Commit on 2025/05/14 周三 13:59:24.57

科研/ZY网络重构分析.md

@@ -97,6 +97,18 @@ $$
 
 
 
+| **性质**     | **特征分解/谱分解**              | **奇异值分解（SVD）**                      |
+| ------------ | -------------------------------- | ------------------------------------------ |
+| **适用矩阵** | 仅限**方阵**（$n \times n$）     | **任意矩阵**（$m \times n$，包括矩形矩阵） |
+| **分解形式** | $A = P \Lambda P^{-1}$           | $A = U \Sigma V^*$                         |
+| **矩阵类型** | 可对角化矩阵（如对称、正规矩阵） | 所有矩阵（包括不可对角化的方阵和非方阵）   |
+| **输出性质** | 特征值（$\lambda_i$）可能是复数  | 奇异值（$\sigma_i$）始终为非负实数         |
+| **正交性**   | 仅当 $A$ 正规时 $P$ 是酉矩阵     | $U$ 和 $V$ 始终是酉矩阵（正交）            |
+
+谱分解的对象为实对称矩阵，
+
+
+
 
 
 ## 网络重构分析

科研/动态图神经网络.md

@@ -334,77 +334,83 @@ $$
 
 由于直接计算期望复杂，TGAT 用蒙特卡洛采样近似：  
 
-1. 从分布 $\mu$ 中采样 $k$ 个频率 $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_k$。  
+1. 从分布 $\mu$ 中采样 $d$ 个频率 $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_k$。  
 
 2. 用这些频率构造实值编码（取复指数的实部和虚部，即 $\cos$ 和 $\sin$）：  
    $$
-   \phi(\Delta t) = \sqrt{\frac{1}{k}} \left[ \cos(\omega_1 \Delta t), \sin(\omega_1 \Delta t), \ldots, \cos(\omega_k \Delta t), \sin(\omega_k \Delta t) \right].
+   \Phi_d(\Delta t) = \frac{1}{\sqrt d}\bigl[\cos(\omega_1 \Delta t),\sin(\omega_1 \Delta t),\dots,\cos(\omega_d \Delta t),\sin(\omega_d \Delta t)\bigr]
    $$
-   这里 $k$ 是采样频率的数量，决定了编码的维度 $d=2k$（每组 $\cos + \sin$ 占 2 维）。  
+   这样就把时间差转成了一个长度为 $2d$ 的实值向量。 
 
 
 
 #### 例子
 
-假设将时间$t$编码为一个2维向量（实际论文中维度更高，比如100维）。  
+取 $d=1$（此时时间编码向量就是二维的），有  
-
-时间编码函数为：
 $$
-\Phi_d(t) = \sqrt{\frac{1}{d}} \left[ \cos(\omega_1 t), \sin(\omega_1 t), \cos(\omega_2 t), \sin(\omega_2 t), \ldots \right]
+\Phi_1(\Delta t)\;=\;\frac{1}{\sqrt1}\bigl[\cos(\omega_1\Delta t),\;\sin(\omega_1\Delta t)\bigr]
+=\bigl[\cos(\omega_1\Delta t),\;\sin(\omega_1\Delta t)\bigr].
 $$
-其中：
 
-- $d$是维度（这里$d=2$，即2维向量）。
+例如，若我们令 $\omega_1=1$ 且 $\Delta t = \pi/3$，那么  
-- $\omega_1, \omega_2, \ldots$ 是从某个分布$p(\omega)$中随机采样的频率参数（可以理解为“时间刻度”）。
+$$
+\Phi_1\bigl(\pi/3\bigr)
+=\bigl[\cos(\pi/3),\;\sin(\pi/3)\bigr]
+=\bigl[0.5,\;0.866\!\dots\bigr].
+$$
 
-1. **随机初始化频率**：  
+所以在这个例子里，二维时间编码就是 $\bigl[0.5,\;0.866]$。
-   假设我们随机设定两个频率：  
 
-   - $\omega_1 = 0.5$  
-   - $\omega_2 = 1.0$  
 
-2. **编码时间点**：  
-
-   - 对时间$t=2$，计算：  
-     $$
-     \Phi_2(2) = \sqrt{\frac{1}{2}} \left[ \cos(0.5 \cdot 2), \sin(0.5 \cdot 2) \right] = \sqrt{0.5} \left[ \cos(1.0), \sin(1.0) \right] \approx [0.54, 0.84]
-     $$
-
-   - 对时间$t=5$，计算：  
-     $$
-     \Phi_2(5) = \sqrt{0.5} \left[ \cos(2.5), \sin(2.5) \right] \approx [-0.35, 0.94]
-     $$
-
-3. **时间差异的体现**：  
-
-   - 两个时间点$t=2$和$t=5$的编码向量不同，且它们的点积（相似度）会反映时间跨度$|5-2|=3$：  
-     $$
-     \Phi_2(2) \cdot \Phi_2(5) \approx 0.54 \cdot (-0.35) + 0.84 \cdot 0.94 \approx 0.59
-     $$
-
-   - 如果$t=2$和$t=4$的编码点积更大，说明$\Delta t=2$比$\Delta t=3$的交互更相关。
-
-   
 
 #### **为什么这样设计？**
 
-- **谐波基函数**：`cos(ωt)`和`sin(ωt)`是周期性函数，能捕捉时间的周期性模式（比如白天/夜晚的周期性行为，但不会强制引入周期性）。  
+- 普通的图神经网络即使有时间戳，也只能把它当作一个离散特征，很难推广到模型没见过的时刻。TGAT通过把相对时间差 $\Delta t$ 映射成一组连续、周期性的函数值 $(\cos(\omega_1 \Delta t),\sin(\omega_1 \Delta t))$,让模型天然具备处理任意实数时间差的能力。
-- **内积反映时间差**：通过Bochner定理，两个时间编码的内积`Φ(t₁)·Φ(t₂)`近似于一个时间核函数`𝒦(t₁-t₂)`，时间差越小，内积越大（相似性越高）。
+- 用一堆正余弦函数来编码时间，使得时间特征是平滑连续的
+- 节点对邻居信息的关注度不仅由节点特征决定，也由时间编码决定。模型可以自动学出“距离现在越近的交互越重要”“一周前的活动强度要比一个月前的活动强度高”之类的规律。
 - **可学习性**：频率参数`{ωᵢ}`可以通过训练优化（例如让模型自动学习“短期交互”和“长期交互”的不同时间尺度）。
 
 
 
+### 需要维护的数据：
+
+1. **全量事件日志（事件流）**  
+   整个动态图被表示成一条“事件流”──每一条事件是一个三元组  
+   $$
+   (u, v, t)
+   $$
+   表示节点 $u$ 和节点 $v$ 在时刻 $t$ 上发生了一次交互。训练／推断时，TGAT 会遍历这条有时间戳的边列表，按时间顺序对每个目标节点做消息聚合。
+
+2. **每个节点的历史邻居列表**  
+   为了快速地找到“截止当前时刻 $t$，某节点 $v$ 最近接触过哪些节点”，TGAT 通常会为每个节点维护一个按时间排序的邻居列表：  
+   $$
+     \mathit{Nbrs}(v) \;=\; [(u_1,t_1),\,(u_2,t_2),\,\dots]
+   $$
+   其中每个 $(u_i, t_i)$ 表示节点 $u_i$ 在时间 $t_i$ 与 $v$ 交互过。这样，给定当前时间 $t$，就可以高效地检索出所有满足 $t_i < t$ 的历史交互。
+
+3. **每层的节点隐藏状态**  
+   TGAT 是一个多层（multi-layer）注意力网络，在第 $l$ 层它会产生每个节点在各个时间点的隐藏表示  
+   $$
+     \tilde h_v^{(l)}(t)\,.
+   $$
+   为了在更高层次继续聚合，这些中间表示需要被缓存下来，至少要保存上一次（前一层）计算出的向量，才能和后续的时间编码一起拼接、送入下一层注意力。
+
+4. **时间编码的频率参数**  
+   TGAT 中的 $\{\omega_k\}_{k=1}^d$（映射 $\Delta t\mapsto [\cos(\omega_k\Delta t),\sin(\omega_k\Delta t)]$ 用的频率向量）是模型的可学习参数，也需要存储。
+
+
+
 ### 工作原理
 
-#### 1.时间约束的邻居集合
+#### 1.检索时间邻居
 
-**时间约束**：对于目标节点 $v_0$ 在时间 $t$，其邻居 $\mathcal{N}(v_0; t)$ 仅包含与 $v_0$ **在时间 $t$ 之前发生过交互的节点**（即 $t_i < t$）。
+从事件流中取出所有在 $t$ 之前与 $v_0$ 有过交互的节点集合以及交互的时间 $t_i$。
 $$
 \mathcal{N}(v_0; t) = \{ v_i \mid \exists (v_0, v_i, t_i) \in \mathcal{E}, t_i < t \}
 $$
 实际实现中，TGAT通过以下两种策略避免邻居集合无限膨胀：
 
-（1）**固定时间窗口（Sliding Time Window）**
+（1）**时间窗口截断**
 
 - 仅保留目标时间 $t$ 的最近 $\Delta T$ 时间内的交互节点（例如过去7天的邻居）。
 
@@ -416,50 +422,91 @@ $$
 （2）**邻居采样（Neighborhood Sampling）**
 
 - 即使在一个时间窗口内，如果邻居数量过多（例如社交网络中的活跃用户），TGAT会随机采样固定数量的邻居（如最多20个）。
-- 随机采样可行是因为**时间编码**和**注意力权重**会自动学习为近期交互分配更高权重。
 
-#### 2.时间编码的邻居特征矩阵
+
+
+#### 2.准备输入特征＋时间编码
+
+在 TGAT 模型中，每一层都需要计算隐藏表示：
+
+在第 $l$ 层里，既要计算目标节点 $v_0$ 在当前时刻 $t$ 的隐藏表示 $\tilde{h}_0^{(l-1)}(t)$，也要计算它的每个邻居 $v_i$ 在各自交互时刻 $t_i$ 的隐藏表示 $\tilde{h}_i^{(l-1)}(t_i)$。
+
+- 若 $l=1$，则将原始静态特征 $x_i$ 作为第 0 层隐藏表示 $\tilde h_i^{(0)}(t_i)$；  
+- 若 $l>1$，则使用第 $(l-1)$ 层计算出的隐藏表示 $\tilde h_i^{(l-1)}(t_i)$。  
+  对每个邻居 $v_i$ 计算相对时间差 $\Delta t_i = t - t_i$，再通过  
 
 $$
-Z(t) = \left[ \tilde{h}_0^{(l-1)}(t) \| \Phi_{d_T}(0), \tilde{h}_1^{(l-1)}(t_1) \| \Phi_{d_T}(t-t_1), \ldots \right]^\top
+  \Phi_d(\Delta t_i) = \tfrac1{\sqrt d}\bigl[\cos(\omega_1\Delta t_i),\sin(\omega_1\Delta t_i),\dots\bigr]
 $$
 
-**输入**：
+得到长度为 $2d$ 的时间编码向量。对目标节点自身，使用 $\Delta t=0$ 的时间编码。
 
-- 目标节点 $v_0$ 在时间 $t$ 的上一层特征：$\tilde{h}_0^{(l-1)}(t)$。
-- 邻居节点 $v_i$ 在历史时间 $t_i$ 的特征：$\tilde{h}_1^{(l-1)}(t_1), \tilde{h}_2^{(l-1)}(t_2), \ldots$。
-- 时间编码函数 $\Phi_{d_T}$：将时间差 $t-t_i$ 映射为向量
 
-#### 3.注意力权重计算
 
-通过Query-Key-Value机制计算邻居权重：
+#### 3.拼接构建"实体—时间"矩阵
-$$
-\alpha_i = \text{softmax} \left( \frac{(q(t)^\top K_i(t))}{\sqrt{d_h}} \right), \quad q(t) = [Z(t)]_0 W_Q, \quad K_i(t) = [Z(t)]_i W_K
-$$
-
-- $q(t)$：目标节点的Query。
-- $K_i(t)$：邻居节点的Key。
-- **动态性**：权重 $\alpha_i$ 依赖当前时间 $t$ 和邻居交互时间 $t_i$。
-
-#### 4.多头注意力聚合
 
 $$
-h(t) = \text{Attn}(q(t), K(t), V(t)) = \sum_{i=1}^N \alpha_i V_i(t), \quad V_i(t) = [Z(t)]_i W_V
+Z(t) =
+  \begin{bmatrix}
+    \tilde h_0^{(l-1)}(t)\,\|\,\Phi_d(0)\\
+    \tilde h_1^{(l-1)}(t_1)\,\|\,\Phi_d(\Delta t_1)\\
+    \;\;\vdots\\
+    \tilde h_N^{(l-1)}(t_N)\,\|\,\Phi_d(\Delta t_N)
+  \end{bmatrix}
 $$
 
-$V_i(t)$：邻居节点的Value，含时间编码的特征。
+其中 $\Delta t_i=t-t_i$ ，这里 $v_0$ 一共有 $N$ 个节点。可能存在同一时间有多个交互的节点。
 
-#### 5.节点嵌入更新
+
+
+#### 4. 线性映射到 Query/Key/Value
+
+分别用三组可学习的线性变换把 $Z(t)$ 投影出  
+$$
+  Q = Z(t)W^Q,\quad
+  K = Z(t)W^K,\quad
+  V = Z(t)W^V
+$$
+其中 $Q$ 取第一行（目标节点），$K,V$ 取其余行。
+
+
+
+#### 5.计算注意力权重
+
+对每个邻居 $i$ 计算  
+$$
+  \alpha_i \;=\;\frac{\exp\bigl(Q^\top K_i\bigr)}{\sum_j\exp\bigl(Q^\top K_j\bigr)}\,,
+$$
+这样就能在同一时刻、同一节点间对「谁更重要」自动打分。
+
+
+
+#### 6.加权求和生成聚合向量
 
 $$
-\tilde{h}_0^{(l)}(t) = \text{FFN}(h(t) \| x_0)
+h^{(l)}(t)\;=\;\sum_{i\in N(v_0;t)}\alpha_i\,V_i\quad\in\mathbb{R}^{d_h}.
 $$
 
-- $h(t)$：聚合后的邻居表示。
-- $x_0$：目标节点的原始特征。
-- **FFN**（Feed-Forward Network）：进一步融合时空信息。
 
-**动态推理**：对任意新时间 $t$，只需输入当前邻接关系和节点特征，通过前向传播计算嵌入。
+
+#### 7.与目标节点静态特征融合并通过 FFN
+
+把聚合向量 $h^{(l)}(t)$ 和目标节点的原始特征 $x_0$ 拼接，送入两层前馈网络：  
+$$
+\tilde h_0^{(l)}(t)
+  = \mathrm{FFN}\bigl(h^{(l)}(t)\,\|\,x_0\bigr)
+  = \mathrm{ReLU}\Bigl(\bigl[h^{(l)}(t)\parallel x_0\bigr] W_0^{(l)} + b_0^{(l)}\Bigr) W_1^{(l)} + b_1^{(l)}
+$$
+这样就得到了第 $l$ 层节点 $v_0$ 在时刻 $t$ 的最终输出表示。
+
+FFN 并不是只在最后一层使用，而是在**每一层**注意力聚合后都要执行，以产生该层的节点时刻表示。
+
+
+
+#### 8.**多头与多层堆叠**  
+
+- 如果使用多头注意力，则在步骤 4–6 中并行做 $k$ 组不同投影，得出 $\{h^{(l,i)}(t)\}_{i=1}^k$，再将它们拼接后送入 FFN；  
+- 堆叠 $L$ 层上述流程，就能把多跳（$L$ 跳）邻居信息聚合进来。
 
 
 
@@ -469,14 +516,6 @@ $$
 
 
 
-每个节点运行的模型一样的。实时性。
-
-节点是否需要交互（是否需要全局信息）  // 
-
-  不知道全局信息(只知道邻居) 训练出来的模型是否一样？（能否协同。）
-
-
-
 #### **举例**
 
 假设目标节点 $v_0$ 在时间 $t=10$ 需要聚合历史邻居，其中：
@@ -582,7 +621,7 @@ $$
 
 
 
-**4.聚合邻居信息**
+**4.加权求和生成聚合向量**
 $$
 h(10) = \sum_{i=1}^3 \alpha_i V_i = 0.024 \cdot \begin{bmatrix}3.52 \\ 3.92 \\ 4.32\end{bmatrix} + 1.6 \times 10^{-5} \cdot \begin{bmatrix}2.12 \\ 2.42 \\ 2.72\end{bmatrix} + 0.976 \cdot \begin{bmatrix}4.48 \\ 4.88 \\ 5.28\end{bmatrix}\approx [4.48, 4.88, 5.28]
 $$
@@ -603,13 +642,40 @@ $$
 
 ### 需提前训练的参数
 
-| **参数名称**         | **符号**                     | **维度**                 | **作用**                                               | **来源模块**                  |
+| 参数名称         | 符号                          | 维度                    | 来源层        | 作用                                                      |
-| -------------------- | ---------------------------- | ------------------------ | ------------------------------------------------------ | ----------------------------- |
+| ---------------- | ----------------------------- | ----------------------- | ------------- | --------------------------------------------------------- |
-| **时间编码频率参数** | $\omega_1, \ldots, \omega_d$ | $d \times 1$             | 控制时间编码的基频率，用于生成 $\Phi_{d_T}(t)$。       | 功能性时间编码（Bochner定理） |
+| 时间编码频率参数 | $\omega_1,\dots,\omega_{d_T}$ | $d_T\times1$            | 全模型        | 控制功能性时间编码基频率，用于生成 $\Phi_{d_T}(\Delta t)$ |
-| **Query投影矩阵**    | $W_Q$                        | $(d + d_T) \times d_h$   | 将目标节点特征和时间编码映射为Query向量。              | 自注意力机制                  |
+| Query 投影矩阵   | $W_Q^{(l)}$                   | $(d_h + d_T)\times d_h$ | 第 $l$ 层     | 将拼接后的"隐藏表示＋时间编码"映射为 Query 向量           |
-| **Key投影矩阵**      | $W_K$                        | $(d + d_T) \times d_h$   | 将邻居节点特征和时间编码映射为Key向量。                | 自注意力机制                  |
+| Key 投影矩阵     | $W_K^{(l)}$                   | $(d_h + d_T)\times d_h$ | 第 $l$ 层     | 将拼接后的"隐藏表示＋时间编码"映射为 Key 向量             |
-| **Value投影矩阵**    | $W_V$                        | $(d + d_T) \times d_h$   | 将邻居节点特征和时间编码映射为Value向量。              | 自注意力机制                  |
+| Value 投影矩阵   | $W_V^{(l)}$                   | $(d_h + d_T)\times d_h$ | 第 $l$ 层     | 将拼接后的"隐藏表示＋时间编码"映射为 Value 向量           |
-| **FFN第一层权重**    | $W_0^{(l)}$                  | $(d_h + d_0) \times d_f$ | 前馈网络的第一层线性变换，融合邻居聚合特征和原始特征。 | 前馈网络（FFN）               |
+| FFN 第一层权重   | $W_0^{(l)}$                   | $(d_h + d_0)\times d_f$ | 第 $l$ 层 FFN | 拼接向量 $[\,h^{(l)}(t)\,\|\,x_0\,]$ 的第一层线性变换     |
-| **FFN第一层偏置**    | $b_0^{(l)}$                  | $d_f \times 1$           | 第一层的偏置项。                                       | 前馈网络（FFN）               |
+| FFN 第一层偏置   | $b_0^{(l)}$                   | $d_f$                   | 第 $l$ 层 FFN | 第一层线性偏置                                            |
-| **FFN第二层权重**    | $W_1^{(l)}$                  | $d_f \times d$           | 前馈网络的第二层线性变换，生成最终节点表示。           | 前馈网络（FFN）               |
+| FFN 第二层权重   | $W_1^{(l)}$                   | $d_f\times d$           | 第 $l$ 层 FFN | 第二层线性变换，生成本层最终节点表示                      |
-| **FFN第二层偏置**    | $b_1^{(l)}$                  | $d \times 1$             | 第二层的偏置项。                                       | 前馈网络（FFN）               |
+| FFN 第二层偏置   | $b_1^{(l)}$                   | $d$                     | 第 $l$ 层 FFN | 第二层线性偏置                                            |
+
+
+
+
+
+每个节点运行的模型是一样的QKV这些参数都是一样的。
+
+运行过程中这些训练好的参数不会变化，模型的动态性体现在：
+
+- 维护**全局事件流**；当新的边 $(u, v, t)$ 加入或旧的边变得不再被采样时，下一次你对某个节点做推理时，检索到的邻居集合就不一样；
+- 时间编码会根据新的 $\Delta t$ 动态计算；
+- 注意力权重 $\alpha_i$ 会重新分配，FFN 也会基于新的聚合结果给出新的输出。
+
+
+
+节点是否需要交互（是否需要全局信息） 
+
+- 如果节点仅关注自己的特征更新以及任务，仅需维护：
+
+  从事件流中取出所有在 $t$ 之前与 $v_0$ 有过交互的节点集合以及交互的时间 $t_i$。
+  $$
+  \mathcal{N}(v_0; t) = \{ v_i \mid \exists (v_0, v_i, t_i) \in \mathcal{E}, t_i < t \}
+  $$
+
+- 如果节点还关注其他节点的特征更新及任务，需要知道**全局事件流** (若干时刻邻接矩阵转化而来)
+
+  

科研/草稿.md

@@ -1,35 +1,32 @@
-以下是修改后的 Markdown 格式内容，公式用 `$` 或 `$$` 包裹：
+以下是修改后的内容，所有公式部分都已用 `$`（行内公式）或 `$$`（行间公式）包裹：
 
 ---
 
-2. **截断的谱分解（取前 $r$ 个特征值和特征向量）**
+### **1. 核心区别**
-
+| **性质**     | **特征分解/谱分解**              | **奇异值分解（SVD）**                      |
-如果我们只保留前 $r$ 个最大的（或最重要的）特征值和对应的特征向量，那么：
+| ------------ | -------------------------------- | ------------------------------------------ |
-
+| **适用矩阵** | 仅限**方阵**（$n \times n$）     | **任意矩阵**（$m \times n$，包括矩形矩阵） |
-- **特征向量矩阵 $U_r$**：取 $U$ 的前 $r$ 列，维度为 $n \times r$。
+| **分解形式** | $A = P \Lambda P^{-1}$           | $A = U \Sigma V^*$                         |
-- **特征值矩阵 $\Lambda_r$**：取 $\Lambda$ 的前 $r \times r$ 子矩阵（即前 $r$ 个对角线元素），维度为 $r \times r$。
+| **矩阵类型** | 可对角化矩阵（如对称、正规矩阵） | 所有矩阵（包括不可对角化的方阵和非方阵）   |
-
+| **输出性质** | 特征值（$\lambda_i$）可能是复数  | 奇异值（$\sigma_i$）始终为非负实数         |
-因此，截断后的近似分解为：
+| **正交性**   | 仅当 $A$ 正规时 $P$ 是酉矩阵     | $U$ 和 $V$ 始终是酉矩阵（正交）            |
-
-$$A \approx U_r \Lambda_r U_r^T$$
 
 ---
 
 ### 修改说明：
-1. 行内公式用 `$...$` 包裹（如 `$r$`, `$n \times r$`）。
+1. **行内公式**（用 `$...$` 包裹）：
-2. 独立公式用 `$$...$$` 包裹（如最后的近似分解公式）。
+   - 矩阵维度：$n \times n$、$m \times n$
-3. 保留原文的列表结构和强调标记（`**`）。
+   - 分解形式：$A = P \Lambda P^{-1}$、$A = U \Sigma V^*$
-4. 统一了中文标点（如冒号使用全角 `：`）。
+   - 数学符号：$\lambda_i$、$\sigma_i$、$A$、$P$、$U$、$V$ 等
 
-以下是修改后的 Markdown 格式内容，公式用 `$$` 包裹：
+2. **特殊符号**：
+   - 使用 `^*` 表示共轭转置 $V^*$
+   - 使用 `\times` 表示乘号 $\times$
+   - 使用 `\Lambda` 和 `\Sigma` 表示对角矩阵
 
----
+3. **表格结构**：
+   - 保持原有 Markdown 表格格式
+   - 对齐表头和内容
+   - 保留中文说明部分
 
-$$A(G) = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i x_i^T$$
+这样修改后，公式可以兼容 LaTeX 渲染，同时保持内容的清晰性和可读性。
-
----
-
-### 说明：
-1. 这是一个独立的数学公式，因此使用 `$$...$$` 包裹实现居中显示
-2. 保持了原公式的所有数学符号和结构
-3. 如果需要在行内使用，可以改为 `$...$` 包裹

科研/郭款论文.md

@@ -263,7 +263,7 @@ FCM的目标是将矩阵中的元素聚类到$K$个簇中，每个元素通过**
 
 **2. 更新隶属度**
 
-对于每个元素 $a_{ij} $，计算其属于簇 $k$ 的隶属度 $ \mu_k(a_{ij})$ ：
+对于每个元素 $a_{ij}$，计算其属于簇 $k$ 的隶属度 $ \mu_k(a_{ij})$ ：
 $$
 \mu_k(a_{ij}) = \frac{1}{\sum_{l=1}^{K} \left( \frac{\|a_{ij} - c_k\|}{\|a_{ij} - c_l\|} \right)^{2/(m-1)}}
 $$
@@ -288,7 +288,7 @@ $$
 
 **4. 判断收敛**
 
-- 计算簇中心的变化量 \( $\Delta C$ = \|$C_{\text{new}} - C_{\text{old}}$\| \)。
+- 计算簇中心的变化量 \( $\Delta C = |C_{\text{new}} - C_{\text{old}}|$ \)。
 - 如果 \( $\Delta C < \epsilon $\)，则停止迭代；否则返回步骤2。
 
 **5. 量化处理**
@@ -562,6 +562,8 @@ $$
 
 
 
+这里得到的 $U \in \mathbb{R}^{n \times r}$
+
 
 
 **例：假设我们有一个 $2 \times 2$ 对称非负矩阵**
@@ -679,7 +681,12 @@ $$
 
 - **旋转自由度**：若 $(U, U^T)$ 是一个解，则对任意正交矩阵 $R$（满足 $RR^T=I$），$(UR, R^TU^T)$ 也是有效解。
 
-  
+
+
+
+！！！为什么采用SNMF? 5.13日我的思考：卡尔曼滤波得到的特征值和特征向量存在噪声 直接进行谱分解重构会导致重构出来的矩阵不满足对称性。但是SNMF在迭代的过程中增加了非负且对称的约束！并且得到的U是个低维的，你可以仅在需要的时候进行重构，其他时候就保留U就行！！！
+
+
 
 #### **时间复杂度分析**
 

自学/Maven.md

@@ -387,4 +387,12 @@ target/
 
 **编译** 这些测试类到 `target/test-classes`。
 
-**逐个执行**（默认是串行）所有这些编译后的测试类。
+**逐个执行**（默认是串行）所有这些编译后的测试类。
+
+
+
+#### package：
+
+打包失败的把test步骤去掉！
+
+![image-20250514125309214](https://pic.bitday.top/i/2025/05/14/kq2fpz-0.png)

自学/力扣Hot 100题.md

@@ -253,7 +253,7 @@ public static List<String> splitBySpace(String s) {
 向字符串末尾追加内容。
 
 2.**`insert(int offset, String str)`**
-在指定位置插入字符串。
+在指定位置插入字符串。（有妙用，头插法可以实现倒序）`insert(0,str)`
 
 3.**`delete(int start, int end)`**
 删除从 `start` 到 `end` 索引之间的字符。
@@ -1448,6 +1448,33 @@ public class ComparatorSortExample {
 
 
 
+### 列表
+
+“头插法”本质上就是把新节点“插”到已构建链表的头部
+
+1.反转链表
+
+2.从头开始构建链表（逆序插入）
+
+```java
+ListNode buildList(int[] arr) {
+    ListNode head = null;
+    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
+        ListNode node = new ListNode(arr[i]);
+        node.next = head;  // 头插：新节点指向原 head
+        head = node;       // head 指向新节点
+    }
+    return head;
+}
+// 结果链表的顺序是 arr 最后一个元素在最前面，如果你想保持原序，可以倒序遍历 arr。
+```
+
+输入：arr[0] -> arr[1] -> … -> arr[n-1]
+
+输出：arr[n-1]-> arr[n-2]-> …->arr[0]
+
+
+
 ### 哈希
 
 **问题分析**：

自学/苍穹外卖.md

@@ -463,6 +463,69 @@ public class EmployeeController {
 
 
 
+## 后端代码部署
+
+### 项目已经开发完毕
+
+这种情况下JAVA代码无需改动，直接本地打包maven->package成Jar包复制到服务器上部署：
+
+本项目为multi-module (聚合) Maven 工程，父工程为sky-take-out，子模块有common,pojo,server，其中server依赖common和pojo：
+
+```xml
+<dependency>
+      <groupId>com.sky</groupId>
+      <artifactId>sky-common</artifactId>
+      <version>1.0-SNAPSHOT</version>
+</dependency>
+
+<dependency>
+      <groupId>com.sky</groupId>
+      <artifactId>sky-pojo</artifactId>
+      <version>1.0-SNAPSHOT</version>
+</dependency>
+```
+
+打包方式：
+
+1.直接对父工程执行mvn clean install
+
+2.分别对子模块common和pojo执行install，再对server执行package
+
+因为Maven 在构建 `sky-server` 时，去你本地仓库或远程仓库寻找它依赖的两个 SNAPSHOT 包。
+
+dockerfile：
+
+```dockerfile
+# 使用 JDK 17 运行时镜像
+FROM openjdk:17-jdk-slim
+
+# 设置时区为上海
+ENV TZ=Asia/Shanghai
+RUN ln -snf /usr/share/zoneinfo/$TZ /etc/localtime && echo $TZ > /etc/timezone
+
+# 创建工作目录
+WORKDIR /app
+
+# 复制 Fat Jar，重命名为 app.jar
+COPY sky-server-1.0-SNAPSHOT.jar ./app.jar
+
+# 暴露端口（与 application.properties 中的 server.port 保持一致）
+EXPOSE 8080
+
+# 以 exec 形式启动
+ENTRYPOINT ["java", "-jar", "app.jar"]
+```
+
+`ENTRYPOINT ["java", "-jar", "app.jar"]` 能够启动
+
+
+
+### 滚动开发阶段
+
+
+
+
+
 ## 实战开发
 
 ### 分页查询