## KAN
### Kolmogorov-Arnold表示定理
该定理表明，任何多元连续函数都可以表示为有限个单变量函数的组合。
对于任意一个定义在$[0,1]^n$上的**连续多元函数**：
$$ f(x_1, x_2, \ldots, x_n), $$
存在**单变量连续函数** $\phi_{q}$ 和 $\psi_{q,p}$（其中 $q = 1, 2, \ldots, 2n+1$，$p = 1, 2, \ldots, n$），使得：
$$
f(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{q=1}^{2n+1} \phi_{q}\left( \sum_{p=1}^{n} \psi_{q,p}(x_p) \right).
$$
即，$f$可以表示为$2n+1$个“外层函数”$\phi_{q}$和$n \times (2n+1)$个“内层函数”$\psi_{q,p}$的组合。
#### **和MLP的联系**
| **Kolmogorov-Arnold定理** | **神经网络（MLP）** |
| -------------------------------- | ---------------------------------------------------- |
| 外层函数 $\phi_q$ 的叠加 | 输出层的加权求和（线性组合） + 激活函数 |
| 内层函数 $\psi_{q,p}$ 的线性组合 | 隐藏层的加权求和 + 非线性激活函数 |
| 固定 $2n+1$ 个“隐藏单元” | 隐藏层神经元数量可以自由设计，依赖于网络的深度和宽度 |
| 严格的数学构造（存在性证明） | 通过数据驱动的学习（基于梯度下降等方法）来优化参数 |
#### **和MLP的差异**
浅层结构（一个隐藏层）的数学表达与模型设计
| **模型** | **数学公式** | **模型设计** |
| -------- | ------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
| **MLP** | $f(x) \approx \sum_{i=1}^{N} a_i \sigma(w_i \cdot x + b_i)$ | 线性变换后再跟非线性激活函数(RELU) |
| **KAN** | $f(x) = \sum_{q=1}^{2n+1} \Phi_q \left( \sum_{p=1}^n \phi_{q,p}(x_p) \right)$ | **可学习激活函数**（如样条）在边上，**求和操作**在神经元上 |
边上的可学习函数： $\phi_{q,p}(x_p)$（如B样条）
求和操作：$\sum_{p=1}^n \phi_{q,p}(x_p)$
深层结构的数学表达与模型设计
| **模型** | **数学公式** | **模型设计** |
| -------- | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| **MLP** | $\text{MLP}(x) = (W_3 \circ \sigma_2 \circ W_2 \circ \sigma_1 \circ W_1)(x)$ | 交替的线性层（$W_i$）和固定非线性激活函数（$\sigma_i$）。 |
| **KAN** | $\text{KAN}(x) = (\Phi_3 \circ \Phi_2 \circ \Phi_1)(x)$ | 每一层都是单变量函数的组合（$\Phi_i$），每一层的激活函数都可以进行学习 |
### 传统MLP的缺陷
1. **梯度消失和梯度爆炸**：
与其他传统的激活函数（如 Sigmoid 或 Tanh）一样，MLP 在进行反向传播时有时就会遇到梯度消失/爆炸的问题，尤其当网络层数过深时。当它非常小或为负大，网络会退化；连续乘积会使得梯度慢慢变为 0（梯度消失）或变得异常大（梯度爆炸），从而阻碍学习过程。
2. **参数效率**：
MLP 常使用全连接层，每层的每个神经元都与上一层的所有神经元相连。尤其是对于大规模输入来说，这不仅增加了计算和存储开销，也增加了过拟合的风险。效率不高也不够灵活。
3. **处理高维数据能力有限**：MLP 没有利用数据的内在结构（例如图像中的局部空间相关性或文本数据的语义信息）。例如，在图像处理中，MLP 无法有效地利用像素之间的局部空间联系，这很典型在图像识别等任务上的性能不如卷积神经网络（CNN）。
4. **长依赖问题**：
虽然 MLP 理论上可以逼近任何函数，但在实际应用中，它们很难捕捉到序列中的长依赖关系（例如句子跨度很长）。这让人困惑：如何把前后序列的信息互相处理？而自注意力（如 transformer）在这类任务中表现更好。
但无论CNN/RNN/transformer怎么改进，都躲不掉MLP这个基础模型根上的硬伤，即线性组合+激活函数的模式。
### KAN网络
#### **主要贡献：**
过去的类似想法受限于原始的Kolmogorov-Arnold表示定理（两层网络，宽度为2n+12*n*+1），未能利用现代技术（如反向传播）进行训练。
KAN通过推广到**任意宽度和深度**的架构，解决了这一限制，同时通过实验验证了KAN在“AI + 科学”任务中的有效性，兼具**高精度**和**可解释性**。
#### **B样条（B-spline）**
是一种通过分段多项式函数的线性组合构造的光滑曲线，其核心思想是利用**局部基函数**（称为B样条基函数）来表示整个曲线。
形式上，一个B样条函数通常表示为基函数的线性组合：
$$
S(t) = \sum_{i=0}^{n} c_i \cdot B_i(t)
$$
其中：
- $B_i(t)$ 是 **B样条基函数**（basis functions）；
- $c_i$ 是 **控制点** 或系数（可以来自数据、拟合、插值等）；
- $S(t)$ 是最终的 **B样条曲线** 或函数。
每个基函数只在某个局部区间内非零，改变一个控制点只会影响曲线的局部形状。
**示例：基函数定义**
$B_0(t)$ - 支撑区间[0,1]
$$
B_0(t) =
\begin{cases}
1 - t, & 0 \leq t < 1,\\
0, & \text{其他区间}.
\end{cases}
$$
$B_1(t)$ - 支撑区间[0,2]
$$
B_1(t) =
\begin{cases}
t, & 0 \leq t < 1, \\
2 - t, & 1 \leq t < 2, \\
0, & \text{其他区间}.
\end{cases}
$$
$B_2(t)$ - 支撑区间[1,3]
$$
B_2(t) =
\begin{cases}
t - 1, & 1 \leq t < 2, \\
3 - t, & 2 \leq t < 3, \\
0, & \text{其他区间}.
\end{cases}
$$
$B_3(t)$ - 支撑区间[2,4]
$$
B_3(t) =
\begin{cases}
t - 2, & 2 \leq t < 3, \\
4 - t, & 3 \leq t \leq 4, \\
0, & \text{其他区间}.
\end{cases}
$$
假设用该基函数对$f(t) = \sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$在[0,4]区间上拟合
$$
S(t) = 0 \cdot B_0(t) + 0.7071 \cdot B_1(t) + 1 \cdot B_2(t) + 0.7071 \cdot B_3(t)
$$
#### **网络结构：**
左图：
- 节点（如$x_{l,i}$）表示第$l$层第$i$个神经元的**输入值**
- 边（如$\phi_{l,j,i}$）表示**可学习的激活函数**（权重）
- 下一层节点的值计算：
$$x_{l+1,j} = \sum_i \phi_{l,j,i}(x_{l,i})$$
右图：