},\quad
   W\mathbf{h}_j = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}, \quad
   W\mathbf{h}_k = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}
   $$
   
2. **构造拼接向量并计算未归一化的注意力系数 $e_{ij}$ 和 $e_{ik}$：**

   - 对于邻居 $j$：
     $$
     \bigl[W\mathbf{h}_i \,\|\, W\mathbf{h}_j\bigr] =
     \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.
     $$

     内积计算：
     $$
     \mathbf{a}^\top \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} = 1+0+0+1 = 2.
     $$

     经过 LeakyReLU（正数保持不变）：
     $$
     e_{ij} = 2.
     $$

   - 对于邻居 $k$,同理得到：

     $$
     e_{ik} = 3.
     $$
   
3. **计算 softmax 得到归一化注意力系数 $\alpha_{ij}$：**
   $$
   \alpha_{ij} = \frac{\exp(2)}{\exp(2)+\exp(3)} = \frac{e^2}{e^2+e^3}\approx 0.269.
   $$

   
   
   同理：
   $$
   \alpha_{ik} = \frac{\exp(3)}{\exp(2)+\exp(3)} \approx 0.731.
   $$



### 特征聚合

**单头注意力聚合（得到新的节点特征）**
$$
\mathbf{h}_i' = \sigma\Bigl(\sum_{j \in \mathcal{N}_i} \alpha_{ij} \,W \mathbf{h}_j\Bigr)
$$
 对$i$ 的邻居节点加权求和，再经过非线性激活函数得到新的特征表示

**多头注意力(隐藏层时拼接)**

每个头都有自己的一组可学习参数，并独立计算注意力系数和输出特征。以捕捉邻居节点的多种不同关系或特征。

如果有 $K$ 个独立的注意力头，每个头输出 $\mathbf{h}_i'^{(k)}$，则拼接后的输出为：
$$
\mathbf{h}_i' =
\big\Vert_{k=1}^K
\sigma\Bigl(\sum_{j \in \mathcal{N}_i} \alpha_{ij}^{(k)} \, W^{(k)} \mathbf{h}_j\Bigr)
$$
其中，$\big\Vert$ 表示向量拼接操作，$\alpha_{ij}^{(k)}$、$W^{(k)}$ 分别为第 $k$ 个注意力头对应的注意力系数和线性变换。

例假如：
$$
\mathbf{h}_i'^{(1)} = \sigma\left(\begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}\right)
= \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}. \\
\mathbf{h}_i'^{(2)} = \sigma\left(\begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}\right)
= \begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}.
$$
将两个头的输出在特征维度上进行拼接，得到最终节点 $i$ 的新特征表示：
$$
\mathbf{h}_i' = \mathbf{h}_i'^{(1)} \,\Vert\, \mathbf{h}_i'^{(2)}
= \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} \,\Vert\, \begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \\ 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}.
$$
**多头注意力（输出层时平均）**

在最终的输出层（例如分类层）通常会将多个头的结果做平均，而不是拼接：
$$
\mathbf{h}_i' =
\sigma\Bigl(
\frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \sum_{j \in \mathcal{N}_i}
\alpha_{ij}^{(k)} \, W^{(k)} \mathbf{h}_j
\Bigr)
$$



## 直推式学习与归纳式学习

**直推式学习（Transductive Learning）**
模型直接在固定的训练图上学习节点的表示或标签，结果只能应用于这张图中的节点，无法直接推广到新的、未见过的节点或图。

例如：DeepWalk ，它通过对固定图的随机游走生成节点序列来学习节点嵌入，因此只能得到训练图中已有节点的表示，一旦遇到新节点，需要重新训练或进行特殊处理。

**注意**：GCN是直推式的，因为它**依赖于整个图的归一化邻接矩阵**进行卷积操作，需要在固定图上训练。



**归纳式学习（Inductive Learning）**
模型学习的是一个映射函数或规则，可以将这种规则推广到未见过的**新节点**或**新图**上。这种方法能够处理动态变化的图结构或新的数据。

**例如：**

图神经网络的变体（GAT）都是归纳式的，因为它们在聚合邻居信息时学习一个共享的函数，该函数能够应用于任意新节点。

- 局部计算：GAT 的注意力机制仅在每个节点的局部邻域内计算，不依赖于全局图结构。
- 参数共享：模型中每一层的参数（如 $W$ 和注意力参数 $\mathbf{a}$）是共享的，可以直接应用于新的、未见过的图。

**泛化到新节点**：在许多推荐系统中，如果有新用户加入（新节点），我们需要给他们做个性化推荐，这就要求系统能够在不重新训练整个模型的情况下，为新用户生成表示（Embedding），并且完成推荐预测。

**泛化到新图：** 分子图预测。我们会用一批训练分子（每个分子是一张图）来训练一个 GNN 模型，让它学会如何根据图结构与原子特征来预测分子的某些性质（如毒性、溶解度、活性等）。训练完成后，让它在新的分子上做预测。



## GNN的优点：

**参数共享**

- 浅层嵌入(如Deepwalk)为每个节点单独学习一个向量，参数量随节点数线性增长。
- GNN 使用统一的消息传递/聚合函数，所有节点共享同一套模型参数，大幅减少参数量。

**归纳式学习**

- 浅层方法通常无法直接处理训练时未见过的新节点。
- GNN 能通过邻居特征和结构来生成新节点的表示，实现对新节点/新图的泛化。

**利用节点特征**

- 浅层方法多半只基于连接关系（图结构）。
- GNN 可以直接整合节点的属性（文本、图像特征等），生成更具语义信息的嵌入。

**更强的表达能力**

- GNN 通过多层聚合邻居信息，可学习到更丰富的高阶结构和特征交互，往往在多种任务上表现更优。