# 小论文

1.背景意义这边需要改。

2.卡尔曼滤波这边，Q、R不明确 / 真实若干时刻的测量值可以是真实值；但后面在线预测的时候仍然传的是真实值，事实上无法获取=》 考虑用三次指数平滑，对精确重构出来的矩阵谱分解，得到的特征值作为'真实值'，代入指数平滑算法中进行在线更新，执行单步计算。

4.这块有问题，没提高秩性，没说除了ER模型外的移动模型如RWP	

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## 指数平滑法

**指数平滑法（Single Exponential Smoothing）**

指数平滑法是一种对时间序列进行平滑和短期预测的简单方法。它假设近期的数据比更久之前的数据具有更大权重，并用一个平滑常数 $\alpha$（$0<\alpha\leq1$）来控制“记忆”长度。

- **平滑方程：**  
  $$
    S_t = \alpha\,x_t + (1-\alpha)\,S_{t-1}
  $$

  - $x_t$：时刻 $t$ 的实际值  
  - $S_t$：时刻 $t$ 的平滑值（也可作为对 $x_{t+1}$ 的预测）  
  - $S_1$ 的初始值一般取 $x_1$

- **举例：**  
  假设一产品过去 5 期的销量为 $[100,\;105,\;102,\;108,\;110]$，取 $\alpha=0.3$，初始平滑值取 $S_1=x_1=100$：  

  1. $S_2=0.3\times105+0.7\times100=101.5$  
  2. $S_3=0.3\times102+0.7\times101.5=101.65$  
  3. $S_4=0.3\times108+0.7\times101.65\approx103.755$  
  4. $S_5=0.3\times110+0.7\times103.755\approx106.379$  

  因此，对第 6 期销量的预测就是 $S_5\approx106.38$。



**二次指数平滑法（Holt’s Linear Method）**

当序列存在趋势（Trend）时，单次平滑会落后。二次指数平滑（也称 Holt 线性方法）在单次平滑的基础上，额外对趋势项做平滑。

- **水平和趋势平滑方程：**  
  $$
  \begin{cases}
    L_t = \alpha\,x_t + (1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1}), \\[6pt]
    T_t = \beta\,(L_t - L_{t-1}) + (1-\beta)\,T_{t-1},
  \end{cases}
  $$

  - $L_t$：水平（level）  
  - $T_t$：趋势（trend）  
  - $\alpha, \beta$：平滑常数，通常 $0.1$–$0.3$  

- **预测公式：**  
  $$
    \hat{x}_{t+m} = L_t + m\,T_t
  $$
  其中 $m$ 为预测步数。

- **举例：**  
  用同样的数据 $[100,105,102,108,110]$，取 $\alpha=0.3,\;\beta=0.2$，初始化：  

  - $L_1 = x_1 = 100$  
  - $T_1 = x_2 - x_1 = 5$  

  接下来计算：  

  1. $t=2$：  
     $$
       L_2=0.3\times105+0.7\times(100+5)=0.3\times105+0.7\times105=105
     $$

     $$
       T_2=0.2\times(105-100)+0.8\times5=0.2\times5+4=5
     $$

  2. $t=3$：  
     $$
       L_3=0.3\times102+0.7\times(105+5)=0.3\times102+0.7\times110=106.4
     $$

     $$
       T_3=0.2\times(106.4-105)+0.8\times5=0.2\times1.4+4=4.28
     $$

  3. $t=4$：  
     $$
       L_4=0.3\times108+0.7\times(106.4+4.28)\approx0.3\times108+0.7\times110.68\approx110.276
     $$

     $$
       T_4=0.2\times(110.276-106.4)+0.8\times4.28\approx0.2\times3.876+3.424\approx4.199
     $$

  4. $t=5$：  
     $$
       L_5=0.3\times110+0.7\times(110.276+4.199)\approx0.3\times110+0.7\times114.475\approx112.133
     $$

     $$
       T_5=0.2\times(112.133-110.276)+0.8\times4.199\approx0.2\times1.857+3.359\approx3.731
     $$

  **预测第 6 期** ($m=1$)：  
  $$
    \hat{x}_6 = L_5 + 1\times T_5 \approx 112.133 + 3.731 = 115.864
  $$

---

**小结**

- 单次指数平滑适用于无明显趋势的序列，简单易用。  
- 二次指数平滑（Holt 方法）在水平外加趋势成分，适合带线性趋势的数据，并可向未来多步预测。  

通过选择合适的平滑参数 $\alpha,\beta$ 并对初值进行合理设定，即可在实践中获得较好的短期预测效果。



**三次指数平滑法概述**

三次指数平滑法在二次（Holt）方法的基础上又加入了对季节成分的平滑，适用于同时存在趋势（Trend）和季节性（Seasonality）的时间序列。  



**主要参数及符号**  

- $m$：季节周期长度（例如季度数据 $m=4$，月度数据 $m=12$）。  
- $\alpha, \beta, \gamma$：水平、趋势、季节三项的平滑系数，均在 $(0,1]$ 之间。  
- $x_t$：时刻 $t$ 的实际值。  
- $L_t$：时刻 $t$ 的水平（level）平滑值。  
- $B_t$：时刻 $t$ 的趋势（trend）平滑值。  
- $S_t$：时刻 $t$ 的季节（seasonal）成分平滑值。  
- $\hat x_{t+h}$：时刻 $t+h$ 的 $h$ 步预测值。

**平滑与预测公式（加法模型）**  
$$
\begin{aligned}
L_t &= \alpha\,(x_t - S_{t-m}) + (1-\alpha)\,(L_{t-1}+B_{t-1}),\\
B_t &= \beta\,(L_t - L_{t-1}) + (1-\beta)\,B_{t-1},\\
S_t &= \gamma\,(x_t - L_t) + (1-\gamma)\,S_{t-m},\\
\hat x_{t+h} &= L_t + h\,B_t + S_{t-m+h_m},\quad\text{其中 }h_m=((h-1)\bmod m)+1.
\end{aligned}
$$

- **加法模型** 适用于季节波动幅度与水平无关的情况；  
- **乘法模型** 则把"$x_t - S_{t-m}$"改为"$x_t / S_{t-m}$"、"$S_t$"改为"$\gamma\,(x_t/L_t)+(1-\gamma)\,S_{t-m}$"并在预测中用乘法。

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**计算示例**

假设我们有一个周期为 $m=4$ 的序列，前 8 期观测值：  
$$
x = [110,\;130,\;150,\;95,\;120,\;140,\;160,\;100].
$$
取参数 $\alpha=0.5,\;\beta=0.3,\;\gamma=0.2$。  
初始值按常见做法设定为：  

- $L_0 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_i = \tfrac{110+130+150+95}{4}=121.25$.  

- 趋势初值  
  $$
  B_0 = \frac{1}{m^2}\sum_{i=1}^m (x_{m+i}-x_i)
       = \frac{(120-110)+(140-130)+(160-150)+(100-95)}{4\cdot4}
       = \frac{35}{16} \approx 2.1875.
  $$

- 季节初值 $S_i = x_i - L_0$，即  
  $[-11.25,\;8.75,\;28.75,\;-26.25]$ 对应 $i=1,2,3,4$。

下面我们演示第 5 期（$t=5$）的更新与对第 6 期的预测。

| $t$            | $x_t$ | 计算细节                                             | 结果              |
| -------------- | ----- | ---------------------------------------------------- | ----------------- |
|                |       | **已知初值**                                         |                   |
| 0              | –     | $L_0=121.25,\;B_0=2.1875$                            |                   |
| 1–4            | –     | $S_{1\ldots4}=[-11.25,\,8.75,\,28.75,\,-26.25]$      |                   |
| **5**          | 120   | $L_5=0.5(120-(-11.25)) +0.5(121.25+2.1875)$          | $\approx127.3438$ |
|                |       | $B_5=0.3(127.3438-121.25)+0.7\cdot2.1875$            | $\approx3.3594$   |
|                |       | $S_5=0.2(120-127.3438)+0.8\cdot(-11.25)$             | $\approx-10.4688$ |
| **预测** $h=1$ | –     | $\hat x_6 = L_5 + 1\cdot B_5 + S_{6-4}\;(=S_2=8.75)$ | $\approx139.45$   |

**解读：**  

1. 期 5 时，剔除上周期季节影响后平滑得到新的水平 $L_5$；  
2. 由水平变化量给出趋势 $B_5$；  
3. 更新第 5 期的季节因子 $S_5$；  
4. 期 6 的一步预测综合了最新水平、趋势和对应的季节因子，得 $\hat x_6\approx139.45$。



### 总结思考

- 如果你把预测值 $\hat x_{t+1}$ 当作"新观测"再去更新状态，然后再预测 $\hat x_{t+2}$，这种"预测—更新—预测"的迭代方式会让模型把自身的预测误差也当作输入，不断放大误差。  
- 正确做法是——在时刻 $t$ 得到 $L_t,B_t,S_t$ 后，用上面的直接公式一次算出**所有未来** $\hat x_{t+1},\hat x_{t+2},\dots$，这样并不会"反馈"误差，也就没有累积放大的问题。

或者，根据精确重构出来的矩阵谱分解，得到的特征值作为'真实值'，进行在线更新，执行单步计算。