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# 颜佳佳论文

## 多智能体随机网络结构的实时精确估算

### 基于扰动理论的特征向量估算方法

设原矩阵为 $A$，扰动后矩阵为 $A+\zeta C$（扰动矩阵 $\zeta C$，$\zeta$是小参数），令其第 $i$ 个特征值、特征向量分别为 $\lambda_i,x_i$ 和 $\tilde\lambda_i,\tilde x_i$。

**特征向量的一阶扰动公式：**
$$
\Delta x_i
=\tilde x_i - x_i
\;\approx\;
\zeta \sum_{k\neq i}
\frac{x_k^T\,C\,x_i}{\lambda_i - \lambda_k}\;x_k,
$$

- **输出**：对应第 $i$ 个特征向量修正量 $\Delta x_i$。



**特征值的一阶扰动公式：**
$$
\Delta\lambda_i = \tilde\lambda_i - \lambda_i \;\approx\;\zeta\,x_i^T\,C\,x_i
$$
**关键假设：**当扰动较小（ $\zeta\ll1$） 且各模态近似正交均匀时，常作进一步近似  
$$
x_k^T\,C\,x_i \;\approx\; x_i^T\,C\,x_i \;
$$
正交： $\{x_k\}$ 本身是正交基，这是任何对称矩阵特征向量天然具有的属性。

均匀：我们把 $C$ 看作“**不偏向任何特定模态**”的随机小扰动——换句话说，投影到任何两个方向 $(x_i,x_k)$ 上的耦合强度 $x_k^T\,C\,x_i\quad\text{和}\quad x_i^T\,C\,x_i$   在数值量级上应当差不多，因此可以互相近似。



因此，将所有的 $x_k^T C x_i$ 替换为 $x_i^T C x_i$：
$$
\Delta x_i \approx \zeta \sum_{k\neq i} \frac{x_i^T C x_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \zeta (x_i^T C x_i) \sum_{k\neq i} \frac{1}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
$$

$$
\Delta x_i \approx\sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
$$

问题：

1. **当前时刻的邻接矩阵**  
   $$
   A^{(1)}\in\mathbb R^{n\times n},\qquad
     A^{(1)}\,x_i^{(1)}=\lambda_i^{(1)}\,x_i^{(1)},\quad \|x_i^{(1)}\|=1.
   $$

2. **下一时刻的邻接矩阵**  
   $$
   A^{(2)}\in\mathbb R^{n\times n},
   $$
   **已知**它的第 $i$ 个特征值  $\lambda_i^{(2)}$（卡尔曼滤波得来）.  **求**当前时刻的特征向量  $x_i^{(2)}$。  



**下一时刻**第 $i$ 个特征向量的预测为
$$
\boxed{
x_i^{(2)}
\;=\;
x_i^{(1)}+\Delta x_i
\;\approx\;
x_i^{(1)}
+\sum_{k\neq i}
\frac{\lambda_i^{(2)}-\lambda_i^{(1)}}
     {\lambda_i^{(1)}-\lambda_k^{(1)}}\;
x_k^{(1)}.
}
$$
通过该估算方法可以依次求出下一时刻的所有特征向量。



### 多智能体随机网络特征值滤波建模

#### **1. 状态转移模型**

系统的特征值向量 $\lambda_k$（状态向量）随时间演化的动态方程为：
$$
\lambda_k = \lambda_{k-1} + w_{k-1}
$$

- **参数说明**：
  - $\lambda_k \in \mathbb{R}^{r \times 1}$：$k$ 时刻的特征值向量，$r$ 为特征值个数。
  - $w_{k-1} \sim \mathcal{N}(0, {Q})$：过程噪声，均值为零，协方差矩阵为对角阵 $\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{r \times r}$（因特征值独立）。
- **简化假设**：
  - 状态转移矩阵 $\mathbf{A}$ 和控制输入矩阵 $\mathbf{B}$ 为单位阵或零（无外部控制输入），故模型简化为随机游走形式。

#### **2. 测量模型**

观测到的特征值向量 $z_k$ 为：
$$
z_k = \lambda_k + v_k
$$

- **参数说明**：
  - $z_k \in \mathbb{R}^{r \times 1}$：观测向量，维度与状态向量相同。
  - $v_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R})$：测量噪声，协方差 $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{r \times r}$ 为对角阵（噪声独立）。
- **简化假设**：
  - 测量矩阵 $\mathbf{H}$ 为单位阵，即观测直接反映状态。

#### **3. 噪声协方差矩阵的设定**

- $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$ 为对角矩阵，对角元素由特征值方差确定：
  $$
  \mathbf{Q} = \text{diag}(2\sigma_1^2, 2\sigma_2^2, \dots, 2\sigma_r^2), \quad \mathbf{R} = \text{diag}(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \dots, \sigma_r^2)
  $$
  其中 $\sigma_i^2$ 为第 $i$ 个特征值的初始方差（由引理3-1推导）。





## 网络结构优化

**直接SNMF分解（无优化）**

- 输入矩阵：原始动态网络邻接矩阵 $A$（可能稠密或高秩）
- 处理流程：
  - 直接对称非负矩阵分解：$A \approx UU^T$
  - 通过迭代调整$U$和旋转矩阵$Q$逼近目标
- 存在问题：
  - 高秩矩阵需要保留更多特征值（$\kappa$较大）
  - 非稀疏矩阵计算效率低

**先优化再SNMF（论文方法）**

- 优化阶段（ADMM）：
  - 目标函数：$\min_{A_{\text{opt}}} (1-\alpha)\|A_{\text{opt}}\|_* + \alpha\|A_{\text{opt}}\|_1$
  - 输出优化矩阵$A_{\text{opt}}$
- SNMF阶段：
  - 输入变为优化后的$A_{\text{opt}}$
  - 保持相同分解流程但效率更高



### 网络优化中的邻接矩阵重构问题建模与优化

**可行解集合定义（公式4-4）**
$$
\Omega = \left\{ A \middle| A^T = A,\, A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P,\, A \odot A_{\max}' = 0 \right\}
$$

- **$A^T = A$**：确保邻接矩阵对称  
- **$A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P$**：掩码矩阵$P$ ，**原来已有的连接不变，只让优化原本没有连接的地方**。（$\odot$为Hadamard积）  
- **$A \odot A_{\max}' = 0$**：功率约束矩阵$\ A_{\max}'$ 禁止在原本无连接的节点间新增边  



**限制矩阵$A_{\max}'$的定义（公式4-5）**
$$
A'_{\max, ij} = 
\begin{cases} 
0, & \text{若 } A_{\max, ij} \ne 0 \\ 
1, & \text{若 } A_{\max, ij} = 0 
\end{cases}
$$

- $A_{\max, ij}$表示在最大发射功率下哪些节点对之间能连通（非零表示可连通，零表示即便满功率也连不通）
- $A_{\max}'$在“连不通”的位置上是1，其他位置是0。通过$A_{\max}'$标记禁止修改的零元素位置  
- 对于所有满足 $A'_{\max,ij}=1$ 的位置（即物理不可连通的节点对），必须有 $A_{ij}=0$，即始终保持断开



**原始优化目标（公式4-6）**
$$
\min_{A} \, (1-\alpha)\, \text{rank}(A) + \alpha \|A\|_0
$$
$\|A\|_0$ 表示矩阵 $A$ 中非零元素的个数

- **目标**：平衡低秩性（$\text{rank}(A)$）与稀疏性（$\|A\|_0$）  
- **问题**：非凸、不可导，难以直接优化  



**凸松弛后的目标（公式4-7）**
$$
\min_{A} \, (1-\alpha)\, \|A\|_* + \alpha \|A\|_1
$$

- **核范数$\|A\|_*$**：奇异值之和，替代$\text{rank}(A)$  
- **L1范数$\|A\|_1$**：元素绝对值和，替代$\|A\|_0$  
- **性质**：凸优化问题，存在全局最优解  



**求解方法**

- **传统方法**：
  可转化为**半定规划（SDP）**问题，使用内点法等求解器。但缺点是计算效率低，尤其当矩阵规模大（如多智能体网络节点数 $n$ 很大）时不可行。
- **改进方法**：
  采用**ADMM（交替方向乘子法）**结合**投影**和**对偶上升**的方法，适用于动态网络（矩阵频繁变化的情况）。



### ADMM核心算法

#### **变量定义与作用**

- **输入变量**：
  - $A_{pre}$：初始邻接矩阵（优化前的网络拓扑）。
  - $P$：对称的0-1矩阵，用于标记 $A_{pre}$ 中非零元素的位置（保持已有边不变）。
  - $A'_{max}$：功率最大时的邻接矩阵的补集（$A'_{maxij} = 1$ 表示 $A_{maxij} = 0$，即不允许新增边）。
  - $\alpha$：权衡稀疏性（$L_1$ 范数）和低秩性（核范数）的系数。
  - **iters**：ADMM迭代次数。



<img src="https://pic.bitday.top/i/2025/04/03/ouy27i-0.png" alt="image-20250403150317427" style="zoom:80%;" />



#### **算法步骤详解**

**(S.1) 更新原始变量 $A$（对应ADMM的$x$步）**

- **代码行4-17**：通过内层循环（投影和对偶上升）更新 $A$。
  - **行4-11**：
    - 通过内层循环（行8-11）迭代更新 $R$，本质是**梯度投影法**：
      - $temp_R^{k+1} = M - X^k \odot A_{\text{pre}}$（计算残差）。
      - $X^{k+1} = X^k + \beta(A_{\text{pre}} \odot temp_R^{k+1})$（梯度上升步，$\beta$ 为步长）。
    - **本质**：通过迭代强制 $A$ 在 $P$ 标记的位置与 $A_{pre}$ 一致。
  - **行13-17**：将 $A$ 投影到 $A \odot A'_{\text{max}} = 0$ 的集合。
    - 类似地，通过内层循环（行14-17）更新 $Y$：
      - $temp_A^{k+1} = D_2 - Y^k \odot A'_{\text{max}}$（残差计算）。
      - $Y^{k+1} = Y^k + \gamma(A'_{\text{max}} \odot temp_A^{k+1})$（对偶变量更新）。

**(S.2) 更新辅助变量 $Z_1, Z_2$（对应ADMM的$z$步）**

通过阈值操作分离目标函数的两部分：

- **行18-19**：分别对核范数和 $L_1$ 范数进行阈值操作：
  - $Z_1^{t+1} = T_r(A^{t+1} + U_1^t)$：  
    $T_r(\cdot)$ 是**奇异值阈值算子**（核范数投影），对$A + U1$ 做SVD分解，保留前 $r$ 个奇异值。**作用**：把自己变成低秩矩阵=》强制 $A$ 低秩。
  - $Z_2^{t+1} = S_{\alpha}(A^{t+1} + U_2^t)$：  
    $S_{\alpha}(\cdot)$ 是**软阈值算子**（$L_1$ 范数投影），将小于 $\alpha$ 的元素置零。把自己变成稀疏矩阵=》促进 $A$ 的稀疏性。

**(S.3) 更新 拉格朗日乘子$U_1, U_2$（对应ADMM的对偶上升）**

- **行20-21**：通过残差 $(A - Z)$ 调整拉格朗日乘子 $U_1, U_2$：
  - $U_1^{t+1} = U_1^t + A^{t+1} - Z_1^{t+1}$（核范数约束的乘子更新）。
  - $U_2^{t+1} = U_2^t + A^{t+1} - Z_2^{t+1}$（$L_1$ 范数约束的乘子更新）。
  - **作用**：惩罚 $A$ 与辅助变量 $Z1, Z2$ 的偏差（迫使$A$更贴近$Z$），推动收敛。



## 网络结构控制

- **核心目标**：将优化后的低秩稀疏矩阵 $A$ 转化为**实际网络参数**（如功率、带宽），并维持动态网络的**连通性**和**稳定性**。
- **具体实现**：
  1. 通过PID控制调整发射/接收功率，使实际链路带宽匹配矩阵 $A$ 的优化值。
  2. 结合CSMA/CA协议处理多节点竞争，确保稀疏网络下的高效通信。

```plaintext
优化模型（4.2节）
   ↓ 生成目标带宽矩阵A
香农公式 → 计算目标Pr → 自由空间公式 → 计算目标Pt
   ↓
PID控制发射机（AGC电压） → 实际Pt ≈ 目标Pt
   ↓
PID控制接收机（AAGC/DAGC） → 实际Pr ≈ 目标Pr
   ↓
实际带宽 ≈ Aij （闭环反馈）
```

- **发射机**：  

  - **功能**：将数据转换为无线信号并通过天线发射。  
  - **关键参数**：发射功率（$P_t$）、天线增益（$G_t$）、工作频率（决定波长$\lambda$）。  
  - **控制目标**：通过调整AGC电压，动态调节发射功率，以匹配优化后的带宽需求（矩阵$A$中的$A_{ij}$）。  

- **接收机**：  

  - **功能**：接收无线信号并转换为可处理的数据。  
  - **关键参数**：接收功率（$P_r$）、噪声（$N_0$）、天线增益（$G_r$）。  
  - **控制目标**：通过AAGC/DAGC增益调整，确保接收信号强度适合解调，维持链路稳定性。  

  

### 具体步骤

**步骤1：生成目标带宽矩阵 $A$（4.2节优化模型）**

- **数学建模**：

  - 通过凸松弛优化问题（公式4-7）得到低秩稀疏矩阵 $A$：
    $$
    \min_A (1-\alpha) \|A\|_* + \alpha \|A\|_1 \quad \text{s.t.} \quad A \in \Omega
    $$

  - 约束集 $\Omega$ 确保矩阵对称性、保留原有链路（$A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P$）、禁止不可达链路（$A \odot A'_{\max} = 0$）。

- **物理意义**：

  - 非零元素 $A_{ij}$ 直接表示 **目标信道带宽** $C_{ij}$（单位：bps），即：
    $$
    A_{ij} = C_{ij} = W \log_2\left(1 + \frac{P_r}{N_0 W}\right) \quad \text{(香农公式4-10)}
    $$

**步骤2：从带宽 $A_{ij}$ 反推功率参数**

- **接收功率 $P_r$ 计算**：

  - 根据香农公式解耦：
    $$
    P_r = (2^{A_{ij}/W} - 1) N_0 W
    $$

  - **输入**：噪声 $N_0$、带宽 $W$、目标带宽 $A_{ij}$。

- **发射功率 $P_t$ 计算**：

  - 通过自由空间公式（4-11）：
    $$
    P_t = \frac{P_r L (4\pi d)^2}{G_t G_r \lambda^2}
    $$

  - **输入**：距离 $d$、天线增益 $G_t, G_r$、波长 $\lambda$、损耗 $L$。

- **逻辑分支**：

  - 若 $A_{ij} \neq A_{\text{pre}ij}$（需调整链路）：
    - 计算 $P_r$ 和 $P_t$；
  - 若 $A_{ij} = 0$（无连接）：
    - 直接设 $P_r = P_t = 0$。

**步骤3：发射机功率调整（图4-2a）**

1. **定义目标**：$P_t$（来自步骤2）。
2. **测量实际**：通过传感器获取当前发射功率 $P_{t,\text{actual}}$。
3. **计算偏差**：$e(t) = P_t - P_{t,\text{actual}}$。
4. **PID调节**：通过AGC电压改变发射功率，逼近 $P_t$。

**步骤4：接收机功率调整（图4-2b）**

1. **定义目标**：$P_r$（来自步骤2）。
2. **测量实际**：检测空口信号功率 $P_{r,\text{actual}}$。
3. **计算偏差**：$e(t) = P_r - P_{r,\text{actual}}$。
4. **PID调节**：
   - 调整AAGC（模拟增益）和DAGC（数字增益），持续监测直至 $|e(t)| < \epsilon$。



## 基于谱聚类的无人机网络充电

### (1) 谱聚类分组Spectral_Clustering（表5.1）

**目标**：将无人机和充电站划分为 $K$ 个簇，使充电站位于簇中心。  
**步骤**：  

1. **输入**：带权邻接矩阵 $A$（权值=无人机间距离）、节点数 $N$、充电站数 $K$。  
2. **拉普拉斯矩阵**：  
   $$L = D - A, \quad D_{ii} = \sum_j A_{ij}$$  
3. **归一化**：  
   $$L_{norm} = D^{-\frac{1}{2}}LD^{\frac{1}{2}}$$  
4. **谱分解**：求 $L_{norm}$ 前 $K$ 小特征值对应的特征向量矩阵 $V \in \mathbb{R}^{N \times K}$。  
5. **聚类**：对 $V$ 的行向量进行 k-means 聚类，得到标签 $\text{labels}$。  

**输出**：每个无人机/充电站的簇编号 $\text{labels}$。

### (2) 无人机选择充电站（表5-2）

**目标**：电量低的无人机前往对应簇中心的充电站。  
**步骤**：  

1. **周期性运行**（间隔 $\Delta t$）：  
   - 通过 `Push_Sum` 协议获取所有无人机位置 `Positions`。  
   - 计算距离矩阵 $A$。  
2. **动态聚类**：调用 `Spectral_Clustering(A)` 更新簇标签。  
3. **充电触发**：若电量 $E < P_{th}$，向簇中心请求坐标 $\text{CS\_point}$ 并前往。  

**关键公式**：  
$$A_{ij} = \| \text{Position}_i - \text{Position}_j \|_2$$

### (3) 充电站跟踪算法（表5-3）

**目标**：充电站动态调整位置至簇中心。  
**步骤**：  

1. **周期性运行**（间隔 $\Delta t$）：  
   - 同无人机算法获取 $A$ 和 `labels`。  
2. **定位簇中心**：  
   - 充电站根据编号匹配簇标签。  
   - 计算簇内无人机位置均值：  
     $$\text{CS\_point} = \frac{1}{|C_k|} \sum_{i \in C_k} \text{Position}_i$$  
     其中 $C_k$ 为第 $k$ 簇的节点集合。  
3. **移动至新中心**并广播位置。  

---

### (4) 算法改进

**替换通信协议**：用第3章的卡尔曼滤波 替代 `Push_Sum`，获取特征值、特征向量重构全局矩阵 $A$，减少消息传递。  



## 基于T-GAT的无人机群流量预测

### TCN

流量矩阵 $X \in \mathbb{R}^{N \times T}$，其中：

- $N$：无人机节点数量（例如10架无人机）。
- $T$：时间步数量。
- 每个元素 $X_{i,t}$ 表示第 $i$ 个节点在时间 $t$ 的**总流量**（如发送/接收的数据包数量或带宽占用）。

**流量矩阵的形状**

假设有3架无人机，记录5个时间步的流量数据，矩阵如下：
$$
X = \begin{bmatrix} 100 & 150 & 200 & 180 & 220 \\[6pt] 50  & 75  & 100 & 90  & 110 \\[6pt] 80  & 120 & 160 & 140 & 170  \end{bmatrix}
$$


- **行 ($N=3$)**：每行代表一架无人机的历史流量序列（例如第1行表示无人机1的流量变化：100 → 150 → 200 → 180 → 220）。
- **列 ($T=5$)**：每列代表所有无人机在**同一时间步**的流量状态（例如第1列表示在时间 $t_1$ 时，三架无人机的流量分别为：[100, 50, 80]）。

**TCN处理流量矩阵**：

- **卷积操作**
   TCN 的每个卷积核会滑动扫描所有**通道**（即所有无人机）的时序数据。
   **例如**，一个大小为 3 的卷积核会同时分析每架无人机连续 3 个时间步的流量（例如从 $t_1$ 到 $t_3$），以提取局部时序模式。
- **输出时序特征**
   经过多层扩张卷积和残差连接后，TCN 会输出一个高阶特征矩阵 $H_T^l$，其形状与输入类似（例如 `(1, 3, 5)`），但每个时间步的值已包含了：
  - **趋势信息**：流量上升或下降的长期规律。

TCN的卷积核仅在**单个通道内滑动**，计算时仅依赖该节点自身的历史时间步。节点间的交互是通过后续的**图注意力网络（GAT）**实现的。

### 与 GAT 的衔接

- TCN 输出的特征矩阵 $H_T^l$ 会传递给 GAT 进行进一步处理。
- **时间步对齐**：通常取最后一个时间步的特征（例如 `H_T^l[:, :, -1]`）作为当前节点特征。
- **空间聚合**：GAT 根据邻接矩阵计算无人机间的注意力权重，例如考虑“无人机2的当前流量可能受到无人机1过去3分钟流量变化的影响”。