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# 图神经网络

图表示学习的本质是把节点映射成低维连续稠密的向量。这些向量通常被称为 **嵌入（Embedding）**，它们能够捕捉节点在图中的结构信息和属性信息，从而用于下游任务（如节点分类、链接预测、图分类等）。

- **低维**：将高维的原始数据（如邻接矩阵或节点特征）压缩为低维向量，减少计算和存储开销。
- **连续**：将离散的节点或图结构映射为连续的向量空间，便于数学运算和捕捉相似性。
- **稠密**：将稀疏的原始数据转换为稠密的向量，每个维度都包含有意义的信息。



## 对图数据进行深度学习的“朴素做法”

把图的邻接矩阵和节点特征“直接拼接”成固定维度的输入，然后将其送入一个深度神经网络（全连接层）进行学习。

![image-20250316142412685](D:/folder/study/md_files/output/554d273e-c4e3-4ac2-8573-01debad92434.png)

这种做法面临重大问题，导致其**并不可行**：

1. **$O(|V|^2)$ 参数量** ，参数量庞大

2. **无法适应不同大小的图**  ，需要固定输入维度

3. **对节点顺序敏感**  ，节点编号顺序一变，输入就完全变样，但其实图的拓扑并没变（仅节点编号/排列方式不同）。  

   ```
      A —— B
      |     |
      D —— C
   ```

   *矩阵 1*（顺序 $[A,B,C,D]$）：
   $$
   M_1 = 
   \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 & 1\\
    1 & 0 & 1 & 0\\
    0 & 1 & 0 & 1\\
    1 & 0 & 1 & 0
   \end{pmatrix}.
   $$
   *矩阵 2*（顺序 $[C,A,D,B]$）：
   $$
   M_2 =
   \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    1 & 1 & 0 & 0
   \end{pmatrix}.
   $$

​		两个矩阵完全不同，但**它们对应的图是相同的**（只不过节点的顺序改了）。



## 计算图

在**图神经网络**里，通常每个节点$v$ 都有一个**局部计算图**，用来表示该节点在聚合信息时所需的所有邻居（及邻居的邻居……）的依赖关系。

- 直观理解
  - 以节点 $v$ 为根；
  - 1-hop 邻居在第一层，2-hop 邻居在第二层……
  - 逐层展开直到一定深度（例如 k 层）。
  - 这样形成一棵“邻域树”或“展开图”，其中每个节点都需要从其子节点（邻居）获取特征进行聚合。



![image-20250316152729679](D:/folder/study/md_files/output/ec45b68d-2da4-4ea3-b0d4-8b7bad443935.png)

![image-20250316152836156](D:/folder/study/md_files/output/f6e59abc-2373-47d4-8691-36c2e0b0f3ef.png)



### 例子

在图神经网络中，每一层的计算通常包括以下步骤：

1. **聚合（Aggregation）**：将邻居节点的特征聚合起来（如求和、均值、最大值等）。
2. **变换（Transformation）**：将聚合后的特征通过一个神经网络（如 MLP）进行非线性变换。

```
      A
      |
      B
    /   \
   C     D
```

假设每个节点的特征是一个二维向量：

- 节点 $ A $ 的特征：$ h_A = [1.0, 0.5] $
- 节点 $ B $ 的特征：$ h_B = [0.8, 1.2] $
- 节点 $ C $ 的特征：$ h_C = [0.3, 0.7] $
- 节点 $ D $ 的特征：$ h_D = [1.5, 0.9] $

**第 1 层更新：$A^{(0)} \to A^{(1)}$**

1. 节点 $A$ 的 1-hop 邻居：只有 $B$。  

2. 聚合（示例：自+邻居取平均）：
   $$
   z_A^{(1)} = \frac{A^{(0)} + B^{(0)}}{2} = \frac{[1.0,\,0.5] + [0.8,\,1.2]}{2} = \frac{[1.8,\,1.7]}{2} = [0.9,\,0.85].
   $$
   
3. MLP 变换：用一个MLP映射 $z_A^{(1)}$ 到 2 维输出：
   $$
   A^{(1)} \;=\; \mathrm{MLP_1}\bigl(z_A^{(1)}\bigr).
   $$

   - （数值略，可想象 $\mathrm{MLP}([0.9,0.85]) \approx [1.0,0.6]$ 之类。）

**结果**：$A^{(1)}$ 包含了 **A** 的初始特征 + **B** 的初始特征信息。

---

**第 2 层更新：$A^{(1)} \to A^{(2)}$**

为了让 **A** 获得 **2-hop** 范围（$C, D$）的信息，需要先让 $B$ 在第 1 层就吸收了 $C, D$ 的特征，从而 **$B^{(1)}$** 蕴含 $C, D$ 信息。然后 **A** 在第 2 层再从 **$B^{(1)}$** 聚合。

1. **节点 B 在第 1 层**（简要说明）  

   - 邻居：$\{A,C,D\}$  
   - 聚合：$z_B^{(1)} = \frac{B^{(0)} + A^{(0)} + C^{(0)} + D^{(0)}}{4} = \frac{[0.8,\,1.2] + [1.0,\,0.5] + [0.3,\,0.7] + [1.5,\,0.9]}{4} = \frac{[3.6,\,3.3]}{4} = [0.9,\,0.825].$  
   - MLP 变换：$B^{(1)} = \mathrm{MLP}\bigl(z_B^{(1)}\bigr)$。  
   - 此时 **$B^{(1)}$** 已经包含了 $C, D$ 的信息。

2. **节点 $A$ 的第 2 层聚合**  

   - 邻居：$B$，但此时要用 **$B^{(1)}$**（它已吸收 C、D）  

   - 聚合：
     $$
     z_A^{(2)} = A^{(1)} + B^{(1)}.
     $$

   - MLP 变换：
     $$
     A^{(2)} = \mathrm{MLP_2}\bigl(z_A^{(2)}\bigr).
     $$

**结果**：$A^{(2)}$ 就包含了 **2-hop** 范围的信息，因为 **$B^{(1)}$** 中有 $C, D$ 的贡献。



**GNN 的层数**就是**节点聚合邻居信息的迭代次数**（也是计算图的层数）。

同一层里，**所有节点共享一组参数**（同一个 MLP 或全连接神经网络）



### **矩阵运算**

$\tilde D^{-1}\,\tilde A\,\tilde D^{-1}H$ 

$H'=\tilde D^{-1}\,\tilde A\,H$ 

       A
       |
       B
     /   \
    C     D
**1.构造矩阵**

含自环邻接矩阵 $\tilde A=A+I$
$$
\tilde A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
度矩阵 $\tilde D$（对角＝自身＋邻居数量）
$$
\tilde D = \mathrm{diag}(2,\,4,\,2,\,2)
$$
特征矩阵 $H$（每行为一个节点的特征向量）
$$
H =
\begin{bmatrix}
1.0 & 0.5\\
0.8 & 1.2\\
0.3 & 0.7\\
1.5 & 0.9
\end{bmatrix}
$$
**2.计算**

求和： $\tilde A\,H$
$$
\tilde A H =
\begin{bmatrix}
1.8 & 1.7\\
3.6 & 3.3\\
1.1 & 1.9\\
2.3 & 2.1
\end{bmatrix}
$$
平均： $\tilde D^{-1}(\tilde A H)$
$$
\tilde D^{-1}\tilde A H =
\begin{bmatrix}
0.90 & 0.85\\
0.90 & 0.825\\
0.55 & 0.95\\
1.15 & 1.05
\end{bmatrix}
$$


## GCN

在 GNN 里，归一化（normalization）的核心目的就是 **平衡不同节点在信息传播（message‑passing）中的影响力**，避免「高连通度节点（high‑degree nodes）」主导了所有邻居的特征聚合。

$H' = \tilde D^{-1}\,\tilde A\,\tilde D^{-1}H$ 

- 对节点 $i$ 来说：  

$$
H'_i = \frac1{d_i}\sum_{j\in \mathcal N(i)}\frac1{d_j}\,H_j
$$

- **先用源节点 $j$ 的度 $d_j$ 缩小它的特征贡献**，再用目标节点 $i$ 的度 $d_i$ 归一化总和。



### **GCN中实际的公式：**

$$
H^{(l+1)} = \sigma\Big(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}H^{(l)}W^{(l)}\Big)
$$

其中：

- $H^{(l)}$ 是第 $l$ 层的输入特征（对第 $0$ 层来说就是节点的初始特征），
- $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的可训练权重矩阵，相当于一个简单的线性变换（类似于 MLP 中的全连接层），
- $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数（例如 ReLU），
- $\tilde{A}$ 是包含自连接的邻接矩阵，
- $\tilde{D}$ 是 $\tilde{A}$ 的度矩阵。



**$\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}$的优势**

**1.对称归一化**：$\tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 是一个对称矩阵，这意味着信息在节点之间的传播是双向一致的。这种对称性特别适合无向图，因为无向图的邻接矩阵 $\tilde A$ 本身就是对称的。

**2.适度抑制高连通度节点**：对称平方根归一化通过 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 对源节点和目标节点同时进行归一化，能够适度抑制高连通度节点的特征贡献，而不会过度削弱其影响力。

**3.谱半径控制**：对称平方根归一化后的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 的谱半径（最大特征值）被控制在 $[0, 1]$ 范围内，这有助于保证模型的数值稳定性。

**4.归一化拉普拉斯矩阵**：对称平方根归一化的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 与归一化拉普拉斯矩阵 $L = I - \tilde D^{-\frac{1}{2}}\,\tilde A\,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 有直接联系。归一化拉普拉斯矩阵在图信号处理中具有重要的理论意义，能够更好地描述图的频谱特性。



**优化**
$$
h_v^{(k+1)} = \sigma \Big(
   \mathbf{W}_{\text{self}}^{(k)} \cdot h_v^{(k)} 
   \;+\; 
   \mathbf{W}_{\text{neigh}}^{(k)} \cdot \mathrm{MEAN}_{u\in N(v)}\bigl(h_u^{(k)}\bigr)
\Big),
$$


### 直推式学习与归纳式学习

**直推式学习（Transductive Learning）**
模型直接在固定的训练图上学习节点的表示或标签，结果只能应用于这张图中的节点，无法直接推广到新的、未见过的节点或图。

例如：DeepWalk ，它通过对固定图的随机游走生成节点序列来学习节点嵌入，因此只能得到训练图中已有节点的表示，一旦遇到新节点，需要重新训练或进行特殊处理。

**注意**：GCN是直推式的，因为它依赖于整个图的归一化邻接矩阵进行卷积操作，需要在固定图上训练。GraphSAGE 是归纳式学习方法。它通过在每一层随机采样固定数量的邻居，当有新节点加入时，你可以构造一个包含新节点及其局部邻居的子图，然后重新计算该局部子图的 $\tilde{A}$ 和 $\tilde{D}$ 矩阵。这样就不需要对整个图做全局归一化



**归纳式学习（Inductive Learning）**
模型学习的是一个映射函数或规则，可以将这种规则推广到未见过的**新节点**或**新图**上。这种方法能够处理动态变化的图结构或新的数据。

例如：图神经网络的变体都是归纳式的，因为它们在聚合邻居信息时学习一个共享的函数，该函数能够应用于任意新节点。

**泛化到新节点**：在许多推荐系统中，如果有新用户加入（新节点），我们需要给他们做个性化推荐，这就要求系统能够在不重新训练整个模型的情况下，为新用户生成表示（Embedding），并且完成推荐预测。

**泛化到新图：** 分子图预测。我们会用一批训练分子（每个分子是一张图）来训练一个 GNN 模型，让它学会如何根据图结构与原子特征来预测分子的某些性质（如毒性、溶解度、活性等）。训练完成后，让它在新的分子上做预测。



### GNN的优点：

**参数共享**

- 浅层嵌入(如Deepwalk)为每个节点单独学习一个向量，参数量随节点数线性增长。
- GNN 使用统一的消息传递/聚合函数，所有节点共享同一套模型参数，大幅减少参数量。

**归纳式学习**

- 浅层方法通常无法直接处理训练时未见过的新节点。
- GNN 能通过邻居特征和结构来生成新节点的表示，实现对新节点/新图的泛化。

**利用节点特征**

- 浅层方法多半只基于连接关系（图结构）。
- GNN 可以直接整合节点的属性（文本、图像特征等），生成更具语义信息的嵌入。

**更强的表达能力**

- GNN 通过多层聚合邻居信息，可学习到更丰富的高阶结构和特征交互，往往在多种任务上表现更优。