Commit on 2025/08/08 周五 22:19:05.76

后端学习/JAVA面试题.md

@@ -92,7 +92,7 @@ if (V == A) {
 
 
 
-如何多线程循环打印1-100数字？
+## 如何多线程循环打印1-100数字？
 
 ```java
 public class AlternatePrint {

后端学习/JavaWeb——后端.md

@@ -2344,47 +2344,75 @@ public class LoggingAspect {
 
 
 
-#### annotation
+#### @annotation
 
-那么如果我们要匹配多个无规则的方法，比如：list()和 delete()这**两个**方法。我们可以借助于另一种切入点表达式annotation来描述这一类的切入点，从而来简化切入点表达式的书写。
+在实际项目中，有时我们需要对**多个方法**（比如 `list()` 和 `delete()`）进行统一拦截，这些方法可能**命名无规律**、无法用 `execution()` 之类的表达式轻松匹配。
+
+这时就可以：
+
+- 给这些方法**统一加一个自定义注解**；
+- 在 AOP 切面里用 `@annotation(...)` 表达式匹配这些方法；
+- 这样写的切入点既简单又易维护。
 
 实现步骤：
 
-1. **新建anno包，在这个包下**编写自定义注解
+① 定义注解
 
 ```java
-import java.lang.annotation.ElementType;
-import java.lang.annotation.Retention;
-import java.lang.annotation.RetentionPolicy;
-import java.lang.annotation.Target;
+import java.lang.annotation.*;
 
-// 定义注解
-@Retention(RetentionPolicy.RUNTIME) // 定义注解的生命周期
-@Target(ElementType.METHOD) // 定义注解可以应用的Java元素类型
+@Retention(RetentionPolicy.RUNTIME)  // 运行时可反射获取
+@Target(ElementType.METHOD)          // 只能标记方法
 public @interface MyLog {
-    // 定义注解的元素（属性）
-    String description() default "This is a default description";
-    int value() default 0;
-}
-
-```
-
-2. 在业务类要做为连接点的**方法上添加**自定义注解
-
-```java
-@MyLog  //自定义注解（表示：当前方法属于目标方法）
-public void delete(Integer id) {
-     //1. 删除部门
-     deptMapper.delete(id);
+    String description() default "default description"; // 描述信息
+    int value() default 0;                               // 额外参数
 }
 ```
 
-3. AOP切面类上使用类似如下的切面表达式：
+`@Retention(RUNTIME)` 保证运行时可以通过反射拿到注解。
+
+`@Target(METHOD)` 限制只能用于方法。
+
+②在业务方法上加注解
 
 ```java
-@Before("@annotation(edu.whut.anno.MyLog)")
+@Service
+public class DeptService {
+
+    @MyLog(description = "删除部门", value = 1)
+    public void delete(Integer id) {
+        deptMapper.delete(id);
+    }
+
+    @MyLog(description = "查询部门列表")
+    public List<Dept> list() {
+        return deptMapper.findAll();
+    }
+}
 ```
 
+③定义切面
+
+```java
+@Aspect
+@Component
+public class MyLogAspect {
+    @Before("@annotation(myLog)") // 绑定注解对象到参数
+    public void before(JoinPoint joinPoint, MyLog myLog) {
+        String methodName = joinPoint.getSignature().getName();
+        System.out.println("方法：" + methodName);
+        System.out.println("注解描述：" + myLog.description());
+        System.out.println("注解值：" + myLog.value());
+    }
+}
+```
+
+`@annotation(myLog)` 表示匹配所有带 `@MyLog` 的方法；
+
+**`myLog` 参数** 会直接被赋值为该方法上的注解实例，可以直接读取注解里的属性值；
+
+**不需要手动反射**去找注解，Spring AOP 自动完成了注解解析和注入。
+
 
 
 ### 连接点JoinPoint

后端学习/Java笔记本.md

@@ -1986,8 +1986,6 @@ public class MyClass {
 }
 ```
 
-
-
 ```java
 import java.lang.reflect.Method;
 

后端学习/微服务.md

@@ -406,7 +406,7 @@ More options->Add VM options -> **-Dserver.port=xxxx**
 
 2.需要.env文件，配置和数据库的连接信息：
 
-```text
+```.env
 PREFER_HOST_MODE=hostname
 MODE=standalone
 SPRING_DATASOURCE_PLATFORM=mysql

杂项/mermaid画图.md

@@ -150,3 +150,82 @@ flowchart LR
 
 ```
 
+
+
+
+
+```mermaid
+sequenceDiagram
+    participant A as 启动时
+    participant B as BeanPostProcessor
+    participant C as 管理后台
+    participant D as Redis Pub/Sub
+    participant E as RTopic listener
+    participant F as Bean 字段热更新
+
+    A->>B: 扫描 @DCCValue 标注的字段
+    B->>B: 写入默认值 / 读取 Redis
+    B->>B: 注入字段值
+    B->>B: 缓存 key→Bean 映射
+    A->>A: Bean 初始化完成
+    
+    C->>D: publish("myKey,newVal")
+    D->>E: 订阅频道 "dcc_update"
+    E->>E: 收到消息，更新 Redis
+    E->>E: 从 Map 找到 Bean
+    E->>E: 反射注入新值到字段
+    E->>F: Bean 字段热更新完成
+
+```
+
+
+
+
+
+```mermaid
+sequenceDiagram
+    participant A as 后台/系统
+    participant B as Redis Pub/Sub
+    participant C as DCC监听器
+    participant D as Redis数据库
+    participant E as 反射更新字段
+    participant F as Bean实例
+
+    A->>B: 发布消息 ("cutRange:50")
+    B->>D: 将消息 "cutRange:50" 写入 Redis
+    B->>C: 触发订阅者接收消息
+    C->>D: 更新 Redis 中的 "cutRange" 配置值
+    C->>F: 根据映射找到对应的 Bean
+    C->>E: 通过反射更新 Bean 中的字段
+    E->>C: 更新成功，字段值被同步
+    C->>A: 配置变更更新完成
+
+```
+
+
+
+```mermaid
+classDiagram
+    class Client
+    class Context {
+        - Strategy strategy
+        + execute()
+    }
+    class Strategy {
+        <<interface>>
+        + execute()
+    }
+    class ConcreteStrategyA {
+        + execute()
+    }
+    class ConcreteStrategyB {
+        + execute()
+    }
+
+    Client --> Context
+    Context --> Strategy
+    Strategy <|.. ConcreteStrategyA
+    Strategy <|.. ConcreteStrategyB
+
+```
+

科研/草稿.md

@@ -1,230 +1,62 @@
+是的，你理解的方向是对的，不过我们可以更精确地说清楚它的含义：
 
+------
 
-### 定理2  
-多智能体随机网络矩阵奇异值信号系统具有线性特征。
+## 1. 它从哪里来
 
-#### 证明  
-根据定理1，奇异值序列$\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t)$服从高斯分布$\mathcal{N}(m_{\tilde{\kappa}}, 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2)$，其协方差结构满足：
+你给的公式
+
+x^k=x^k−+Kk(zk−Hx^k−)\hat{\mathbf{x}}_k = \hat{\mathbf{x}}_k^- + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H} \hat{\mathbf{x}}_k^- \right)
+
+中，
+
+ek:=zk−Hx^k−\mathbf{e}_k := \mathbf{z}_k - \mathbf{H} \hat{\mathbf{x}}_k^-
+
+是**观测创新（innovation）**，反映了观测值与预测值的差异。
+ 在逐维情形下，
+
+x^i,k=x^i,k−+Ki,kei,k.\hat{x}_{i,k} = \hat{x}_{i,k}^- + K_{i,k} e_{i,k}.
+
+如果 $K_{i,k}$ 是确定的，那么更新量
+
+Δx^i,k=Ki,kei,k\Delta \hat{x}_{i,k} = K_{i,k} e_{i,k}
+
+的波动只由 $e_{i,k}$ 决定。
+
+但实际中，你的 $K_{i,k}$ 不是已知的常数，而是由 $Q_i,R_i$ 的估计不确定性决定的——这就是我们推导的 $\theta_{i,\min},\theta_{i,\max}$ 及其对应的 $K_{i,\min},K_{i,\max}$。
+
+------
+
+## 2. $|\xi|_\infty$ 表示的含义
+
+公式
+
+∥ξ∥∞≤max⁡i{θi,max⁡2−θi,min⁡2(1+θi,min⁡2)(1+θi,max⁡2)}⋅∥μ∥∞\|\xi\|_\infty \le  \max_i\left\{ \frac{\theta_{i,\max}^2-\theta_{i,\min}^2}{(1+\theta_{i,\min}^2)(1+\theta_{i,\max}^2)} \right\} \cdot \|\mu\|_\infty
+
+其实是在说：
+
+- **$\frac{\theta_{i,\max}^2-\theta_{i,\min}^2}{(1+\theta_{i,\min}^2)(1+\theta_{i,\max}^2)}$** 是**增益 $K_{i,k}$ 的最大可能变化幅度**（上界与下界之差）。
+- **$\mu_i$** 是历史上**创新 $e_{i,k}$ 的平均绝对值**（$E|e_{i,k}|$），代表“输入量”的典型大小。
+- 两者相乘，就是**因 $K_{i,k}$ 不确定性带来的 $\hat{x}_{i,k}$ 更新项波动的绝对值上界**。
+
+取 $\infty$ 范数，就是取所有维度中最大的这个影响：
+
+∥ξ∥∞≈max⁡i(增益变化幅度)×max⁡i(创新大小).\|\xi\|_\infty \approx \max_i \text{(增益变化幅度)} \times \max_i \text{(创新大小)}.
+
+------
+
+## 3. 直观解释
+
+可以把它理解成：
+
+> **“当我们对 $Q_i,R_i$ 的估计不确定时，卡尔曼增益 $K_i$ 会有一个可能的变化区间，这会导致更新量 $K_i e_i$ 出现额外波动。$|\xi|_\infty$ 给出了这种波动的最坏情况下的绝对值上界。”**
+
+换句话说，它衡量的正是你问的
 $$
-\gamma_{\tilde{\kappa}}(h) = 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2\delta_h^0
+Kk(zk−Hx^k−)\mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H} \hat{\mathbf{x}}_k^- \right)
 $$
+这一项的**不确定性幅度**，但这里是**最坏情况下的最大绝对偏差**（sup-norm），而不是平均波动。
 
-定义中心化变量：
-$$
-\tilde{\sigma}_t = \sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) - m_{\tilde{\kappa}}
-$$
-可表示为：
-$$
-\tilde{\sigma}_t = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}\varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)
-$$
+------
 
-#### 线性系统验证  
-该系统为MA(0)过程，系统增益$h_0 = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}$，满足：
-1. **齐次性**：
-   $$a\tilde{\sigma}_t = h_0(a\varepsilon_t)$$
-2. **叠加性**：
-   $$\tilde{\sigma}_t^{(1)} + \tilde{\sigma}_t^{(2)} = h_0(\varepsilon_t^{(1)} + \varepsilon_t^{(2)})$$
-
-#### 结论  
-奇异值序列的完整表示：
-$$
-\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) = m_{\tilde{\kappa}} + h_0\varepsilon_t
-$$
-其中：
-- $m_{\tilde{\kappa}}$为稳态偏置项
-- $h_0\varepsilon_t$为线性系统响应
-
-根据线性系统定义（需引用文献），同时满足齐次性与可加性即构成线性系统，故得证。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
----
-
-### ② 定理2修订（线性系统特征）
-
-#### 原MA(0)情形回顾
-
-当$\gamma_k(h)=2\sigma_k^2\delta_h$时，
-$$
-\tilde{\sigma}_t=\sigma_k(A_t)-m_k=\sqrt{2}\sigma_k\varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)
-$$
-
-#### 新协方差结构下的表示
-
-当$\gamma_k(h)=C_h$（允许$C_h\neq0$），根据Wiener-Kolmogorov表示定理：
-$$
-\tilde{\sigma}_t=\sum_{h=-\infty}^{+\infty} b_h w_{t-h} \tag{1}
-$$
-其中$\{b_h\}\in\ell^2$满足：
-$$
-\gamma_k(h)=\sum_{\ell=-\infty}^{+\infty} b_\ell b_{\ell+h} \tag{2}
-$$
-
-#### 线性系统验证
-
-设系统传递函数$H(z)=\sum_h b_h z^{-h}$：
-
-1. **齐次性**  
-   $$
-   a\tilde{\sigma}_t=a\sum_h b_h w_{t-h}=\sum_h b_h (a w_{t-h})=H(z)\{a w_t\}
-   $$
-
-2. **叠加性**  
-   $$
-   \tilde{\sigma}_t^{(1)}+\tilde{\sigma}_t^{(2)}=\sum_h b_h(w_{t-h}^{(1)}+w_{t-h}^{(2)})=H(z)\{w_t^{(1)}+w_t^{(2)}\}
-   $$
-
-故$\{\sigma_k(A_t)\}$仍是LTI系统输出，但系统响应$\{b_h\}$需通过(2)式确定。
-
----
-
-### 性质对比
-
-| 性质     | $\gamma_k(h)=2\sigma_k^2\delta_h$ | $\gamma_k(h)=C_h$                |
-| -------- | --------------------------------- | -------------------------------- |
-| 宽平稳   | ✅                                 | ✅                                |
-| 白噪声   | ✅                                 | ❌                                |
-| 系统类型 | MA(0)                             | 通用LTI（可能MA($\infty$)）      |
-| 谱密度   | $S(f)=2\sigma_k^2$                | $S(f)=\sum_h C_h e^{-j2\pi f h}$ |
-
-
-
-
-
-
-
-### 随机网络稳态奇异值的平稳性证明
-
-#### 1. 稳态奇异值分布特性
-
-当随机网络进入稳态后，其矩阵序列$\{A_t\}$的任意奇异值$\sigma_k(A_t)$服从高斯分布：
-$$
-\sigma_k(A_t) \sim \mathcal{N}(m_k, \gamma_k(0))
-$$
-其中参数满足：
-
-- **均值**：$m_k = (N-1)\mu_k + v_k + \frac{\sigma_k^2}{\mu_k}$  
-  （$N$为网络规模，$\mu_k,v_k,\sigma_k$为网络参数）
-- **方差**：$\gamma_k(0) = 2\sigma_k^2$
-
-#### 2. 宽平稳性验证
-
-对任意时刻$t$：
-
-1. **均值稳定性**：
-   $$
-   \mathbb{E}[\sigma_k(A_t)] = m_k \quad \text{(常数)}
-   $$
-
-2. **协方差结构**：
-
-   - 当$h=0$时：
-     $$
-     \text{Cov}(\sigma_k(A_t), \sigma_k(A_t)) = \gamma_k(0)
-     $$
-
-   - 当$h \neq 0$时：
-     $$
-     \text{Cov}(\sigma_k(A_t), \sigma_k(A_{t+h})) = \gamma_k(h)=0
-     $$
-     （由稳态下矩阵的独立性保证）
-
-#### 3. 结论
-
-自协方差函数$\gamma_k(h)$仅依赖于时滞$h$，因此奇异值信号序列$\{\sigma_k(A_t)\}$满足宽平稳过程的定义。
-
----
-
-**注**：本证明基于以下假设：
-
-1. 网络规模$N$足够大，使得高斯逼近有效
-2. 稳态下矩阵序列$\{A_t\}$具有独立性
-
-
-
-### 定理2  
-多智能体随机网络矩阵奇异值信号系统具有线性特征。
-
-#### 证明  
-根据定理1，奇异值序列$\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t)$服从高斯分布$\mathcal{N}(m_{\tilde{\kappa}}, 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2)$，其协方差结构满足：
-$$
-\gamma_{\tilde{\kappa}}(h) = 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2\delta_h^0
-$$
-
-定义中心化变量：
-$$
-\tilde{\sigma}_t = \sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) - m_{\tilde{\kappa}}
-$$
-可表示为：
-$$
-\tilde{\sigma}_t = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}\varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)
-$$
-
-#### 线性系统验证  
-该系统为MA(0)过程，系统增益$h_0 = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}$，满足：
-1. **齐次性**：
-   $$a\tilde{\sigma}_t = h_0(a\varepsilon_t)$$
-2. **叠加性**：
-   $$\tilde{\sigma}_t^{(1)} + \tilde{\sigma}_t^{(2)} = h_0(\varepsilon_t^{(1)} + \varepsilon_t^{(2)})$$
-
-#### 结论  
-奇异值序列的完整表示：
-$$
-\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) = m_{\tilde{\kappa}} + h_0\varepsilon_t
-$$
-其中：
-- $m_{\tilde{\kappa}}$为稳态偏置项
-- $h_0\varepsilon_t$为线性系统响应
-
-根据线性系统定义（需引用文献），同时满足齐次性与可加性即构成线性系统，故得证。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-……由协方差结构 γ_k(h)=2σ_k^2δ_h^0 可知，中心化变量
-$$
-\tilde σ_t  = σ_k(A_t)-m_k,\qquad
-\mathbb E[\tilde σ_t]=0,\;  \mathrm{Cov}(\tilde σ_t,\tilde σ_{t+h})=
-2σ_k^{2}\delta_h^{0}.
-$$
-
-**根据 Wold 分解定理①**，任何零均值、纯非确定性的宽平稳过程都可以唯一表示为
-
-$$
-\tilde σ_t=\sum_{j=0}^{\infty}ψ_j\;ε_{t-j},
-\qquad ε_t\stackrel{i.i.d.}{\sim}\mathcal N(0,1),\ 
-\sum_{j=0}^{\infty}|ψ_j|^2<\infty.
-$$
-
-而在本情形下 $\gamma_k(h)=0\,(h\neq 0)$，因此
-$$
-ψ_0=\sqrt{2}\,σ_k,\quad ψ_j=0\;(j\ge 1),
-$$
-退化为一个 **MA(0)** 过程：
-$$
-\boxed{\;\tilde σ_t=\sqrt{2}\,σ_k\,ε_t\;}
-$$
-……
+我可以帮你画一张图，把 **$K_i$ 区间 × 创新幅度 → 更新量波动范围** 的关系可视化，让你直观看出 $\xi$ 是怎么来的。这样你一看就能明白它在公式里扮演的角色。你要我画吗？

论文/陈茂森论文.md

@@ -260,7 +260,7 @@ $$
 
 #### 构造李雅普诺夫函数
 
-对一维系统 $\dot e=-ce$（$c>0$），自然选取  
+对一维系统 $\dot e=-ce（c>0)$，自然选取  
 $$
 V(e)=e^2
 $$
@@ -269,6 +269,8 @@ $$
 - $V(e)>0$ 当且仅当 $e\neq0$；  
 - 平衡点 $e=0$ 时，$V(0)=0$。
 
+
+
 #### 计算 $V$ 的时间导数
 
 对 $V$ 关于时间求导：  

论文/高飞论文.md

@@ -409,11 +409,117 @@ $$
 
 
 
+# 向量情形（对角 $Q,R$，$F=I,\ H=I$）的区间估计与增益上界
+
+**假设.**  
+$Q=\mathrm{diag}(Q_i),\ R=\mathrm{diag}(R_i)$，且 $F=I,\ H=I$。  
+由于 $F$ 为单位矩阵，预测协方差递推为  
+$$
+P_k^- = P_{k-1} + Q
+$$
+并保持对角结构，因此各维度**相互独立**，可逐维应用标量推导（标量情形就是单个奇异值，完整向量情形就是若干个奇异值并行计算）。
+
+---
+
+## 1. 噪声样本与方差（逐维）
+
+记第 $i$ 维过程噪声与观测噪声的样本为  
+$$
+\{w_{i,\ell}\}_{\ell=1}^{N_{w,i}},\quad \{v_{i,\ell}\}_{\ell=1}^{N_{v,i}}
+$$
+其样本均值与样本方差为  
+$$
+\bar w_i=\frac{1}{N_{w,i}}\sum_{\ell=1}^{N_{w,i}} w_{i,\ell},\quad s_{w,i}^2=\frac{1}{N_{w,i}-1}\sum_{\ell=1}^{N_{w,i}}(w_{i,\ell}-\bar w_i)^2,
+$$
+
+$$
+\bar v_i=\frac{1}{N_{v,i}}\sum_{\ell=1}^{N_{v,i}} v_{i,\ell},\quad s_{v,i}^2=\frac{1}{N_{v,i}-1}\sum_{\ell=1}^{N_{v,i}}(v_{i,\ell}-\bar v_i)^2.
+$$
+
+高斯假设下，真实方差满足  
+$$
+w_{i,\ell}\sim\mathcal N(0,Q_i),\qquad v_{i,\ell}\sim\mathcal N(0,R_i).
+$$
+
+> 若各维度样本数一致，可写作 $N_{w,i}\equiv N_w,\ N_{v,i}\equiv N_v$ 简化记号。
+
+---
+
+## 2. 方差比的 $F$ 分布区间估计（逐维）
+
+对于每个维度 $i$，统计量为  
+$$
+F_i=\frac{(s_{w,i}^2/Q_i)}{(s_{v,i}^2/R_i)} = \frac{s_{w,i}^2}{s_{v,i}^2}\cdot\frac{R_i}{Q_i} \sim F(N_{w,i}-1,\,N_{v,i}-1).
+$$
+给定置信度 $1-\alpha$，定义  
+$$
+F_L=F_{\alpha/2}(N_{w,i}-1,\,N_{v,i}-1),\quad F_U=F_{1-\alpha/2}(N_{w,i}-1,\,N_{v,i}-1),
+$$
+则  
+$$
+P\!\left\{ F_L\le F_i\le F_U \right\}=1-\alpha
+$$
+等价于  
+$$
+P\!\left\{ F_L\,\frac{s_{v,i}^2}{s_{w,i}^2}\le \frac{R_i}{Q_i}\le F_U\,\frac{s_{v,i}^2}{s_{w,i}^2} \right\}=1-\alpha.
+$$
+记  
+$$
+\theta_{i,\min}=\sqrt{F_L\,\frac{s_{v,i}^2}{s_{w,i}^2}},\qquad \theta_{i,\max}=\sqrt{F_U\,\frac{s_{v,i}^2}{s_{w,i}^2}},
+$$
+则  
+$$
+\boxed{\ \frac{R_i}{Q_i}\in\big[\theta_{i,\min}^2,\ \theta_{i,\max}^2\big]\ }.
+$$
+
+---
+
+## 3. 卡尔曼增益与误差上界（逐维）
+
+由 $F=I,\ H=I$，第 $i$ 维的预测协方差为  
+$$
+P_i^- = P_{i,\text{prev}} + Q_i,
+$$
+其中 $P_{i,\text{prev}}$ 是上一步更新后的 $i$ 维协方差。
+
+卡尔曼增益为  
+$$
+K_i=\frac{P_i^-}{P_i^-+R_i} = \frac{1}{1+\rho_i},\quad \rho_i:=\frac{R_i}{P_i^-}.
+$$
+若采用近似（忽略 $P_{i,\text{prev}}$ 的波动），则  
+$$
+\rho_i\in\big[\theta_{i,\min}^2,\ \theta_{i,\max}^2\big],
+$$
+得到**逐维卡尔曼增益上下界**  
+$$
+\boxed{\; K_{i,\max}=\frac{1}{1+\theta_{i,\min}^2},\quad K_{i,\min}=\frac{1}{1+\theta_{i,\max}^2}\; }
+$$
+令 $\mu_{i} := E|\sigma_{i} - \sigma_{i}^{\prime}|$ 为历史数据估计的第 $i$ 维预测误差均值，则绝对误差上界为  
+$$
+\boxed{\; \xi_i=(K_{i,\max}-K_{i,\min})\,\mu_i = \frac{\theta_{i,\max}^2-\theta_{i,\min}^2}{(1+\theta_{i,\min}^2)(1+\theta_{i,\max}^2)}\ \mu_i\; }
+$$
+整体界可取  
+$$
+\|\xi\|_\infty \le \max_i\!\left\{\frac{\theta_{i,\max}^2-\theta_{i,\min}^2}{(1+\theta_{i,\min}^2)(1+\theta_{i,\max}^2)}\right\} \cdot \|\mu\|_\infty,
+$$
+或类似的 $\ell_2$ 范数界。
+
+> **更严谨的变体（可选）**：若显式纳入 $Q_i$ 的不确定性，先用卡方区间给出 $Q_{i,L},Q_{i,U}$，再由  
+
+$$
+> \rho_i=\frac{(R_i/Q_i)\,Q_i}{P_{i,\text{prev}}+Q_i}
+> $$  
+> 的单调性得到  
+> 
+$$
 
 
 
-
-
+> $$
+> \rho_{i,\min}=\frac{\theta_{i,\min}^2 Q_{i,L}}{P_{i,\text{prev}}+Q_{i,L}},\quad \rho_{i,\max}=\frac{\theta_{i,\max}^2 Q_{i,U}}{P_{i,\text{prev}}+Q_{i,U}},
+> $$
+>
+> 
 
 ## 基于时空特征的节点位置预测