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# 高飞论文
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## 证明特征值序列为平稳的时间序列
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### 问题设定
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- **研究对象**
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设 $\{\lambda_1(A)_t\}_{t\in\mathbb Z}$ 是随时间变化的随机对称矩阵 $A_t$ 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。
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- **目标**
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证明 $\{\lambda_1(A)_t\}$ 是 **二阶（弱）平稳**的时间序列，即
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1. $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 $t$ 无关）；
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2. $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 $t$ 无关）；
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3. $\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k)$ 只依赖滞后 $k$。
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### 关键假设
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- **矩阵统计特性（引理 1）**
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- $A_t$ 为 $N\times N$ 实对称随机矩阵；元素 $\{a_{ij}\}_{i\le j}$ 相互独立且有界：$|a_{ij}|\le K$。
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- 非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。
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- $N$ 足够大时
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$$
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E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad
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\operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 .
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$$
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说明：
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- **$\sigma^2$**
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这是随机矩阵 $A_t$ 的非对角线元素 $a_{ij}$ ($i \neq j$) 的方差，即
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$$
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\text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2.
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$$
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根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。
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- **$\sigma_1^2$**
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这是最大特征值 $\lambda_1(A_t)$ 的方差，即
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$$
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\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2.
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$$
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当 $N$ 足够大时，$\sigma_1^2$ 近似为 $2\sigma^2$。
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- **时间序列模型**
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对**去中心化序列**
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$$
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\tilde z_t:=\lambda_1(A)_t-\mu_1
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$$
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假设其服从 AR(1)
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$$
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\tilde z_t=\rho\,\tilde z_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad
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\varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1,
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$$
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且 $\varepsilon_t$ 与历史 $\{\tilde z_{s}\}_{s<t}$ 独立。
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### 证明主特征值序列平稳
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#### **(1) 均值恒定性的推导**
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- 去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此
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$$
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E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1,
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$$
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与 $t$ 无关，满足第一条。
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#### (2) 方差恒定
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AR(1)模型定义为：
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$$
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z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t
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$$
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$$
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\begin{aligned}
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z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\
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&= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\
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&= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\
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&= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j}
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\end{aligned}
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$$
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$$
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\text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j})
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$$
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由于$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立，
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$$
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= \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}
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$$
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- **$|\rho| < 1$** 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。
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根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：
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$$
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\sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2
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$$
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此时：
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$$
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\text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2
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$$
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#### **(3) 协方差仅依赖滞后 $k$**
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对 $k\ge0$，
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$$
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\gamma(k):=\operatorname{Cov}(\tilde z_t,\tilde z_{t-k})
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=\rho^{k}\sigma_{\tilde z}^{2},
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$$
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仅含 $k$ 而与 $t$ 无关；于是
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$$
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\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k),
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$$
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满足第三条。
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#### (4) 平稳性的核心条件
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1. **|ρ| < 1 是关键条件**
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- 直观上：$\rho$ 越小，当前特征值对过去的依赖越弱；
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- $\rho=\pm1$ 会让方差发散，不可能稳态。
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2. **噪声独立性**：$\varepsilon_t$ 为白噪声，确保新信息与历史无关。
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### 证明剩余特征值平稳（大模型说不可取）：
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#### 1. 收缩操作（Deflation）的严格定义
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设 $A_t$ 的谱分解为：
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$$
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A_t = \sum_{i=1}^N \lambda_i u_i u_i^\top,
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$$
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其中 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_N$，且 $\{u_i\}$ 是标准正交基。
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- **第一次收缩**：
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定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为：
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- 特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 $\lambda_1$ 后剩余特征值不变）。
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- 特征向量：$u_2, \dots, u_N$ 保持不变（因 $u_1$ 与其他特征向量正交）。
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- **第 $k$ 次收缩**：
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递归定义：
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$$
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A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top,
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$$
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剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。
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每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。
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#### 2. 剩余特征值的统计特性
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**目标**：证明 $\{\lambda_k(A_t)\}_{t \in \mathbb{Z}}$ 对 $k \geq 2$ 也是弱平稳的。
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##### **(1) 均值恒定性**
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- **剩余矩阵的期望**：
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由线性性：
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$$
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E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top].
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$$
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若 $A_t$ 的元素分布时不变，且 $\lambda_i$ 和 $u_i$ 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 $E[A_{t,k+1}]$ 与 $t$ 无关。
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- **特征值期望**：
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对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的期望近似为：
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$$
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E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1},
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$$
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其中 $(N-k-1)\mu$ 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。
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##### **(2) 方差恒定性**
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- **剩余矩阵的方差**：
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收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。
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由引理1的推广：
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$$
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\text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2.
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$$
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- **动态模型**：
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假设去中心化序列 $\tilde{z}_{k+1,t} = \lambda_{k+1}(A_t) - \mu_{k+1}$ 服从AR(1)：
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$$
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\tilde{z}_{k+1,t} = \rho_{k+1} \tilde{z}_{k+1,t-1} + \varepsilon_{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1,
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$$
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稳态方差为：
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$$
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\sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2 = \frac{\sigma_{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2.
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$$
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##### **(3) 协方差仅依赖滞后 $m$**
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- 协方差函数：
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$$
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\gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}_{k+1,t}, \tilde{z}_{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2.
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$$
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仅依赖 $m$，与 $t$ 无关。
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#### **3. 递推证明的完整性**
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1. **归纳基础**：
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$k=1$ 时（主特征值），平稳性已证。
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2. **归纳假设**：
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假设 $\lambda_k(A_t)$ 的平稳性成立，即：
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- $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数），
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- $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限），
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- $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。
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3. **归纳步骤**：
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- 通过收缩操作，$\lambda_{k+1}(A_t)$ 成为 $A_{t,k+1}$ 的主特征值。
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- 若 $A_{t,k+1}$ 满足与 $A_t$ 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的平稳性可类比主特征值的证明。
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## JB-test
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**JB-test（Jarque-Bera test）** 是一种用于检验样本数据是否服从正态分布的统计假设检验方法。这个检验特别适用于判断数据的偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是否符合正态分布的特性。
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正态分布具有以下特性：
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- **偏度（Skewness）** 为 $0$，表示数据的分布是对称的。
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- **峰度（Kurtosis）** 为 $3$，表示数据的峰度是"中等"的。
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### JB-test的统计量
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Jarque-Bera统计量的计算公式为：
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$$
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JB = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K - 3)^2}{4} \right)
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$$
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其中：
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- $n$ 是样本的大小。
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- $S$ 是样本的偏度（skewness），衡量分布的对称性。
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- $K$ 是样本的峰度（kurtosis），衡量分布的尖峭程度。
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### JB-test的分布和检验步骤
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- **零假设（$H_0$）**：数据服从正态分布。
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- **备择假设（$H_1$）**：数据不服从正态分布。
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在进行检验时，首先计算 JB 统计量，然后将其与卡方分布进行比较：
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- JB 统计量的分布近似于自由度为 $2$ 的卡方分布（当样本量较大时）。
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- 如果 JB 统计量的值大于临界值（根据设定的显著性水平，比如 $0.05$），则拒绝零假设，即认为数据不符合正态分布。
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- 如果 JB 统计量的值小于临界值，则无法拒绝零假设，即认为数据服从正态分布。
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### 结论
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- **如果 JB 统计量接近 $0$**，说明数据的偏度和峰度与正态分布的期望非常接近，数据可能符合正态分布。
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- **如果 JB 统计量远离 $0$**，则说明数据的偏度或峰度与正态分布的特征差异较大，数据不符合正态分布。
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## 特征值精度预估
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### 1. 噪声随机变量与协方差
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| 符号 | 含义 |
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| ----- | ------------------------------------ |
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| $w_i$ | 第 $i$ 个**过程噪声**样本 |
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| $v_j$ | 第 $j$ 个**观测噪声**样本 |
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| $Q$ | 过程噪声的真实方差（协方差矩阵退化） |
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| $R$ | 观测噪声的真实方差（协方差矩阵退化） |
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> **说明**：
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>
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> - 在矩阵形式的 Kalman Filter 中，通常写作
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> $$
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> w_k\sim\mathcal N(0,Q),\quad v_k\sim\mathcal N(0,R).
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> $$
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>
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> - 这里为做统计检验，把 $w_i, v_j$ 当作样本，$Q,R$ 就是它们在**标量**情况下的方差。
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### 2. 样本统计量
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| 符号 | 含义 |
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| ----------- | ------------------------------ |
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| $N_w,\;N_v$ | 过程噪声样本数和观测噪声样本数 |
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| $\bar w$ | 过程噪声样本均值 |
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| $\bar v$ | 观测噪声样本均值 |
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| $s_w^2$ | 过程噪声的**样本方差**估计 |
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| $s_v^2$ | 观测噪声的**样本方差**估计 |
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> **定义**：
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> $$
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> \bar w = \frac1{N_w}\sum_{i=1}^{N_w}w_i,\quad
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> s_w^2 = \frac1{N_w-1}\sum_{i=1}^{N_w}(w_i-\bar w)^2,
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||
> $$
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>
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||
> $$
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||
> \bar v = \frac1{N_v}\sum_{j=1}^{N_v}v_j,\quad
|
||
> s_v^2 = \frac1{N_v-1}\sum_{j=1}^{N_v}(v_j-\bar v)^2.
|
||
> $$
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### 3. 方差比的 $F$ 分布区间估计
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1. **构造 $F$ 统计量**
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$$
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F = \frac{(s_w^2/Q)}{(s_v^2/R)}
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= \frac{s_w^2}{s_v^2}\,\frac{R}{Q}
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\sim F(N_w-1,\,N_v-1).
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$$
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2. **置信区间**（置信度 $1-\alpha$）
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查得
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$$
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F_{L}=F_{\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),\quad
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F_{U}=F_{1-\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),
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||
$$
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||
则
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||
$$
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\begin{align*}
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||
P\Big\{F_{\rm L}\le F\le F_{\rm U}\Big\}=1-\alpha \quad\Longrightarrow \quad P\Big\{F_{\rm L}\,\le\frac{s_w^2}{s_v^2}\,\frac{R}{Q}\le F_{\rm U}\,\Big\}=1-\alpha.
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
3. **解出 $\frac{R}{Q}$ 的区间**
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||
$$
|
||
P\Bigl\{\,F_{L}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\le \frac{R}{Q}\le F_{U}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\Bigr\}=1-\alpha.
|
||
$$
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||
令
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||
$$
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||
\theta_{\min}=\sqrt{\,F_{L}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\,},\quad
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||
\theta_{\max}=\sqrt{\,F_{U}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\,}.
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||
$$
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||
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||
---
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### 4. 卡尔曼增益与误差上界
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在标量情况下（即状态和观测均为1维），卡尔曼增益公式可简化为：
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$$
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K = \frac{P_k H^T}{HP_k H^T + R} = \frac{HP_k}{H^2 P_k + R}
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||
$$
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||
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||
针对我们研究对象，特征值滤波公式的系数都属于实数域。$P_{k-1}$是由上次迭代产生，因此可以$FP_{k-1}F^T$看作定值，则$P_k$的方差等于$Q$的方差，即：
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$$
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||
\text{var}(P_k) = \text{var}(Q)
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||
$$
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||
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||
令 $c = H$, $m = 1/H$（满足 $cm = 1$），则：
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||
$$
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||
K = \frac{cP_k}{c^2 P_k + R} = \frac{1}{c + m(R/P_k)} \quad R/P_k\in[\theta_{\min}^2,\theta_{\max}^2].
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||
$$
|
||
|
||
|
||
|
||
则极值为
|
||
$$
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||
K_{\max}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\min}^2},\quad
|
||
K_{\min}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\max}^2}.
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||
$$
|
||
|
||
通过历史数据计算预测误差的均值：
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||
$$
|
||
E(x_k' - x_k) \approx \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} (x_k^{l(m)} - x_k^{(m)})\\
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||
$$
|
||
定义误差上界
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$$
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\xi
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=\bigl(K_{\max}-K_{\min}\bigr)\;E\bigl(x_k'-x_k\bigr)
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||
=\Bigl(\tfrac1{c+m\,\theta_{\min}^2}-\tfrac1{c+m\,\theta_{\max}^2}\Bigr)
|
||
\,E(x_k'-x_k).
|
||
$$
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||
若令 $c\,m=1$，可写成
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||
$$
|
||
\xi
|
||
=\frac{(\theta_{\max}-\theta_{\min})\,E(x_k'-x_k)}
|
||
{(c^2+\theta_{\min})(c^2+\theta_{\max})}.
|
||
$$
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||
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||
---
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量化噪声方差估计的不确定性，进而评估卡尔曼滤波器增益的可能波动，并据此给出滤波误差的上界.
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## 基于时空特征的节点位置预测
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在本模型中，整个预测流程分为两大模块：
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- **GCN 模块：主要用于从当前网络拓扑中提取每个节点的**空间表示**。这里的输入主要包括：
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- **邻接矩阵 $A$**：反映网络中节点之间的连通关系，维度为 $N \times N$，其中 $N$ 表示节点数。(可通过第二章网络重构的方式获取)
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- **特征矩阵 $H^{(0)}$**：一般是原始节点的属性信息，如历史位置数据，其维度为 $N \times d$，其中 $d$ 是初始特征维度。
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- **LSTM 模块**：用于捕捉节点随时间变化的动态信息，对每个节点的历史运动轨迹进行序列建模，并预测未来时刻的坐标。
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其输入通常是经过 GCN 模块处理后，每个节点在一段时间内获得的时空融合特征序列，维度一般为 $N \times T \times d'$，其中 $T$ 表示时间步数，$d'$ 是经过 GCN 后的特征维度。
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### GCN 模块
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#### 输入
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- **邻接矩阵 $A$**：维度 $N \times N$。在实际操作中，通常先加上自环形成
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$$
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\hat{A} = A + I.
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$$
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||
- **特征矩阵 $H^{(0)}$**：维度 $N \times d$，每一行对应一个节点的初始特征（例如历史采样的位置信息或其他描述）。
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||
#### 图卷积操作
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常用的图卷积计算公式为：
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$$
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H^{(l+1)} = \sigma \Bigl(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)} \Bigr)
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||
$$
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||
其中：
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||
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||
- $\tilde{A} = A + I$ 为加上自环后的邻接矩阵，
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- $\tilde{D}$ 为 $\tilde{A}$ 的度矩阵，定义为 $\tilde{D}_{ii} = \sum_{j}\tilde{A}_{ij}$；
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||
- $H^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的节点特征，初始时 $H^{(0)}$ 就是输入特征矩阵；
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- $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，其维度通常为 $d_l \times d_{l+1}$（例如从 $d$ 到 $d'$）；
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- $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数，例如 ReLU 或 tanh。
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经过一层或多层图卷积后，可以得到最终的节点表示矩阵 $H^{(L)}$（或记为 $X$），维度为 $N \times d'$。
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其中：
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- 每一行 $x_i \in \mathbb{R}^{d'}$ 表示节点 $i$ 的空间特征，这些特征综合反映了其在网络拓扑中的位置及与邻居的关系。
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#### 输出
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- **GCN 输出**：形状为 $N \times d'$；若将模型用于时序建模，则对于每个时间步，都可以得到这样一个节点特征表示。
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- 这里 $d'>d$ 。1.高维嵌入不仅保留了绝对位置信息，还包括了网络拓扑信息。2.兼容下游LSTM任务需求。
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### LSTM 模块
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#### 输入数据构造
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在时序预测中，对于每个节点，我们通常有一段历史数据序列。假设我们采集了最近 $T$ 个时刻的数据，然后采用“滑动窗口”的方式，预测 $T+1$、 $T+2$...
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- 对于每个时刻 $t$，节点 $i$ 的空间特征 $x_i^{(t)} \in \mathbb{R}^{d'}$ 由 GCN 得到；
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- 将这些特征按照时间顺序排列，得到一个序列：
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$$
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X_i = \bigl[ x_i^{(t-T+1)},\, x_i^{(t-T+2)},\, \dots,\, x_i^{(t)} \bigr] \quad \in \mathbb{R}^{T \times d'}.
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$$
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对于整个网络来说，可以将数据看作一个三维张量，维度为 $(N, T, d')$。
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#### LSTM 内部运作
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LSTM 通过内部门控机制（遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$ 和输出门 $o_t$）来更新其记忆状态 $C_t$ 和隐藏状态 $h_t$。公式如下
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- **遗忘门**：
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$$
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f_t = \sigma(W_f [h_{t-1},\, x_t] + b_f)
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$$
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- **输入门和候选记忆**：
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$$
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i_t = \sigma(W_i [h_{t-1},\, x_t] + b_i) \quad,\quad \tilde{C}_t = \tanh(W_C [h_{t-1},\, x_t] + b_C)
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$$
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- **记忆更新**：
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$$
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C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t
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$$
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- **输出门和隐藏状态**：
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$$
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o_t = \sigma(W_o [h_{t-1},\, x_t] + b_o), \quad h_t = o_t \odot \tanh(C_t)
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$$
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其中，$x_t$ 在这里对应每个节点在时刻 $t$ 的 GCN 输出特征；
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$[h_{t-1},\, x_t]$ 为连接后的向量；
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LSTM 的隐藏状态 $h_i \in \mathbb{R}^{d'' \times 1}$（其中 $d''$ 为 LSTM 的隐藏单元数）捕捉了时间上的依赖信息。
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#### 输出与预测
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最后，经过 LSTM 处理后，我们在最后一个时间步获得最终的隐藏状态 $h_t$ 或使用整个序列的输出；接着通过一个全连接层（FC层）将隐藏状态映射到最终的预测输出。
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- **全连接层转换公式**：
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$$
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\hat{y}_i = W_{\text{fc}} \cdot h_t + b_{\text{fc}}
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$$
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其中，假设预测的是二维坐标（例如 $x$ 和 $y$ 坐标），$W_{\text{fc}} \in \mathbb{R}^{2 \times d''}$，输出 $\hat{y}_i \in \mathbb{R}^2$ 表示节点 $i$ 在未来某个时刻（或下一时刻）的预测坐标。
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若整个网络有 $N$ 个节点，则最终预测结果的输出维度为 $N \times 2$（或 $N \times T' \times 2$，如果预测多个未来时刻）。
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### 疑问
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该论文可能有点问题，每个节点只能预测自身未来位置，无法获取全局位置信息。如果先LSTM后GCN可能可以！
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