### 4.2.3 ADMM求解的变量与步骤详解

#### 1. 变量定义与作用
- **输入变量**：
  - $A_{pre}$：初始邻接矩阵（优化前的网络拓扑）。
  - $P$：对称的0-1矩阵，用于标记 $A_{pre}$ 中非零元素的位置（保持已有边不变）。
  - $A'_{max}$：功率最大时的邻接矩阵的补集（$A'_{maxij} = 1$ 表示 $A_{maxij} = 0$，即不允许新增边）。
  - $\alpha$：权衡稀疏性（$L_1$ 范数）和低秩性（核范数）的系数。
  - **iters**：ADMM迭代次数。

- **中间变量**：
  - **$D_1, D_2$**：临时变量，用于投影步骤的中间计算。
    - $D_1 = A^*$：来自附录A的推导（可能是对偶变量或中间解）。
    - $D_2 = R^* + A_{pre}$：结合残差 $R^*$ 和初始矩阵 $A_{pre}$ 的中间结果。
  - **$M$**：残差计算的辅助矩阵，可能与约束 $A \odot P = A_{pre} \odot P$ 相关。
  - **$temp\_R, temp\_A$**：内层循环的临时变量，用于梯度投影的残差计算。
  - **$X, Y$**：对偶变量（拉格朗日乘子），分别对应两个约束：
    - $X$：约束 $A \odot P = A_{pre} \odot P$ 的对偶变量。
    - $Y$：约束 $A \odot A'_{max} = 0$ 的对偶变量。
  - **$Z1, Z2$**：辅助变量，用于解耦目标函数中的核范数和 $L_1$ 范数：
    - $Z1$：与核范数 $\|A\|_*$ 相关的辅助变量。
    - $Z2$：与 $L_1$ 范数 $\|A\|_1$ 相关的辅助变量。
  - **$U1, U2$**：拉格朗日乘子，用于ADMM的对偶上升步骤：
    - $U1$：对应 $Z1$ 的约束 $A = Z1$。
    - $U2$：对应 $Z2$ 的约束 $A = Z2$。

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#### 2. 算法步骤详解
##### (S.1) 更新原始变量 $A$（ADMM的 $x$ 步）
通过内层循环（投影和对偶上升）更新 $A$，确保其满足两个约束：
1. **投影到 $A \odot P = A_{pre} \odot P$**（保持已有边不变）：
   - **行4-11**：梯度投影法迭代更新 $R$（残差）。
     - $temp\_R^{k+1} = M - X^k \odot A_{pre}$：计算当前残差（$M$ 可能是约束的右端项）。
     - $X^{k+1} = X^k + \beta (A_{pre} \odot temp\_R^{k+1})$：对偶变量 $X$ 的梯度上升（步长 $\beta$）。
   - **本质**：通过迭代强制 $A$ 在 $P$ 标记的位置与 $A_{pre}$ 一致。

2. **投影到 $A \odot A'_{max} = 0$**（禁止新增边）：
   - **行13-17**：类似地，更新 $Y$：
     - $temp\_A^{k+1} = D_2 - Y^k \odot A'_{max}$：残差计算。
     - $Y^{k+1} = Y^k + \gamma (A'_{max} \odot temp\_A^{k+1})$：对偶变量 $Y$ 的更新（步长 $\gamma$）。

##### (S.2) 更新辅助变量 $Z1, Z2$（ADMM的 $z$ 步）
通过阈值操作分离目标函数的两部分：
1. **$Z1^{t+1} = T_r(A^{t+1} + U1^t)$**：
   - $T_r(\cdot)$：奇异值阈值算子（核范数投影）。
     - 对 $A + U1$ 做SVD分解，保留前 $r$ 个奇异值（$r$ 由低秩性需求决定）。
   - **作用**：强制 $A$ 低秩。

2. **$Z2^{t+1} = S_{\alpha}(A^{t+1} + U2^t)$**：
   - $S_{\alpha}(\cdot)$：软阈值算子（$L_1$ 范数投影）。
     - 对 $A + U2$ 的每个元素：$\text{sign}(x) \cdot \max(|x| - \alpha, 0)$。
   - **作用**：促进 $A$ 的稀疏性。

##### (S.3) 更新拉格朗日乘子 $U1, U2$（ADMM的对偶上升）
通过残差调整乘子：
- $U1^{t+1} = U1^t + A^{t+1} - Z1^{t+1}$：核范数约束的乘子更新。
- $U2^{t+1} = U2^t + A^{t+1} - Z2^{t+1}$：$L_1$ 范数约束的乘子更新。
- **作用**：惩罚 $A$ 与辅助变量 $Z1, Z2$ 的偏差，推动收敛。

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#### 3. 关键点总结
1. **投影步骤**：内层循环通过梯度法将 $A$ 投影到两个约束集合（保持已有边 + 禁止新增边）。
2. **变量解耦**：$Z1, Z2$ 分离低秩和稀疏目标，ADMM通过交替更新协调二者。
3. **凸性保证**：核范数和 $L_1$ 范数均为凸函数，ADMM能收敛到全局最优解。
4. **并行性**：每个节点可独立运行算法（行1注释），适合分布式网络优化。

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#### 可能的疑问与验证
- **$M$ 的具体定义**：文中未明确，可能是 $A_{pre} \odot P$ 或其他约束右端项。
- **$D_1, D_2$ 的推导**：需参考附录A的公式（4-33）和（4-40），可能涉及对偶问题的转换。
- **步长 $\beta, \gamma$**：通常需手动调参或通过线搜索确定。