### 收缩矩阵的逐次特征值提取方法

#### 1. 初始矩阵性质
对于实对称矩阵 $A \in \mathbb{R}^{N \times N}$，当满足：
- 非对角元素 $a_{ij}$ 独立同分布
- 均值 $\mathbb{E}[a_{ij}] = \mu$
- 方差 $\text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2$
- 对角元素 $a_{ii} = 0$

其最大特征值 $\lambda_1$ 服从高斯分布：
$$
\mathbb{E}[\lambda_1] (N-1)\mu + \frac{\sigma^2}{\mu}, \quad \text{Var}(\lambda_1) = 2\sigma^2
$$

#### 2. 收缩操作定义
通过秩一修正实现矩阵收缩：
$$
A^{(k+1)} = A^{(k)} - \lambda_k u_k u_k^T
$$
其中：
- $\lambda_k$ 为当前矩阵 $A^{(k)}$ 的最大特征值
- $u_k$ 为对应特征向量（单位范数）
- 初始条件 $A^{(1)} = A$

#### 3. 特征值递推关系
第 $k$ 大特征值可通过收缩矩阵提取：
$$
\lambda_k(A) = \lambda_1(A^{(k)})
$$

若收缩后矩阵 $A^{(k)}$ 保持：
- 非对角元素均值 $\mu_k$
- 方差 $\sigma_k^2$

则特征值统计量满足：
$$
\begin{cases}
\mathbb{E}[\lambda_k] = (N-k)\mu_k + \frac{\sigma_k^2}{\mu_k} \\
\text{Var}(\lambda_k) = 2\sigma_k^2
\end{cases}
$$

#### 4. 实现步骤
1. **初始化**：设 $A^{(1)} = A$，$k=1$
2. **迭代过程**：
   ```python
   while k <= K:
       # 计算当前最大特征对
       λ, u = eigsh(A^{(k)}, k=1)  
       
       # 记录统计量
       λ_sequence[k] = λ
       
       # 执行收缩
       A^{(k+1)} = A^{(k)} - λ * u @ u.T  
       
       # 验证新矩阵性质
       μ_k = np.mean(A^{(k+1)}[off_diag])
       σ²_k = np.var(A^{(k+1)}[off_diag])
       
       k += 1

$\sigma_1$.





您说得对，在奇异值分解(SVD)中，通常用 **u** 和 **v** 来表示左右奇异向量。以下是修正后的Markdown格式表示：

对于随机网络矩阵 `A`，设奇异值从大到小依次为 `{\sigma _1},{\sigma _2}, \ldots ,{\sigma _n}`，对应的左、右奇异向量分别为 ${u}_1, {u}_2, \ldots, {u}_n$ 和 ${v}_1, {v}_2, \ldots,{v}_n$。

或者更紧凑地表示为：
 `A = \sum_{i=1}^n \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^\top`

需要其他数学符号表示或格式调整可以随时告诉我！







不必大动干戈，只要把“等号”换成“近似”等价写法，或显式加上误差项，就足够严谨。下面给出两种常见做法，你任选其一即可——

| 写法           | 建议格式                                                     | 说明                                                         |
| -------------- | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| **近似号写法** | E[σ1]≈(N−1)μ+v+σ2μ,Var⁡[σ1]≈2σ2E[\sigma_1]\approx (N-1)\mu+v+\dfrac{\sigma^2}{\mu},\qquad \operatorname{Var}[\sigma_1]\approx 2\sigma^2 | 直接用 “≈” 表明这是 N→∞N\to\infty 的主导项；与前面“可在 O(1/N)O(1/\sqrt N) 范围内逼近高斯”完全呼应。 |
| **误差项写法** | E[σ1]=(N−1)μ+v+σ2μ+O ⁣(1N),Var⁡[σ1]=2σ2+O ⁣(1N)E[\sigma_1]=(N-1)\mu+v+\dfrac{\sigma^2}{\mu}+O\!\left(\tfrac{1}{N}\right),\qquad \operatorname{Var}[\sigma_1]=2\sigma^2+O\!\left(\tfrac{1}{N}\right) | 把小量显式写成 O(1/N)O(1/N)。这样保留等号，同时说明误差级别，更“硬核”一些。 |

> **为什么推荐修改？**
>
> - 你的正文已经说“在 O(1/N)O(1/\sqrt N) 的范围内可被高斯分布逼近”，说明后续公式仅是渐近主项。直接用 “=” 容易让读者误以为 **完全等于** 主项。
> - 只要在公式里加 “≈” 或 “+O(\cdot)” 就能避免歧义，而且和引用的 F & K 定理保持一致。

其余内容（条件、符号、文字描述）都没问题，不必再改。

$\approx$