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@ -46,6 +46,10 @@ $$



+这里是真实状态、真实测量、过程噪声、测量噪声。在卡尔曼滤波的预测和更新阶段中，**只需在每个时刻把新测得的 $z_k$ （再加上可用的控制输入 $u_{k-1}$）喂进去，滤波器就会自动递推状态估计**。
+
+
+
 ## 递归过程

 卡尔曼滤波的递归过程主要分为两大步：**预测（Prediction）** 和 **更新（Update）**。
@ -67,7 +71,7 @@ $$
   $$
   \mathbf{P}_k^- = \mathbf{A} \mathbf{P}_{k-1} \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{Q}
   $$
-   这个预测协方差反映了预测状态的置信程度，不确定性通常会因过程噪声的加入而增大。
+   这个预测协方差反映了预测状态的**置信程度**，不确定性通常会因过程噪声的加入而**增大**。

 ### 更新步骤

@ -92,12 +96,36 @@ $$
   $$
   \mathbf{P}_k = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}) \mathbf{P}_k^-
   $$
-   一般来说，经过更新后，状态的不确定性会降低（即协方差矩阵的数值减小）。
+   一般来说，经过更新后，状态的不确定性会降低（即协方差矩阵的数值**减小**）。





+
+
+## 疑问：
+
+状态转移模型：为什么包含噪声？
+
+状态转移模型描述的是系统状态的真实动态行为，它是一个**理论模型**，表示状态如何从 $\mathbf{x}_{k-1}$ 演化到 $\mathbf{x}_k$。由于现实系统存在不确定性（如建模误差、外部扰动等），这些无法精确建模的部分被抽象为**过程噪声 $\mathbf{w}_{k-1}$**。因此，模型写作：
+$$
+\mathbf{x}_k = \mathbf{A} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1}
+$$
+状态预测：为什么不带噪声？
+
+在卡尔曼滤波的**预测步骤**中，我们计算的是状态的**期望值（即最优估计）**，而非真实状态本身。由于噪声 $\mathbf{w}_{k-1}$ 的均值为零，它在预测时的期望贡献为零：
+$$
+\mathbb{E}[\mathbf{x}_k] = \mathbf{A} \mathbb{E}[\mathbf{x}_{k-1}] + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbb{E}[\mathbf{w}_{k-1}] = \mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1}
+$$
+协方差预测：噪声的体现
+
+虽然噪声的均值在状态预测中被忽略，但其随机性会导致**不确定性累积**。因此，协方差预测公式中显式加入了 $\mathbf{Q}$：
+$$
+\mathbf{P}_k^- = \mathbf{A} \mathbf{P}_{k-1} \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{Q}
+$$
+
+
 # 扩展卡尔曼滤波

 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，简称 EKF）是一种针对非线性系统状态估计问题的滤波方法。传统的卡尔曼滤波要求系统的状态转移和观测模型都是线性的，而在实际问题中，很多系统往往存在非线性特性。
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@ -1134,7 +1134,7 @@ $$

 ## **谱分解**与网络重构

-一个对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $n \times n$ 的对称矩阵 $A$，其谱分解可以表示为：
+一个对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $n \times n$ 的**对称矩阵** $A$，其谱分解可以表示为：

 $$
 A = Q \Lambda Q^T \\
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@ -1,47 +1,108 @@
-分布式计算和集中式计算是完全等价的。将分布式算法中的本地观测  
-$$
-b_i(k) = \sum_j a_{ij} x_j(k)
-$$
-代入瑞利商公式  
-$$
-y(k) = \frac{\sum_i x_i(k) b_i(k)}{\sum_i x_i(k)^2}
-$$
-即可得到集中式计算的Rayleigh商形式  
-$$
-\frac{x(k)^T (A x(k))}{x(k)^T x(k)},
-$$
-这与特征值估计的幂迭代公式  
-$$
-\lambda_{\max} \approx \frac{x^T A x}{x^T x}
-$$
-完全一致。
+### 严格推导过程（修正用户对白噪声的理解）
+
+您提出的疑问非常关键。让我们重新梳理这个推导过程，特别注意白噪声项的处理。

 ---

-### 代数示例
-
-考虑一个简单的2×2矩阵  
+#### **1. 模型设定**
+AR(1)模型定义为：
 $$
-A = \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.
+z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t
+$$
+其中：
+- $\varepsilon_t \sim \text{WN}(0, \sigma_\varepsilon^2)$ 是白噪声（独立同分布）
+- $|\rho| < 1$ 保证平稳性
+
+---
+
+#### **2. 递推展开（关键步骤）**
+通过无限递推将 $z_t$ 表示为历史噪声的线性组合：
+$$
+\begin{aligned}
+z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\
+&= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\
+&= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\
+&= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j}
+\end{aligned}
 $$

-1. **集中式计算**  
+**为什么需要 $\varepsilon_{t-j}$？**  
+虽然所有 $\varepsilon_{t-j}$ 的方差都是 $\sigma_\varepsilon^2$，但它们是**不同时刻**的独立随机变量。不能合并为一个 $\varepsilon$，因为：
+- 每个时间点 $t-j$ 的噪声 $\varepsilon_{t-j}$ 是独立的新信息
+- 合并会丢失时间维度信息，破坏模型结构
+
+---
+
+#### **3. 方差计算（严格推导）**
+利用方差的性质（独立变量线性组合的方差）：
 $$
-\lambda \approx \frac{x^T A x}{x^T x} 
-= \frac{\begin{pmatrix}2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}{2^2 + 1^2} 
-= \frac{10 + 4}{5} 
-= \frac{14}{5} = 2.8.
+\text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)
 $$

-2. **分布式计算**  
-各节点分别计算本地观测值  
+**步骤分解：**
+1. **独立性**：$\varepsilon_{t-j}$ 相互独立 ⇒ 方差可加
   $$
-b_1 = (2 \cdot 2 + 1 \cdot 1) = 5, \quad b_2 = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) = 4,
+   = \sum_{j=0}^\infty \text{Var}(\rho^j \varepsilon_{t-j})
   $$
-然后通过全网共识计算  
+2. **常数提取**：$\rho^j$ 是非随机系数
   $$
-y = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 4}{2^2 + 1^2} 
-= \frac{14}{5} = 2.8.
+   = \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j})
+   $$
+3. **同方差性**：$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立
+   $$
+   = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}
+   $$
+4. **级数求和**：$|\rho|<1$ 时几何级数收敛
+   $$
+   = \sigma_\varepsilon^2 \cdot \frac{1}{1-\rho^2} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}
   $$

-两种方法得到的结果完全相同。
+---
+
+#### **4. 为什么不能简化为单一 $\varepsilon$？**
+若错误地尝试合并：
+$$
+\text{错误写法：} \quad z_t \overset{?}{=} \varepsilon_t (1 + \rho + \rho^2 + \cdots) = \frac{\varepsilon_t}{1-\rho}
+$$
+会导致：
+1. **方差计算错误**：
+   $$
+   \text{Var}(z_t) \overset{?}{=} \frac{\text{Var}(\varepsilon_t)}{(1-\rho)^2} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{(1-\rho)^2}
+   $$
+   （与正确结果 $\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}$ 不符）
+   
+2. **物理意义错误**：
+   - 忽略了不同时刻噪声的独立性
+   - 错误地假设所有历史噪声完全相关
+
+---
+
+#### **5. 结论**
+- **正确结果**：
+  $$
+  \text{Var}(z_t) = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2} \quad \text{（与时间 $t$ 无关）}
+  $$
+- **核心要点**：
+  1. 必须保留 $\varepsilon_{t-j}$ 的下标，表示不同时刻的独立噪声
+  2. 几何级数求和时，系数是 $\rho^{2j}$（不是 $\rho^j$），因为方差运算涉及平方
+
+---
+
+### 补充说明
+此推导方法是时间序列分析的标准技术（参考Box & Jenkins《Time Series Analysis》）。白噪声的独立性是保证方差可加性的关键，任何简化合并 $\varepsilon_{t-j}$ 的操作都会破坏模型的时间依赖性结构。
+
+
+
+
+
+根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：
+
+$$
+\sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2
+$$
+
+此时：
+
+$$
+\text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2
+$$
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@ -4,25 +4,115 @@

 ### 基于扰动理论的特征向量估算方法

-**计算特征值扰动**
+设原矩阵为 $A$，扰动后矩阵为 $A+\zeta C$（扰动矩阵 $\zeta C$，$\zeta$是小参数），令其第 $i$ 个特征值、特征向量分别为 $\lambda_i,x_i$ 和 $\tilde\lambda_i,\tilde x_i$。

-$$\Delta \lambda_{A_i} = \lambda_{A2} - \lambda_{A1}$$
-
-**特征向量修正项**
+**特征向量的一阶扰动公式：**
 $$
-U_B = \sum_{k=1}^{n} \frac{\Delta \lambda_{A_i} U_k}{(\lambda_{A_i} - \lambda_{A_k})}
+\Delta x_i
+=\tilde x_i - x_i
+\;\approx\;
+\zeta \sum_{k\neq i}
+\frac{x_k^T\,C\,x_i}{\lambda_i - \lambda_k}\;x_k,
 $$

- **解释**：
-  - $U_k$ 是 $A_{t1}$ 的第 $k$ 个特征向量
-  - 分母 $(\lambda_{A_i} - \lambda_{A_k})$ 表示特征值差异，避免奇异（需假设 $\lambda_{A_i} \neq \lambda_{A_k}$）
-  - 分子 $\Delta \lambda_{A_i}$ 反映特征值变化对特征向量的影响
+- **输出**：对应第 $i$ 个特征向量修正量 $\Delta x_i$。

-**更新特征向量**
+
+
+**特征值的一阶扰动公式：**
 $$
-U_{A2} = U_{A1} + U_B
+\Delta\lambda_i = \tilde\lambda_i - \lambda_i \;\approx\;\zeta\,x_i^T\,C\,x_i
 $$
-**意义**：通过一阶扰动修正当前特征向量，得到未来时刻的 $U_{A2}$
+**关键假设：**当扰动较小（ $\zeta\ll1$） 且各模态近似正交均匀时，常作进一步近似  
+$$
+x_k^T\,C\,x_i \;\approx\; x_i^T\,C\,x_i \;
+$$
+正交： $\{x_k\}$ 本身是正交基，这是任何对称矩阵特征向量天然具有的属性。
+
+均匀：我们把 $C$ 看作“**不偏向任何特定模态**”的随机小扰动——换句话说，投影到任何两个方向 $(x_i,x_k)$ 上的耦合强度 $x_k^T\,C\,x_i\quad\text{和}\quad x_i^T\,C\,x_i$   在数值量级上应当差不多，因此可以互相近似。
+
+
+
+因此，将所有的 $x_k^T C x_i$ 替换为 $x_i^T C x_i$：
+$$
+\Delta x_i \approx \zeta \sum_{k\neq i} \frac{x_i^T C x_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \zeta (x_i^T C x_i) \sum_{k\neq i} \frac{1}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
+$$
+
+$$
+\Delta x_i \approx\sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
+$$
+
+问题：
+
+1. **当前时刻的邻接矩阵**  
+   $$
+   A^{(1)}\in\mathbb R^{n\times n},\qquad
+     A^{(1)}\,x_i^{(1)}=\lambda_i^{(1)}\,x_i^{(1)},\quad \|x_i^{(1)}\|=1.
+   $$
+
+2. **下一时刻的邻接矩阵**  
+   $$
+   A^{(2)}\in\mathbb R^{n\times n},
+   $$
+   **已知**它的第 $i$ 个特征值  $\lambda_i^{(2)}$（卡尔曼滤波得来）.  **求**当前时刻的特征向量  $x_i^{(2)}$。  
+
+
+
+**下一时刻**第 $i$ 个特征向量的预测为
+$$
+\boxed{
+x_i^{(2)}
+\;=\;
+x_i^{(1)}+\Delta x_i
+\;\approx\;
+x_i^{(1)}
+\sum_{k\neq i}
+\frac{\lambda_i^{(2)}-\lambda_i^{(1)}}
+     {\lambda_i^{(1)}-\lambda_k^{(1)}}\;
+x_k^{(1)}.
+}
+$$
+通过该估算方法可以依次求出下一时刻的所有特征向量。
+
+
+
+### 多智能体随机网络特征值滤波建模
+
+#### **1. 状态转移模型**
+
+系统的特征值向量 $\lambda_k$（状态向量）随时间演化的动态方程为：
+$$
+\lambda_k = \lambda_{k-1} + w_{k-1}
+$$
+
+- **参数说明**：
+  - $\lambda_k \in \mathbb{R}^{r \times 1}$：$k$ 时刻的特征值向量，$r$ 为特征值个数。
+  - $w_{k-1} \sim \mathcal{N}(0, {Q})$：过程噪声，均值为零，协方差矩阵为对角阵 $\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{r \times r}$（因特征值独立）。
+- **简化假设**：
+  - 状态转移矩阵 $\mathbf{A}$ 和控制输入矩阵 $\mathbf{B}$ 为单位阵或零（无外部控制输入），故模型简化为随机游走形式。
+
+#### **2. 测量模型**
+
+观测到的特征值向量 $z_k$ 为：
+$$
+z_k = \lambda_k + v_k
+$$
+
+- **参数说明**：
+  - $z_k \in \mathbb{R}^{r \times 1}$：观测向量，维度与状态向量相同。
+  - $v_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R})$：测量噪声，协方差 $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{r \times r}$ 为对角阵（噪声独立）。
+- **简化假设**：
+  - 测量矩阵 $\mathbf{H}$ 为单位阵，即观测直接反映状态。
+
+#### **3. 噪声协方差矩阵的设定**
+
+- $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$ 为对角矩阵，对角元素由特征值方差确定：
+  $$
+  \mathbf{Q} = \text{diag}(2\sigma_1^2, 2\sigma_2^2, \dots, 2\sigma_r^2), \quad \mathbf{R} = \text{diag}(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \dots, \sigma_r^2)
+  $$
+  其中 $\sigma_i^2$ 为第 $i$ 个特征值的初始方差（由引理3-1推导）。
+
+



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@ -1,5 +1,237 @@
 # 高飞论文

+## 证明特征值序列为平稳的时间序列
+
+### 问题设定
+
+- **研究对象**  
+  设 $\{\lambda_1(A)_t\}_{t\in\mathbb Z}$ 是随时间变化的随机对称矩阵 $A_t$ 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。
+- **目标**  
+  证明 $\{\lambda_1(A)_t\}$ 是 **二阶（弱）平稳**的时间序列，即  
+  1. $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 $t$ 无关）；  
+  2. $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 $t$ 无关）；  
+  3. $\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k)$ 只依赖滞后 $k$。
+
+
+
+### 关键假设
+
+- **矩阵统计特性（引理 1）**  
+
+  - $A_t$ 为 $N\times N$ 实对称随机矩阵；元素 $\{a_{ij}\}_{i\le j}$ 相互独立且有界：$|a_{ij}|\le K$。  
+
+  - 非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。  
+
+  - $N$ 足够大时  
+    $$
+    E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad
+    \operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 .
+    $$
+
+说明：
+
+- **$\sigma^2$**  
+  这是随机矩阵 $A_t$ 的非对角线元素 $a_{ij}$ ($i \neq j$) 的方差，即  
+  $$
+  \text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2.
+  $$
+  根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。
+
+- **$\sigma_1^2$**  
+  这是最大特征值 $\lambda_1(A_t)$ 的方差，即  
+  $$
+  \text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2.
+  $$
+  当 $N$ 足够大时，$\sigma_1^2$ 近似为 $2\sigma^2$。
+
+- **时间序列模型**  
+  对**去中心化序列**  
+  $$
+    \tilde z_t:=\lambda_1(A)_t-\mu_1
+  $$
+  假设其服从 AR(1)  
+  $$
+    \tilde z_t=\rho\,\tilde z_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad
+    \varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1,
+  $$
+  且 $\varepsilon_t$ 与历史 $\{\tilde z_{s}\}_{s<t}$ 独立。
+
+
+
+### 证明主特征值序列平稳
+
+#### **(1) 均值恒定性的推导**
+
+- 去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此
+  $$
+    E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1,
+  $$
+  与 $t$ 无关，满足第一条。
+
+#### (2) 方差恒定
+
+AR(1)模型定义为：
+$$
+z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t
+$$
+
+$$
+\begin{aligned}
+z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\
+&= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\
+&= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\
+&= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j}
+\end{aligned}
+$$
+
+$$
+\text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j})
+$$
+
+由于$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立，
+$$
+= \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}
+$$
+
+- **$|\rho| < 1$** 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。
+
+
+
+根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：
+$$
+\sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2
+$$
+
+此时：
+
+$$
+\text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2
+$$
+
+
+
+
+#### **(3) 协方差仅依赖滞后 $k$**
+
+对 $k\ge0$，
+$$
+  \gamma(k):=\operatorname{Cov}(\tilde z_t,\tilde z_{t-k})
+            =\rho^{k}\sigma_{\tilde z}^{2},
+$$
+仅含 $k$ 而与 $t$ 无关；于是
+$$
+  \operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k),
+$$
+满足第三条。
+
+
+
+#### (4) 平稳性的核心条件
+
+1. **|ρ| < 1 是关键条件**  
+   - 直观上：$\rho$ 越小，当前特征值对过去的依赖越弱；  
+   - $\rho=\pm1$ 会让方差发散，不可能稳态。  
+2. **噪声独立性**：$\varepsilon_t$ 为白噪声，确保新信息与历史无关。
+
+
+
+### 证明剩余特征值平稳：
+
+#### 1. 收缩操作（Deflation）的严格定义
+
+设 $A_t$ 的谱分解为：
+$$
+A_t = \sum_{i=1}^N \lambda_i u_i u_i^\top,
+$$
+其中 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_N$，且 $\{u_i\}$ 是标准正交基。
+
+- **第一次收缩**：  
+  定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为：
+
+  - 特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 $\lambda_1$ 后剩余特征值不变）。
+  - 特征向量：$u_2, \dots, u_N$ 保持不变（因 $u_1$ 与其他特征向量正交）。
+
+- **第 $k$ 次收缩**：  
+  递归定义：
+  $$
+  A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top,
+  $$
+  剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。
+
+每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。
+
+---
+
+#### 2. 剩余特征值的统计特性
+
+**目标**：证明 $\{\lambda_k(A_t)\}_{t \in \mathbb{Z}}$ 对 $k \geq 2$ 也是弱平稳的。
+
+##### **(1) 均值恒定性**
+
+- **剩余矩阵的期望**：  
+  由线性性：
+  $$
+  E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top].
+  $$
+  若 $A_t$ 的元素分布时不变，且 $\lambda_i$ 和 $u_i$ 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 $E[A_{t,k+1}]$ 与 $t$ 无关。
+
+- **特征值期望**：  
+  对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的期望近似为：
+  $$
+  E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1},
+  $$
+  其中 $(N-k-1)\mu$ 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。
+
+##### **(2) 方差恒定性**
+
+- **剩余矩阵的方差**：  
+  收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。  
+  由引理1的推广：
+  $$
+  \text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2.
+  $$
+
+- **动态模型**：  
+  假设去中心化序列 $\tilde{z}_{k+1,t} = \lambda_{k+1}(A_t) - \mu_{k+1}$ 服从AR(1)：
+  $$
+  \tilde{z}_{k+1,t} = \rho_{k+1} \tilde{z}_{k+1,t-1} + \varepsilon_{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1,
+  $$
+  稳态方差为：
+  $$
+  \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2 = \frac{\sigma_{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2.
+  $$
+
+##### **(3) 协方差仅依赖滞后 $m$**
+
+- 协方差函数：
+  $$
+  \gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}_{k+1,t}, \tilde{z}_{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2.
+  $$
+  仅依赖 $m$，与 $t$ 无关。
+
+---
+
+#### **3. 递推证明的完整性**
+
+1. **归纳基础**：  
+   $k=1$ 时（主特征值），平稳性已证。
+
+2. **归纳假设**：  
+   假设 $\lambda_k(A_t)$ 的平稳性成立，即：
+   - $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数），
+   - $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限），
+   - $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。
+
+3. **归纳步骤**：  
+   - 通过收缩操作，$\lambda_{k+1}(A_t)$ 成为 $A_{t,k+1}$ 的主特征值。  
+   - 若 $A_{t,k+1}$ 满足与 $A_t$ 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的平稳性可类比主特征值的证明。
+
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+
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 ## 网络重构分析

 假设网络中有 $n$ 个节点，则矩阵 $A(G)$ 的维度为 $n \times n$，预测得到特征值和特征向量后，可以根据矩阵谱分解理论进行逆向重构网络邻接矩阵，表示如下：