# B样条拟合示例：用正弦函数采样作为系数

我选择的系数是通过在四个节点处对函数 $f(t) = \sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$ 进行采样得到的，对应的是四个基函数 $B_0(t), B_1(t), B_2(t), B_3(t)$，其"峰值"分别位于：

- $B_0(t)$：在 $t = 0$ 处取值 1  
- $B_1(t)$：在 $t = 1$ 处取值 1  
- $B_2(t)$：在 $t = 2$ 处取值 1  
- $B_3(t)$：在 $t = 3$ 处取值 1

## 系数计算过程

用来拟合的四个系数是函数在基函数峰值位置的采样值：

$$
\begin{align*}
c_0 &= f(0) = \sin(0) = 0 \\
c_1 &= f(1) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 0.7071 \\
c_2 &= f(2) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \\
c_3 &= f(3) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \approx 0.7071 \\
\end{align*}
$$

## 拟合曲线构造

最终的B样条拟合曲线是基函数的线性组合：

$$
S(t) = 0 \cdot B_0(t) + 0.7071 \cdot B_1(t) + 1 \cdot B_2(t) + 0.7071 \cdot B_3(t)
$$

## 可视化建议

需要展示以下内容吗？
1. 原始函数 $f(t) = \sin(\pi t/4)$ 的曲线
2. 四个采样点 $(0,0)$, $(1,0.7071)$, $(2,1)$, $(3,0.7071)$
3. 每个基函数 $B_i(t)$ 及其对应的系数 $c_i$
4. 最终合成的紫色B样条曲线 $S(t)$

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这种构造方式展示了B样条的一个重要特性：**系数直接对应曲线在基函数峰值位置的值**（当基函数是标准归一化时）。