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以下是转换为 Markdown 格式的内容，公式已用 `$` 或 `$$` 包裹：
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下面给出一个**最简示例**，只展示 **节点 $A$** 在两层 GNN 里的更新计算过程，并说明它是如何从 2-hop 范围（即节点 $C, D$）间接获得信息。
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## 图结构与初始特征
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A
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B
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/ \
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C D
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```
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- **边**：$A$–$B$，$B$–$C$，$B$–$D$
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- **初始特征 (Layer-0)**：
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- $A^{(0)} = [1.0,\ 0.5]$
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- $B^{(0)} = [0.8,\ 1.2]$
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- $C^{(0)} = [0.3,\ 0.7]$
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- $D^{(0)} = [1.5,\ 0.9]$
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**第 1 层更新：$A^{(0)} \to A^{(1)}$**
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1. **节点 $A$ 的 1-hop 邻居**：只有 $B$。
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2. **聚合**（示例：自 + sum 邻居）：
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$$
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z_A^{(1)} \;=\; A^{(0)} + B^{(0)}
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\;=\; [1.0,\,0.5] + [0.8,\,1.2]
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\;=\; [1.8,\,1.7].
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3. **MLP 变换**：用一个两层感知器或线性+激活函数映射 $z_A^{(1)}$ 到 2 维输出：
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$$
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A^{(1)} \;=\; \mathrm{MLP}\bigl(z_A^{(1)}\bigr).
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- （数值略，可想象 $\mathrm{MLP}([1.8,1.7]) \approx [1.9,1.1]$ 之类。）
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**结果**：$A^{(1)}$ 包含了 **A** 的初始特征 + **B** 的初始特征信息。
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**第 2 层更新：$A^{(1)} \to A^{(2)}$**
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为了让 **A** 获得 **2-hop** 范围（$C, D$）的信息，需要**先**让 **B** 在第 1 层就吸收了 $C, D$ 的特征，从而 **B^{(1)}** 蕴含 $C, D$ 信息。然后 **A** 在第 2 层再从 **B^{(1)}** 聚合。
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1. **节点 B 在第 1 层**（简要说明）
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- 邻居：$\{A,C,D\}$
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- 聚合：$z_B^{(1)} = B^{(0)} + A^{(0)} + C^{(0)} + D^{(0)}$
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- MLP 变换：$B^{(1)} = \mathrm{MLP}\bigl(z_B^{(1)}\bigr)$。
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- 此时 **B^{(1)}** 已经包含了 $C, D$ 的信息。
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2. **节点 $A$ 的第 2 层聚合**
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- 邻居：$B$，但此时要用 **B^{(1)}**（它已吸收 C、D）
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- **聚合**：
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$$
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z_A^{(2)} = A^{(1)} + B^{(1)}.
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$$
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- **MLP 变换**：
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$$
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A^{(2)} = \mathrm{MLP}\bigl(z_A^{(2)}\bigr).
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$$
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**结果**：$A^{(2)}$ 就包含了 **2-hop** 范围的信息，因为 **B^{(1)}** 中有 $C, D$ 的贡献。
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## 小结
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- **第 1 层**：A 直接获取 B 的初始特征；B 同时获取 A、C、D 的初始特征。
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- **第 2 层**：A 获取 B 的**新表示**（B^{(1)}），该表示已带有 C、D 信息 → A 间接获得 2-hop 信息。
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- **每层**都进行“聚合 + MLP”**同步更新**，最终 $A^{(2)}$ 就是节点 A 的 2 层 GNN 输出。
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如果需要进一步调整或补充，请告诉我！
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