md_files/自学/草稿.md

在 0/1 背包问题中，使用一维 DP 数组时必须逆序遍历背包容量，主要原因在于避免同一物品被重复计算。这与二维 DP 的实现方式有本质区别。下面通过公式和例子详细说明。

---

为什么一维 DP 必须逆序遍历？

状态定义

一维 DP 数组定义为：

dp[j] = \text{背包容量为 } j \text{ 时的最大价值}

状态转移方程

对于物品 $i$（重量 $w_i$，价值 $v_i$）：

dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_i] + v_i) \quad (j \geq w_i)

关键问题

• 正序遍历会导致 dp[j-w_i] 在更新 dp[j] 时已被当前物品更新过，相当于重复使用该物品。
• 逆序遍历保证 dp[j-w_i] 始终是**上一轮（未考虑当前物品）**的结果，符合 0/1 背包的“一次性”规则。

---

二维 DP 为何不需要逆序？

二维 DP 定义为：

dp[i][j] = \text{前 } i \text{ 个物品，容量 } j \text{ 时的最大价值}

状态转移：

dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i)

• 由于直接依赖 上一行 $dp[i-1][\cdot]$，不存在状态覆盖问题，正序/逆序均可。

---

例子演示

假设物品 w=2, $v=3$，背包容量 $C=5$。

错误的正序遍历（$j=2 \to 5$）

1. j=2:
   dp[2] = \max(0, dp[0]+3) = 3
\Rightarrow dp = [0, 0, 3, 0, 0, 0]
2. j=4:
   dp[4] = \max(0, dp[2]+3) = 6
\Rightarrow 错误：物品被重复使用两次！

正确的逆序遍历（$j=5 \to 2$）

1. j=5:
   dp[5] = \max(0, dp[3]+3) = 0 （dp[3] 未更新）
2. j=2:
   dp[2] = \max(0, dp[0]+3) = 3
\Rightarrow dp = [0, 0, 3, 3, 3, 0]
   正确：物品仅使用一次。

---

总结

维度	遍历顺序	原因
一维DP	逆序	防止 dp[j-w_i] 被当前物品污染，确保每个物品只计算一次。
二维DP	任意顺序	状态分层存储（dp[i][j] 只依赖 $dp[i-1][\cdot]$），无覆盖风险。

核心思想：一维 DP 的空间优化需要逆序来保证状态的无后效性。