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2025-06-19 19:56:47 +08:00

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强化学习

Q-learning

核心更新公式


\boxed{Q(s,a) \gets Q(s,a) + \alpha\left[r + \gamma\,\max_{a'}Q(s',a') - Q(s,a)\right]}

$s$：当前状态
$a$：当前动作
$r$：执行 a 后获得的即时奖励
$s'$：执行后到达的新状态
$\alpha\in(0,1]$：学习率，决定“这次新信息”对旧值的影响力度
$\gamma\in[0,1)$：折扣因子，衡量对“后续奖励”的重视程度
$\max_{a'}Q(s',a')$：新状态下可选动作的最大估值，表示“后续能拿到的最大预期回报”

一般示例

环境设定

状态集合：\{S_1, S_2\}
动作集合：\{a_1, a_2\}
转移与奖励：
- 在 S_1 选 a_1 → 获得 $r=5$，转到 S_2
- 在 S_1 选 a_2 → 获得 $r=0$，转到 S_2
- 在 S_2 选 a_1 → 获得 $r=0$，转到 S_1
- 在 S_2 选 a_2 → 获得 $r=1$，转到 S_1

超参数：$\alpha=0.5$，\gamma=0.9
初始化：所有 Q(s,a)=0

在 Q-Learning 里，智能体并不是“纯随机”地走，也不是“一开始就全凭 Q 表拿最高值”——而是常用一种叫 $\epsilon$-greedy 的策略来平衡：

探索（Exploration）：以概率 $\epsilon$（比如 10%）随机选一个动作，帮助智能体发现还没试过、可能更优的路径；
利用（Exploitation）：以概率 $1-\epsilon$（比如 90%）选当前状态下 Q 值最高的动作，利用已有经验最大化回报。

下面按序进行 3 步“试—错”更新，并在表格中展示每一步后的 Q 值。

步骤	状态 `s`	动作 `a`	奖励 `r`	到达 `s'`	`\max_{a'}Q(s',a')`	更新后 `Q(s,a)`	当前 Q 表
初始	—	—	—	—	—	—	`Q(S_1,a_1)=0,\;Q(S_1,a_2)=0` `Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=0`
1	`S_1`	`a_1`	5	`S_2`	0	`0+0.5\,(5+0-0)=2.5`	`Q(S_1,a_1)=2.5,\;Q(S_1,a_2)=0` `Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=0`
2	`S_2`	`a_2`	1	`S_1`	$到达S_1状态后选择最优动作：$`\max\{2.5,0\}=2.5`	`0+0.5\,(1+0.9\cdot2.5-0)=1.625`	`Q(S_1,a_1)=2.5,\;Q(S_1,a_2)=0` `Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=1.625`
3	`S_1`	`a_1`	5	`S_2`	`\max\{0,1.625\}=1.625`	`2.5+0.5\,(5+0.9\cdot1.625-2.5)\approx4.481`	`Q(S_1,a_1)\approx4.481,\;Q(S_1,a_2)=0` `Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=1.625`

第1步：从 S_1 选 $a_1$，立即回报5，更新后 $Q(S_1,a_1)=2.5$。
第2步：从 S_2 选 $a_2$，回报1，加上对 S_1 后续最优值的 0.9 折扣，得到 $1+0.9\times2.5=3.25$，更新后 $Q(S_2,a_2)=1.625$。
第3步：再一次在 S_1 选 $a_1$，这次考虑了 S_2 的最新估值，最终把 Q(S_1,a_1) 提升到约 4.481。

通过这样一步步的“试—错 + 贝尔曼更新”，Q-Learning 能不断逼近最优 $Q^*(s,a)$，从而让智能体在每个状态都学会选出长期回报最高的动作。

训练结束后，表里每个状态 s 下各动作的 Q 值都相对准确了，我们就可以直接读表来决策：


\pi(s) = \arg\max_a Q(s,a)

即“在状态 s 时，选 Q 值最高的动作”。

状态 \ 动作	`a_1`	`a_2`
`S_1`	4.481	0
`S_2`	0	1.625

DQN

核心思想：用深度神经网络近似 Q 函数来取代表格，在高维输入上直接做 Q-learning，并通过 经验回放（写进缓冲区 + 随机抽样训练”） + 目标网络（Target Network） 两个稳定化技巧，使 时序差分（TD ）学习在非线性函数逼近下仍能收敛。

TD 学习 = 用“即时奖励 + 折扣后的未来估值”作为目标，通过 TD 误差持续修正当前估计。

训练过程

1. 初始化

主网络（Online Network）
- 定义一个 Q 网络 $Q(s,a;\theta)$，随机初始化参数 $\theta$。
目标网络（Target Network）
- 复制主网络参数，令 $\theta^- \leftarrow \theta$。
- 目标网络用于计算贝尔曼目标值，短期内保持不变。
经验回放缓冲区（Replay Buffer）
- 创建一个固定容量的队列 $\mathcal{D}$，用于存储交互样本 $(s,a,r,s')$。
超参数设置
- 学习率 \eta
- 折扣因子 \gamma
- ε-greedy 探索率 $\epsilon$（初始值）
- 最小训练样本数阈值 N_{\min}
- 每次训练的小批量大小 B
- 目标网络同步频率 $C$（梯度更新次数间隔）

2. 与环境交互并存储经验

在每个时间步 $t$：

动作选择


a_t = 
  \begin{cases}
    \text{随机动作} & \text{以概率 }\epsilon,\\
    \arg\max_a Q(s_t,a;\theta) & \text{以概率 }1-\epsilon.
  \end{cases}

环境反馈
执行动作 $a_t$，得到奖励 r_t 和下一个状态 $s_{t+1}$。（需预先定义奖励函数）
存入缓冲区
将元组 (s_t, a_t, r_t, s_{t+1}) 存入 Replay Buffer $\mathcal{D}$。
如果 \mathcal{D} 已满，则丢弃最早的样本。

3. 批量随机采样并训练

当缓冲区样本数 \ge N_{\min} 时，每隔一次或多次环境交互，就进行一次训练更新：

随机抽取小批量
从 \mathcal{D} 中随机采样 B 条过往经验：
```
  \{(s_i, a_i, r_i, s'_i)\}_{i=1}^B
```
计算贝尔曼目标
对每条样本，用目标网络 \theta^- 计算：
```
y_i = r_i + \gamma \max_{a'}Q(s'_i, a'; \theta^-)
```
算的是：当前获得的即时奖励 $r_i$，加上“到了下一个状态后，做最优动作所能拿到的最大预期回报”
预测当前 Q 值
将当前状态-动作对丢给主网络 $\theta$，得到预测值：
```
\hat Q_i = Q(s_i, a_i;\theta)
```
算的是：在当前状态 $s_i$、选了样本里那个动作 a_i 时，网络现在估计的价值

构造损失函数
均方误差（MSE）损失：


L(\theta) = \frac{1}{B}\sum_{i=1}^B\bigl(y_i - \hat Q_i\bigr)^2

梯度下降更新主网络


  \theta \gets \theta - \eta \nabla_\theta L(\theta)

4. 同步/软更新目标网络

硬同步（Fixed Target）：
每做 C 次梯度更新，就执行
```
  \theta^- \gets \theta
```
（可选）软更新：
用小步长 \tau\ll1 平滑跟踪：
```
  \theta^- \gets \tau \theta + (1-\tau) \theta^-.
```

5. 重复训练直至收敛

重复步骤 2-4 直至满足终止条件（如最大回合数或性能指标）。
训练过程中可逐步衰减 $\epsilon$（ε-greedy），从更多探索过渡到更多利用。

示例

假设设定

动作空间：两个动作 ${a_1,a_2}$。
状态向量维度：2 维，记作 $s=(s_1,s_2)$。
目标网络结构（极简线性网络）：
```
Q(s;\theta^-) = W^-s + b^-,
```
- W^- 是 2\times2 的权重矩阵（行数为动作数，列数为状态向量维数）
- b^- 是长度 2 的偏置向量

网络参数（假定已初始化并被冻结）：


  W^- =
  \begin{pmatrix}
    0.5 & -0.2\\
    0.1 & \;0.3
  \end{pmatrix},\quad
  b^- = \begin{pmatrix}0.1\\-0.1\end{pmatrix}.

折扣因子 $\gamma=0.9$。

样本数据

假设我们抽到的一条经验是


(s_i,a_i,r_i,s'_i) = \bigl((0.0,\;1.0),\;a_1,\;2,\;(1.5,\,-0.5)\bigr).

当前状态 $s_i=(0.0,1.0)$，当时选了动作 a_1 并得到奖励 $r_i=2$。
到达新状态 $s'_i=(1.5,-0.5)$。

计算过程

前向计算目标网络输出


Q(s'_i;\theta^-) 
  = W^-\,s'_i + b^-
  = 
  \begin{pmatrix}
    0.5 & -0.2\\
    0.1 & \;0.3
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}1.5\\-0.5\end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}0.1\\-0.1\end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0.5\cdot1.5 + (-0.2)\cdot(-0.5) + 0.1 \\[4pt]
    0.1\cdot1.5 + \;0.3\cdot(-0.5) - 0.1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0.75 + 0.10 + 0.1 \\[3pt]
    0.15 - 0.15 - 0.1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0.95 \\[3pt]
   -0.10
  \end{pmatrix}.

因此，


  Q(s'_i,a_1;\theta^-)=0.95,\quad
  Q(s'_i,a_2;\theta^-)= -0.10.

取最大值


  \max_{a'}Q(s'_i,a';\theta^-)
  = \max\{0.95,\,-0.10\}
  = 0.95.

计算目标 $y_i$


  y_i
  = r_i + \gamma \times 0.95
  = 2 + 0.9 \times 0.95
  = 2 + 0.855
  = 2.855.

这样，我们就得到了 DQN 中训练主网络时的"伪标签"
$y_i=2.855$，后续会用它与主网络预测值 Q(s_i,a_i;\theta) 计算均方误差，进而更新 $\theta$。

改进DQN：

一、构造 n-step Transition

维护一个长度为 n 的滑动队列
- 每步交互（状态 → 动作 → 奖励 → 新状态）后，都向队列里添加这条"单步经验"。
- 当队列中积累到 n 条经验时，就可以合并成一条"n-step transition"了。
合并过程（一步一步累加）
- 起始状态：取队列里第 1 条记录中的状态 s_t
- 起始动作：取第 1 条记录中的动作 a_t
- 累积奖励：把队列中前 n 条经验的即时奖励按折扣因子 \gamma 一步步加权累加：
```
G_t^{(n)} = r_t + \gamma\,r_{t+1} + \gamma^2\,r_{t+2} + \cdots + \gamma^{n-1}r_{t+n-1}
```
形成一条新样本
最终你得到一条合并后的样本：
```
\bigl(s_t,\;a_t,\;G_t^{(n)},\;s_{t+n},\;\text{done}_{t+n}\bigr)
```
然后把它存入主 Replay Buffer。
接着，把滑动队列的最早一条经验丢掉，让它向前滑一格，继续接收下一步新经验。

二、批量随机采样与训练

随机抽取 n-step 样本
- 训练时，不管它是来自哪一段轨迹，都从 Replay Buffer 里随机挑出一批已经合好的 n-step transition。
- 每条样本就封装了"从 s_t 出发，执行 $a_t$，经历 n 步后所累积的奖励加 bootstrap"以及到达的末状态。
计算训练目标

对于每条抽出的 n-step 样本
$(s_t,a_t,G_t^{(n)},s_{t+n},\text{done}_{t+n})$，
- 如果 $\text{done}_{t+n}=\text{False}$，则
```
  y = G_t^{(n)} + \gamma^n\,\max_{a'}Q(s_{t+n},a';\theta^-);
```
- 如果 $\text{done}_{t+n}=\text{True}$，则
```
y = G_t^{(n)}.
```
主网络给出预测
- 把样本中的起始状态-动作对 (s_t,a_t) 丢给在线的 Q 网络，得到当前估计的 $\hat{Q}(s_t,a_t)$。
更新网络
- 用"目标值 $y$"和"预测值 $\hat{Q}$"之间的平方差，构造损失函数。
- 对损失做梯度下降，调整在线网络参数，使得它的预测越来越贴近那条合并后的真实回报。

VDN

核心思路：将团队 Q 函数写成各智能体局部 Q 的线性和 $Q_{tot}=\sum_{i=1}^{N}\tilde{Q}_i$，在训练时用全局奖励反传梯度，在执行时各智能体独立贪婪决策。

CTDE 指 Centralized Training, Decentralized Execution —— 在训练阶段使用集中式的信息或梯度（可以看到全局状态、联合奖励、各智能体的隐藏变量等）来稳定、加速学习；而在执行阶段，每个智能体只依赖自身可获得的局部观测来独立决策。

采用 CTDE 的好处：

部署高效、可扩展：运行时每个体只需本地观测，无需昂贵通信和同步，适合大规模或通信受限场景。

降低非平稳性：每个智能体看到的“环境”里不再包含 其他正在同时更新的智能体——因为所有参数其实在同一次反向传播里被一起更新，整体策略变化保持同步；对单个智能体而言，环境动态就不会呈现出随机漂移。

避免“懒惰智能体”：只要某个行动对团队回报有正贡献，它在梯度里就能拿到正向信号，不会因为某个体率先学到高收益行为而使其他个体“无所事事”。

核心公式与训练方法

值分解假设
```
Q\bigl((h_1,\dots,h_d),(a_1,\dots,a_d)\bigr)\;\approx\;\sum_{i=1}^{d}\,\tilde{Q}_i(h_i,a_i)
```
其中 h_i 为第 i 个智能体的历史观测，a_i 为其动作。每个 \tilde{Q}_i 只使用局部信息；训练时通过对联合 Q 的 TD 误差求梯度，再"顺着求和"回传到各 \tilde{Q}_i 。这样既避免了为各智能体手工设计奖励，又天然解决了联合动作空间呈指数爆炸的问题。
Q-learning 更新
```
Q_{t+1}(s_t,a_t)\;=\;(1-\eta_t)\,Q_{t}(s_t,a_t)\;+\;\eta_t\bigl[r_t+\gamma\max_{a}Q_{t}(s_{t+1},a)\bigr]
```
论文沿用经典 DQN 的 Q-learning 目标，对 联合 Q 值 计算 TD 误差，然后按上式更新；全局奖励 r_t 会在反向传播时自动分摊到各 \tilde{Q}_i 。

训练过程

使用LSTM:让智能体在「只有局部、瞬时观测」的环境中记住并利用过去若干步的信息。

1. 初始化

组件	说明
在线网络	为每个智能体 `i=1\ldots d` 建立局部 `Q` 网络 $\widetilde Q_i(h^i,a^i;\theta_i)$。最后一层是值分解层：把所有 `\widetilde Q_i` 相加得到联合 `Q=\sum_i\widetilde Q_i`
目标网络	为每个体复制参数：$\theta_i^- \leftarrow \theta_i$，用于计算贝尔曼目标。
经验回放缓冲区	存储元组 $(h_t, \mathbf a_t, r_t, o_{t+1}) \rightarrow \mathcal D$，其中 $\mathbf a_t=(a_t^1,\dots,a_t^d)$。
超参数	Adam 学习率 $1\times10^{-4}$，折扣 $\gamma$，BPTT 截断长度 8，Eligibility trace `\lambda=0.9` ；小批量 $B$、目标同步周期 $C$、$\varepsilon$-greedy 初始值等。

网络骨架：Linear (32) → ReLU → LSTM (32) → Dueling (Value + Advantage) 头产生 \widetilde Q_i 。

2. 与环境交互并存储经验

局部隐藏状态更新（获得 $h_t^i$）
- 采样观测
  $o_t^i \in \mathbb R^{3\times5\times5}$（RGB × 5 × 5 视野）
- 线性嵌入 + ReLU
  x_t^i = \mathrm{ReLU}(W_o\,\text{vec}(o_t^i)+b_o),\; W_o\!\in\!\mathbb R^{32\times75}
- 递归更新 LSTM
  h_t^i,c_t^i = \text{LSTM}_{32}(x_t^i,\;h_{t-1}^i,c_{t-1}^i)
  （初始 h_0^i,c_0^i 置零；执行期只用本体状态即可）

动作选择（分散执行）


  a_t^i=\begin{cases}
    \text{随机动作}, & \text{概率 } \varepsilon,\\
    \arg\max_{a}\widetilde Q_i(h_t^i,a;\theta_i), & 1-\varepsilon.
  \end{cases}

环境反馈：执行联合动作 $\mathbf a_t$，获得单条 团队奖励 r_t 以及下一组局部观测 $o_{t+1}^i$。
- 重要：此处不要直接把 h_{t+1}^i 写入回放池，而是存下 $(h_t^i, a_t^i, r_t, o_{t+1}^i)$。
  之后在训练阶段再用同样的“Step 0” 方式，离线地把 $o_{t+1}^i\rightarrow h_{t+1}^i$。
  这样可避免把梯度依赖塞进经验池。
写入回放池：$(h_t, \mathbf a_t, r_t, o_{t+1}) \rightarrow \mathcal D$。

3. 批量随机采样并联合训练

对缓冲区达到阈值后，每次更新步骤：

采样 B 条长度为 L 的序列。
- 假设抽到第 k 条序列的第一个索引是 $t$。
- 依次取出连续的 $(h_{t+j}, a_{t+j}, r_{t+j}, o_{t+j+1}), j=0, \ldots, L-1$。
- 先用存储的 o_{t+j+1} 离线重放"Step 0"得到 $h_{t+j+1}$，这样序列就拥有 (h_{t+j}, h_{t+j+1})

前向计算


\hat Q_i^{(k)} = \widetilde Q_i(h^{i,(k)}_t,a^{i,(k)}_t;\theta_i),
  \quad
  \hat Q^{(k)}=\sum_{i}\hat Q_i^{(k)} .

贝尔曼目标（用目标网络）


y^{(k)} = r^{(k)} + \gamma \sum_{i}\max_{a}\widetilde Q_i(h^{i,(k)}_{t+1},a;\theta_i^-).

损失


  L=\frac1B\sum_{k=1}^{B}\bigl(y^{(k)}-\hat Q^{(k)}\bigr)^2 .

梯度反传（自动信用分配）
因为 $\hat Q=\sum_i\widetilde Q_i$，对每个 \widetilde Q_i 的梯度系数恒为 1，
整个 团队 TD 误差 直接回流到各体网络，无需个体奖励设计。
参数更新：$\theta_i \leftarrow \theta_i-\eta\nabla_{\theta_i}L$。

4. 同步 / 软更新目标网络

硬同步：每 C 次梯度更新后执行 $\theta_i^- \leftarrow \theta_i$。
软更新：可选 $\theta_i^- \leftarrow \tau\theta_i+(1-\tau)\theta_i^-$。

5. 重复直到收敛

持续循环步骤 2–4，逐步衰减 $\varepsilon$。
训练完成后，每个体只需本地 \widetilde Q_i 就能独立决策，与中心最大化 \sum_i\widetilde Q_i 等价。

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强化学习

Q-learning

一般示例

DQN

训练过程

1. 初始化

2. 与环境交互并存储经验

3. 批量随机采样并训练

4. 同步/软更新目标网络

5. 重复训练直至收敛

示例

假设设定

样本数据

计算过程

改进DQN：

一、构造 n-step Transition

二、批量随机采样与训练

VDN

核心公式与训练方法

训练过程

1. 初始化

2. 与环境交互并存储经验

3. 批量随机采样并联合训练

4. 同步 / 软更新目标网络

5. 重复直到收敛

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