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多智能体随机网络的全局知识对其模型收敛性影响的研究
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1. 智能体网络的现状、包括网络结构（和现有互联网、物联网的差异）、通信协议（A2A（agent）、MCP成为主流，为了智能体之间的通信）传统的协议已经慢慢被替代，不止是传统互联网应用-》大模型
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2. 多智能体随机网络与传统互联网不一样，结构基于随机网络（有什么作用，举一些具体的例子），通信协议（没有专门的协议，我们工作的出发点）、应用（联邦学习、图神经网络、强化学习）
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3. 网络模型的收敛性，怎么定义收敛性？收敛速度、收敛效率（考虑代价）、收敛的稳定性（换了个环境变化大），联邦学习、强化学习收敛性的问题，和哪些因素有关，网络全局结构对它的影响；推理阶段也有收敛性，多智能体推理结果是否一致；图神经网络推理结果是否一致。
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4. 多智能体随机网络全局知识的获取（分布式、集中式）
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多智能体随机机会网络、动态谱参数估算、网络重构算法、聚类量化算法、联邦学习、图神经网络
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如何确定kmeans的簇数？节点之间的流量，空间转为时间的图。
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压缩感知 函数拟合 采样定理 傅里叶变换
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## **谱分解**与网络重构
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实对称矩阵性质：
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对于任意 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$：
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1. **秩可以小于 $n$**（即存在零特征值，矩阵不可逆）。
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2. 但仍然有 $n$ 个线性无关的特征向量（即可对角化）。
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3. 特征值有正有负！！！
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一个实对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $n \times n$ 的**对称矩阵** $A$，
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**完整谱分解**可以表示为：
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$$
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A = Q \Lambda Q^T \\
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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$Q$是$n \times n$的正交矩阵，每一列是一个特征向量；$\Lambda$是$n \times n$的对角矩阵，对角线元素是特征值$\lambda_i$ ，其余为0。
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其中，$\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。**(注意！这里的特征向量需要归一化！！！)**
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**如果矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ,那么谱分解里恰好有 $r$ 个非零特征值。**
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用这 $r$ 对特征值／特征向量就能**精确**重构出 $A$，因为零特征值对矩阵重构不提供任何贡献。
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因此，需要先对所有特征值取绝对值，从大到小排序，取前 $r$ 个！！！
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**截断的谱分解**（取前 $\kappa$ 个特征值和特征向量）
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如果我们只保留前 $\kappa$ 个绝对值最大的特征值和对应的特征向量，那么：
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- **特征向量矩阵 $U_\kappa$**：取 $U$ 的前 $\kappa$ 列，维度为 $n \times \kappa$。
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- **特征值矩阵 $\Lambda_\kappa$**：取 $\Lambda$ 的前 $\kappa \times \kappa$ 子矩阵（即前 $\kappa$ 个对角线元素），维度为 $\kappa \times \kappa$。
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因此，截断后的近似分解为：
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$$
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A \approx U_\kappa \Lambda_\kappa U_\kappa^T\\
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A \approx \sum_{i=1}^{\kappa} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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**推导过程**
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1. **特征值和特征向量的定义**
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对于一个对称矩阵 $A$，其特征值和特征向量满足：
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$$
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A x_i = \lambda_i x_i
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$$
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其中，$\lambda_i$ 是特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。
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2. **谱分解**
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将这些特征向量组成一个正交矩阵 $Q$
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$A = Q \Lambda Q^T$
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$$
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Q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix},
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$$
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$$
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Q \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix}.
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$$
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$$
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Q \Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{bmatrix}.
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$$
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$$
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Q \Lambda Q^T = \lambda_1 x_1 x_1^T + \lambda_2 x_2 x_2^T + \cdots + \lambda_n x_n x_n^T.
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$$
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可以写为
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$$
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T.
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$$
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3. **网络重构**
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在随机网络中，网络的邻接矩阵 $A$ 通常是对称的。利用预测算法得到的谱参数 $\{\lambda_i, x_i\}$ 后，就可以用以下公式重构网络矩阵：
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$$
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A(G) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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| **性质** | **特征分解/谱分解** | **奇异值分解（SVD）** |
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| ------------ | -------------------------------- | ------------------------------------------ |
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| **适用矩阵** | 仅限**方阵**（$n \times n$） | **任意矩阵**（$m \times n$，包括矩形矩阵） |
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| **分解形式** | $A = P \Lambda P^{-1}$ | $A = U \Sigma V^*$ |
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| **矩阵类型** | 可对角化矩阵（如对称、正规矩阵） | 所有矩阵（包括不可对角化的方阵和非方阵） |
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| **输出性质** | 特征值（$\lambda_i$）可能是复数 | 奇异值（$\sigma_i$）始终为非负实数 |
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| **正交性** | 仅当 $A$ 正规时 $P$ 是酉矩阵 | $U$ 和 $V$ 始终是酉矩阵（正交） |
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谱分解的对象为实对称矩阵
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## 奇异值分解
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### 步骤
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**步骤 1：验证矩阵对称性**
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确保 $A$ 是实对称矩阵（即 $A = A^\top$），此时SVD可通过特征分解直接构造。
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**步骤 2：计算特征分解**
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对 $A$ 进行特征分解：
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$$
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A = Q \Lambda Q^\top
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$$
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其中：
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- $Q$ 是正交矩阵（$Q^\top Q = I$），列向量为 $A$ 的特征向量。
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- $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，$\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值（可能有正、负或零）。
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---
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**步骤 3：构造奇异值矩阵 $\Sigma$**
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- **奇异值**：取特征值的绝对值 $\sigma_i = |\lambda_i|$，得到对角矩阵：
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$$
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\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)
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$$
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- **排列顺序**：通常按 $\sigma_i$ 降序排列（可选，但推荐）。
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**步骤 4：处理符号（负特征值）**
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- **符号矩阵 $S$**：定义对角矩阵 $S = \text{diag}(s_1, s_2, \dots, s_n)$，其中：
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$$
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s_i = \begin{cases}
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1 & \text{if } \lambda_i \geq 0, \\
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-1 & \text{if } \lambda_i < 0.
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\end{cases}
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$$
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- **左奇异向量矩阵 $U$**：调整特征向量的方向：
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$$
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U = Q S
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$$
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即 $U$ 的列为 $Q$ 的列乘以对应特征值的符号。
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**步骤 5：确定右奇异向量矩阵 $V$**
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由于 $A$ 对称，右奇异向量矩阵 $V$ 直接取特征向量矩阵：
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$$
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V = Q
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$$
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**步骤 6：组合得到SVD**
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最终SVD形式为：
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$$
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A = U \Sigma V^\top
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$$
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验证：
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$$
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U \Sigma V^\top = (Q S) \Sigma Q^\top = Q (S \Sigma) Q^\top = Q \Lambda Q^\top = A
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$$
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（因为 $S \Sigma = \Lambda$，例如 $\text{diag}(-1) \cdot \text{diag}(2) = \text{diag}(-2)$）。
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### **例子（含正、负、零特征值）**
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设对称矩阵
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$$
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A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
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$$
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1. **特征分解**
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- 特征值：
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$$ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -1, \quad \lambda_3 = 0 $$
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- 特征向量矩阵：
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$$
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Q = \begin{bmatrix}
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
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0 & 1 & 0 \\
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}
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\end{bmatrix}
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$$
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2. **构造SVD**
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- 步骤：
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1. 按 $|\lambda_i|$ 降序排列：$3, 1, 0$（取绝对值后排序）。
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2. 奇异值矩阵：
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$$ \Sigma = \text{diag}(3, 1, 0) $$
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3. 符号调整矩阵：
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$$ S = \text{diag}(1, -1, 1) \quad (\lambda_3=0 \text{ 的符号可任选}) $$
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4. 左奇异向量矩阵：
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$$ U = Q S = \begin{bmatrix}
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
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0 & -1 & 0 \\
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}
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\end{bmatrix} $$
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5. 右奇异向量矩阵：
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$$ V = Q $$
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- **验证**：
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$$ U \Sigma V^\top = A $$
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## 网络重构分析
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### 基于扰动理论的特征向量估算方法
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设原矩阵为 $A$，扰动后矩阵为 $A+\zeta C$（扰动矩阵 $\zeta C$，$\zeta$是小参数），令其第 $i$ 个特征值、特征向量分别为 $\lambda_i,x_i$ 和 $\tilde\lambda_i,\tilde x_i$。
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**特征向量的一阶扰动公式：**
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$$
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\Delta x_i
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=\tilde x_i - x_i
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\;\approx\;
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\zeta \sum_{k\neq i}
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\frac{x_k^T\,C\,x_i}{\lambda_i - \lambda_k}\;x_k,
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$$
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- **输出**：对应第 $i$ 个特征向量修正量 $\Delta x_i$。
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**特征值的一阶扰动公式：**
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$$
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\Delta\lambda_i = \tilde\lambda_i - \lambda_i \;\approx\;\zeta\,x_i^T\,C\,x_i
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$$
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**关键假设：**当扰动较小（ $\zeta\ll1$） 且各模态近似正交均匀时，常作进一步近似
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$$
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x_k^T\,C\,x_i \;\approx\; x_i^T\,C\,x_i \;
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$$
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正交： $\{x_k\}$ 本身是正交基，这是任何对称矩阵特征向量天然具有的属性。
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均匀：我们把 $C$ 看作“**不偏向任何特定模态**”的随机小扰动——换句话说，投影到任何两个方向 $(x_i,x_k)$ 上的耦合强度 $x_k^T\,C\,x_i\quad\text{和}\quad x_i^T\,C\,x_i$ 在数值量级上应当差不多，因此可以互相近似。
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因此，将所有的 $x_k^T C x_i$ 替换为 $x_i^T C x_i$：
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$$
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\Delta x_i \approx \zeta \sum_{k\neq i} \frac{x_i^T C x_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \zeta (x_i^T C x_i) \sum_{k\neq i} \frac{1}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
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$$
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$$
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\Delta x_i \approx\sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
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$$
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问题：
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1. **当前时刻的邻接矩阵**
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$$
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A^{(1)}\in\mathbb R^{n\times n},\qquad
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A^{(1)}\,x_i^{(1)}=\lambda_i^{(1)}\,x_i^{(1)},\quad \|x_i^{(1)}\|=1.
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$$
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2. **下一时刻的邻接矩阵**
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$$
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A^{(2)}\in\mathbb R^{n\times n},
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$$
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**已知**它的第 $i$ 个特征值 $\lambda_i^{(2)}$（卡尔曼滤波得来）. **求**当前时刻的特征向量 $x_i^{(2)}$。
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**下一时刻**第 $i$ 个特征向量的预测为
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$$
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\boxed{
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x_i^{(2)}
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\;=\;
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x_i^{(1)}+\Delta x_i
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\;\approx\;
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x_i^{(1)}
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+\sum_{k\neq i}
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\frac{\lambda_i^{(2)}-\lambda_i^{(1)}}
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{\lambda_i^{(1)}-\lambda_k^{(1)}}\;
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x_k^{(1)}.
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}
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$$
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通过该估算方法可以依次求出下一时刻的所有特征向量。
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### 矩阵符号说明
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- 原始（真实）邻接矩阵 $A$ ,假设 $A$ 的秩为 $r$： $\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_n=0$
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$$
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A = \sum_{m=1}^n \lambda_m\,x_m x_m^T=\begin{align*}
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\sum_{m=1}^r \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=r+1}^n \lambda_m x_m x_m^T = \sum_{m=1}^r \lambda_m x_m x_m^T
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\end{align*},
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$$
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- 滤波估计得到的矩阵及谱分解：
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$$
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\widetilde A = \sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
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\quad \widetilde\lambda_1\ge\cdots\ge\widetilde\lambda_n\;
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$$
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- 只取前 $\kappa$ 项重构 ：
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$$
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A_\kappa \;=\;\sum_{m=1}^\kappa \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
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$$
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- 对 $A_\kappa$ 进行K-means聚类，得到 $A_{final}$
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目标是让 $A_{final}$ = $A$
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### **0/1矩阵**
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其中 $\widetilde{\lambda}_i$ 和 $\widetilde{x}_i$ 分别为通过预测得到矩阵 $\widetilde A$ 的第 $i$ 个特征值和对应特征向量。 然而预测值和真实值之间存在误差，直接进行矩阵重构会使得重构误差较大。 对于这个问题，文献提出一种 0/1 矩阵近似恢复算法。
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$$
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a_{ij} =
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\begin{cases}
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1, & \text{if}\ \lvert a_{ij} - 1 \rvert < 0.5 \\
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0, & \text{else}
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\end{cases}
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$$
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只要我们的估计值与真实值之间差距**小于 0.5**，就能保证阈值处理以后准确地恢复原边信息。
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文中提出网络特征值扰动与邻接矩阵扰动具有相同的规律
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真实矩阵 $A$ 与预测矩阵 $\widetilde{A} $ 之间的差为 （秩为 $r$）
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$$
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A - \widetilde{A}=\sum_{m=1}^r \lambda_m\,x_m x_m^T-\sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T
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$$
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**若假设特征向量扰动可忽略，即$\widetilde x_m\approx x_m$ ，扰动可简化为（这里可能有问题，特征向量的扰动也要计算）**
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$$
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A - \widetilde{A} = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m {x}_m {x}_m^T.
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$$
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||
对于任意元素 $(i, j)$ 上有
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$$
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|a_{ij} - \widetilde{a}_{ij}|=\left| \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m ({x}_m {x}_m^T)_{ij} \right| < \frac{1}{2}
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$$
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于一个归一化的特征向量 ${x}_m$，其外积矩阵$ {x}_m {x}_m^T$ 满足
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$$
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|({x}_m {x}_m^T)_{ij}| \leq 1.
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$$
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例：
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$$
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x_m = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\\
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x_m x_m^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
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$$
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每个元素的绝对值$\leq1$
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$$
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\left| \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m (x_m x_m^T)_{ij} \right| \leq \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| \cdot |(x_m x_m^T)_{ij}| \leq \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m|.
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$$
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为了确保 $|a_{ij} - \widetilde{a}_{ij}| < \frac{1}{2}$ 对所有 $(i,j)$ 成立,网络精准重构条件为：
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$$
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\sum_{m=1}^r\left| \Delta \lambda_m\right| < \frac{1}{2}
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||
$$
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0-1 矩阵能够精准重构的容忍上界与网络中的节点数量成反比，网络中节点数量越多，实现精准重构的要求也就越高。
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如果在**高层次**（特征值滤波）的误差累积超过了一定阈值，就有可能在**低层次**（邻接矩阵元素）中出现翻转。公式推导了只要谱参数的误差之和**不超过** 0.5，就可以保证0-1矩阵的精确重构。
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## **非0/1矩阵**
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### **量化误差**
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对估计矩阵 $\tilde{A}$ 的所有元素 $\{\tilde{a}_{ij}\}$ 进行 $K$-means 聚类，得到每个簇中心 $\{c_k\}_{k=1}^K$。
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- **簇内平均偏差**：
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对于第 $k$簇，算该簇所有点到中心的平均绝对偏差：
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$$
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\text{mean}_k = \frac{1}{|\mathcal{S}_k|} \sum_{(i,j)\in\mathcal{S}_k} |\tilde{a}_{ij} - c_k|
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$$
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- **全局允许误差**：
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$$
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\delta_{\max} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \text{mean}_k
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$$
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### 对于归一化向量 $x_m$ 的研究
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$$
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x_m = \begin{bmatrix} x_{m,1} \\ x_{m,2} \\ \vdots \\ x_{m,d} \end{bmatrix}
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$$
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$$
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x_m x_m^T =
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\begin{bmatrix}
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||
x_{m,1}^2 & x_{m,1}x_{m,2} & \cdots & x_{m,1}x_{m,d} \\
|
||
x_{m,2}x_{m,1} & x_{m,2}^2 & \cdots & x_{m,2}x_{m,d} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
x_{m,d}x_{m,1} & x_{m,d}x_{m,2} & \cdots & x_{m,d}^2
|
||
\end{bmatrix}
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$$
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|
||
$$
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(x_m x_m^T)_{ij}=x_{m,i}\,x_{m,j}\,,
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$$
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||
**对于任意元素：**由于 $\|x_m\|_2=1$ 且 $|x_{m,i}|\le1$，必有
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$$
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|x_{m,i}x_{m,j}|\le1\,.
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$$
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**对于非对角线元素：**
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对任意 $i\neq j$，由
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$$
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x_{m,i}^2 + x_{m,j}^2 \le \sum_{k=1}^d x_{m,k}^2 = 1
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$$
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||
$$
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||
(|x_{m,i}| - |x_{m,j}|)^2 \geq 0 \implies |x_{m,i}|^2 + |x_{m,j}|^2 \geq 2 |x_{m,i}| |x_{m,j}|.
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||
$$
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||
$$
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||
|x_{m,i}x_{m,j}| = |x_{m,i}||x_{m,j}| \leq \frac{|x_{m,i}|^2 + |x_{m,j}|^2}{2} = \frac{x_{m,i}^2 + x_{m,j}^2}{2}.
|
||
$$
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||
|
||
$$
|
||
|(x_m x_m^T)_{ij}|=|x_{m,i}x_{m,j}| \le \frac{x_{m,i}^2 + x_{m,j}^2}{2} \le \frac12\,,
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$$
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### 带权重构需控制两类误差：
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这里暂时忽略特征向量的扰动，即 $x_m=\widetilde x_m$
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1. **滤波误差**$\eta$：
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**来源**：滤波器在谱域对真实特征值/向量的估计偏差，包括
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- 特征值偏差 $\Delta\lambda_m=\lambda_m-\widetilde\lambda_m$
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- **特征向量：矩阵扰动得来**
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- 设矩阵 $A$ 的秩为 $r$
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$$
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A - \tilde A=\sum_{m=1}^r \lambda_m\,x_m x_m^T-\sum_{m=1}^r \tilde\lambda_m\,\tilde x_m\tilde x_m^T=\sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m {x}_m {x}_m^T.
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$$
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$$
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\eta_F=\Bigl\|\sum_{m=1}^r \Delta\lambda_m\, x_m x_m^T\Bigr\|_F = \sqrt{\sum_{m=1}^r (\Delta\lambda_m)^2}.
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$$
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2. **截断谱分解误差** $\epsilon$：
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只取前 $\kappa$ 个特征对重构
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$$
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A_\kappa \;=\;\sum_{m=1}^\kappa \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T=\;\sum_{m=1}^\kappa \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T
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$$
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$$
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\widetilde A - A_\kappa=\sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T
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$$
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$$
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\Bigl\|\sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T\Bigr\|_F=\sqrt{\sum_{m = \kappa + 1}^{r} \widetilde{\lambda}_{m}^{2}}.\epsilon
|
||
= \Bigl\|\sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T\Bigr\|_F=\sqrt{\sum_{m = \kappa + 1}^{r} \widetilde{\lambda}_{m}^{2}}.
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||
$$
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||
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||
3. **总的误差**
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$$
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\text{误差矩阵： } A - A_\kappa = \left( A - \tilde{A} \right) + \left( \tilde{A} - A_\kappa \right) = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=\kappa+1}^r \tilde{\lambda}_m x_m x_m^T
|
||
$$
|
||
- 研究单个元素误差：
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||
$$
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||
\text{元素误差绝对值：}|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| \cdot |(x_m x_m^T)_{ij}| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m| \cdot |(x_m x_m^T)_{ij}|
|
||
$$
|
||
对于非对角线元素，由于 $|(x_m x_m^T)_{ij}| \leq \frac12$（归一化特征向量）：
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$$
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||
|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)
|
||
$$
|
||
|
||
- 研究整个矩阵误差：
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$$
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||
\| A - A_\kappa \|_F^2 = \left\| \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde{\lambda}_m x_m x_m^T \right\|_F^2
|
||
$$
|
||
而 $\| x_m x_m^T \|_F = \sqrt{\text{tr}(x_m x_m^T x_m x_m^T)} = \sqrt{\text{tr}(x_m x_m^T)} = \| x_m \|_2 = 1$，因此：
|
||
$$
|
||
\| A - A_\kappa \|_F^2 = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m^2 + \sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde{\lambda}_m^2
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$$
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||
最终：
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$$
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||
\| A - A_\kappa \|_F = \sqrt{ \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m|^2 + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde{\lambda}_m|^2 }
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$$
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---
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4. **最终约束条件**：
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$$
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|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq 容忍误差\tau
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$$
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$$
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\frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)\leq 容忍误差\tau
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$$
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$$
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\delta_F
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= \lVert A - A_k \rVert_F
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= \sqrt{\sum_{i,j} \bigl(A - A_k\bigr)_{ij}^{2}}
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\;\le\; \sqrt{N^{2}\,\tau^{2}}
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\;=\; N\tau
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$$
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### 容忍误差推导
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#### **容忍误差**
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要保证重构矩阵 $A_\kappa$ 在每个位置上“落到”正确的某一 簇而不搞混，就必须让重构误差的最大绝对值严格小于任意两个相邻量化级别之间的半距（half‐spacing）。具体地：
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1. **量化级别及间距定义**
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设原始矩阵元素只能取 $K$ 个离散值：
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$$
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v_1 < v_2 < \cdots < v_K,
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$$
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相邻级别间距为：
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$$
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d_m = v_{m+1} - v_m,\quad m=1,\dots,K-1.
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$$
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2. **最小间距确定**
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||
计算所有相邻级别的最小间距：
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$$
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d_{\min} = \min_{1\le m\le K-1} d_m.
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$$
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3. **通用容忍误差**
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||
为确保重构值不会"越界"到相邻级别，取阈值：
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$$
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\boxed{\tau = \frac{d_{\min}}{2}.}
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$$
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量化误差和数据的分布（不是重构出来的矩阵值）有关，和容忍误差无关。
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**示例：**
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1. 0-1矩阵，$a=0, b=1,K=2$，容忍误差为0.5。
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2. 量化级别 $\{0,\,0.3,\,0.7,\,1\}$ ，$K=4$ 时：
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- 相邻间距：$0.3, 0.4, 0.3$
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- $d_{\min}=0.3$，故 $\tau=0.15$
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#### **量化误差**
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量化阈值：重构矩阵与真实矩阵的对应元素误差最大值为 $\tau$ ；
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量化误差：真实矩阵与经量化之后的对应元素误差最大值为 $\delta$
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当我们把一个数值 $x$ 量化到某个中心 $v_m$ 时，它本身就会产生一个"量化误差"：
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$$
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\underbrace{|x - v_m|}_{\text{量化误差}}.
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$$
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**1.当 $x$ 落在第 $m$ 个区间时**
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假设某个实数 $x$ 满足
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$$ t_{m-1} \leq x < t_{m} $$
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(其中我们约定 $t_{0} = -\infty$, $t_{K} = +\infty$)，这时把 $x$ 量化到中心 $v_{m}$。
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**2.计算量化误差**
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由于 $t_{m} = \frac{v_{m} + v_{m+1}}{2}$ 且 $t_{m-1} = \frac{v_{m-1} + v_{m}}{2}$，当 $x \in [t_{m-1}, t_{m})$ 时，离它所在的中心 $v_{m}$ 的最大距离，就是它正好位于这段区间的"最远端"——也就是：
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||
$$
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||
\max_{x \in [t_{m-1}, t_{m})} |x - v_{m}| = \max \left\{ |t_{m-1} - v_{m}|, |t_{m} - v_{m}| \right\}.
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||
$$
|
||
但 $t_{m} - v_{m} = \frac{v_{m+1} - v_{m}}{2} = \frac{d_{m}}{2}$，
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||
同理 $v_{m} - t_{m-1} = \frac{v_{m} - v_{m-1}}{2} = \frac{d_{m-1}}{2}$。
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||
所以对任意落在第 $m$ 个决策区间里的 $x$，其量化到 $v_{m}$ 时的偏差至多为
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||
$$
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||
|x - v_{m}| \leq \max \left( \frac{d_{m-1}}{2}, \frac{d_{m}}{2} \right) \leq \frac{d_{\min}}{2}.
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$$
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||
综上，对所有可能的 $x$：
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$$
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\max_{x} |x - Q(x)| = \frac{d_{\min}}{2}.
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$$
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||
于是定义 $\delta = \frac{d_{\min}}{2}$
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### 已知量化误差推导容忍误差和码本
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#### **推导容忍误差**
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已知：所有待量化的数都落在 $[X_{\min}, X_{\max}]$
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：量化误差上限
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$$
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\delta = \max_{x} |x - Q(x)|.
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$$
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1.因为对所有落在第 $m$ 个区间的点，都有
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$$
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|x - v_{m}| \leq \delta
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$$
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由"落在第 $m$ 区间"可推出
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$$
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|x - v_{m}| \leq \max \left\{\frac{v_{m+1} - v_{m}}{2}, \frac{v_{m} - v_{m-1}}{2}\right\} \leq \delta.
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$$
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||
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因此
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$$
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\frac{v_{m+1} - v_{m}}{2} \geq \delta, \quad \frac{v_{m} - v_{m-1}}{2} \geq \delta, \quad \forall m.
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$$
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||
|
||
2.这意味着"任意相邻中心间距"都不小于 $2\delta$，即
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$$
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v_{m+1} - v_{m} \geq 2 \delta, \quad \forall m \implies d_{\min} = 2 \delta.
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$$
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||
3."容忍阈值"定义为使得重构值 $\widehat{x}$ 与真实中心 $v_{m}$ 之间只要偏差在 $\tau$ 以内，量化就不会跳到旁边。显然
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$$
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||
\tau = \min_{m}\left\{\frac{v_{m+1} - v_{m}}{2}\right\} = \frac{d_{\min}}{2} = \frac{2 \delta}{2} = \delta.
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$$
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#### **构造码本：**
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**1.确定量化间隔**
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因为"量化误差的最大值"为 $\delta$，在一维的均匀量化里相邻两个中心（码本）中点到中心的距离就是量化误差的上界，所以我们令
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$$
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||
\Delta = 2\,\delta.
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$$
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||
相邻两个量化中心之间的距离都取 $\Delta$，这样任何一个点到它最近中心的距离最多是 $\tfrac{\Delta}{2} = \delta$。
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||
**2.确定量化级别数 $K$**
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||
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||
为了覆盖整个区间 $[X_{\min},\,X_{\max}]$，这些间隔为 $\Delta=2\delta$ 的"窗口"要铺下去。具体来说，如果我们有 $K$ 个中心 $\{v_1,\dots,v_K\}$，并且它们相邻之间都相差 $\Delta$，那么最左边中心的"覆盖下限"是
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$$
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v_1 - \delta = v_1 - \tfrac{\Delta}{2},
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$$
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最右边中心的"覆盖上限"是
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$$
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v_K + \delta = v_K + \tfrac{\Delta}{2}.
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$$
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要保证所有 $x \in [X_{\min},\,X_{\max}]$ 都能落进这串"区间并覆盖"，只要
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$$
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v_1 - \tfrac{\Delta}{2} \le X_{\min}, \quad v_K + \tfrac{\Delta}{2} \ge X_{\max}.
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$$
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||
下面我们令最左侧的中心刚好满足 $v_1 - \tfrac{\Delta}{2} = X_{\min}$，于是
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$$
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v_1 = X_{\min} + \frac{\Delta}{2} = X_{\min} + \delta.
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$$
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||
如果相邻中心间距都为 $\Delta$，那么第 $m$ 个中心就是
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$$
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v_m = v_1 + (m-1)\,\Delta = \bigl(X_{\min} + \delta\bigr) + (m-1)\cdot(2\delta).
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$$
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||
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||
此时，第 $K$ 个中心为
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$$
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v_K = X_{\min} + \delta + (K-1)\,2\delta = X_{\min} + (2K - 1)\,\delta.
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$$
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||
要满足"第 $K$ 个中心加上 $\delta$ 能覆盖到 $X_{\max}$"，即
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$$
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v_K + \delta = X_{\min} + (2K - 1)\,\delta + \delta = X_{\min} + 2K\,\delta \ge X_{\max}.
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$$
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||
|
||
因此
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$$
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||
2\,K\,\delta \ge X_{\max} - X_{\min} \Longleftrightarrow K \ge \frac{X_{\max} - X_{\min}}{2\,\delta}.
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$$
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||
我们取最小的整数满足这个不等式：
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$$
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\boxed{K = \Bigl\lceil \frac{X_{\max} - X_{\min}}{2\,\delta} \Bigr\rceil.}
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$$
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**3.得到码本 $\{v_m\}$ 和阈值**
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1. 令
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$$
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\Delta = 2\,\delta,\quad K = \Bigl\lceil \tfrac{X_{\max} - X_{\min}}{\Delta} \Bigr\rceil.
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$$
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||
2. 对 $m = 1,2,\dots,K$，令
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$$
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||
v_m = X_{\min} + \delta + (m - 1)\,\Delta = X_{\min} + \delta + (m - 1)\,(2\,\delta) = X_{\min} + \bigl(2m - 1\bigr)\,\delta.
|
||
$$
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||
|
||
- 此时，第 1 个中心是 $v_1 = X_{\min} + \delta$；
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||
- 第 $K$ 个中心是 $v_K = X_{\min} + (2K - 1)\,\delta$。
|
||
|
||
3. 中点阈值数组 $\{\,t_m\mid m=1,\dots,K-1\}$ 就是
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$$
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||
t_m = \frac{v_m + v_{m+1}}{2} = \frac{\bigl[X_{\min} + (2m-1)\delta\bigr] + \bigl[X_{\min} + (2(m+1)-1)\delta\bigr]}{2} = X_{\min} + 2m\,\delta.
|
||
$$
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||
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||
因此，决策规则是：
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- 如果 $x < t_1 = X_{\min} + 2\delta$，就量化到 $v_1 = X_{\min} + \delta$；
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||
|
||
- 如果 $t_{m-1} \le x < t_m$ (即 $X_{\min} + 2(m-1)\delta \le x < X_{\min} + 2m\delta$)，就量化到
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||
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||
$$
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||
v_m = X_{\min} + (2m-1)\,\delta;
|
||
$$
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||
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||
- 如果 $x \ge t_{K-1} = X_{\min} + 2(K-1)\delta$，就量化到
|
||
|
||
$$
|
||
v_K = X_{\min} + (2K-1)\,\delta.
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||
$$
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||
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### 维数选择推导
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$$
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\frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)\leq 量化阈值\tau
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||
$$
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||
已知 $\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m|=\eta$ ，量化阈值 $\tau$ ，令 $s=2\tau-\eta$ ,设截断谱分解误差为 $\epsilon$
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$$
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\epsilon \leq 2\tau-\eta
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$$
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||
借助**前缀和＋二分查找**寻找最小的 $\kappa$ ：
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||
1. **预处理：计算前缀和**
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||
2. 设绝对值降序的估计特征值列表为 $\bigl|\widetilde\lambda_1\bigr| \ge \bigl|\widetilde\lambda_2\bigr| \ge \cdots \ge \bigl|\widetilde\lambda_r\bigr|$，
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||
计算它们的前缀和：
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$$
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||
S_k = \sum_{m=1}^k \bigl|\widetilde\lambda_m\bigr|, \quad k=0,1,\dots,r, \quad S_0=0.
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||
$$
|
||
总和 $S_r = \sum_{m=1}^r \bigl|\widetilde\lambda_m\bigr|$ 对应 $\kappa=0$ 时的最大截断误差。
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||
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||
3. **将「尾和 ≤ 预算 $s$」转成前缀和条件**
|
||
记预算 $s = 2\tau - \eta$，尾部累积（截断误差）为：
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||
$$
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||
T(k) = \sum_{m=k+1}^r \bigl|\widetilde\lambda_m\bigr| = S_r - S_k.
|
||
$$
|
||
条件 $T(k) \le s$ 等价于：
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||
$$
|
||
S_k \ge S_r - s.
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||
$$
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||
定义阈值：
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$$
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||
\theta = S_r - s.
|
||
$$
|
||
|
||
4. **二分查找最小 $\kappa$**
|
||
在已排好序的数组 $S_k$（严格单调递增或非减）中，用二分查找找出最小的 $k$ 使得
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||
$$
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S_k \;\ge\;\theta.
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||
$$
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||
此 $k$ 即为所求的最小截断秩 $\kappa$。
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||
**伪代码：**
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```python
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# 输入：绝对值降序的估计特征值列表 |λ̃₁| ≥ |λ̃₂| ≥ ... ≥ |λ̃ᵣ|, 预算 s ≥ 0
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S = [0] * (r+1) # 前缀和数组初始化
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||
for k in range(1, r+1):
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||
S[k] = S[k-1] + |λ̃ₖ| # 计算前缀和（实际代码中需替换 |λ̃ₖ| 为具体变量）
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||
|
||
θ = S[r] - s # 计算查找阈值
|
||
|
||
# 在 S[0..r] 中二分查找最小 k 使得 S[k] ≥ θ
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||
low, high = 0, r
|
||
while low < high:
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mid = (low + high) // 2
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if S[mid] < θ:
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low = mid + 1
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||
else:
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high = mid
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κ = low # 最终得到的最小截断
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```
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### 最近邻量化
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算法思想：
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1. **已知量化级别**
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先假定你已有 $K$ 个量化级别（或簇中心）：
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$$ v_1 < v_2 < \cdots < v_K $$
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这些值通常是事先人为设定好的、或者某种优化后得到的最佳码本。
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||
|
||
2. **计算决策边界（中点阈值）**
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||
对于一维空间，相邻两个量化级别之间的“分界”很自然就是它们的中点：
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$$ t_m = \frac{v_m + v_{m+1}}{2}, \quad m = 1,\dots,K-1 $$
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||
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||
也就是一旦输入 $x$ 落在 $[t_{m-1},\,t_m)$ 这个区间（约定 $t_0 = -\infty$，$t_K = +\infty$），就映为 $v_m$。
|
||
|
||
3. **最近邻映射**
|
||
对于矩阵 $M$ 中的每个元素 $x = M_{ij}$，只要找到它对应的区间号 $m$，就把 $x$ 替换为 $v_m$。
|
||
由于阈值已经按增序排列，查找时可以用二分搜索（binary search），使得整体复杂度为 $O(\log K)$／次映射。
|
||
|
||
4. **误差保证**
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为了确保“重构误差”不会把重构值落到相邻簇去，需要保证真实误差 $\lvert A_{\kappa}(i,j) - M_{ij} \rvert$ 严格小于任意两个相邻量化级别之间的半距 $\frac{d_{\min}}{2}$。
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这里 $d_m = v_{m+1} - v_m$，取最小间距 $d_{\min} = \min_{m} d_m$，就有误差阈值 $\tau = \frac{d_{\min}}{2}$。
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```text
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输入：数组 v[1..K]（升序排列）
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输出：阈值数组 t[1..(K-1)]（对应各区间的分界）
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function initialize_thresholds(v[1..K]):
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for m = 1 to K-1 do
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t[m] = ( v[m] + v[m+1] ) / 2
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end for
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return t # 长度为 K-1
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输入：矩阵 M (尺寸 N×N)，量化级别 v[1..K]，阈值数组 t[1..(K-1)]
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输出：量化后矩阵 Ḿ（N×N）
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function quantizeMatrix(M, v, t):
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let N = number_of_rows(M) # 假设 M 是正方阵 N×N
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创建新矩阵 Ḿ，大きさ N×N
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for i = 1 to N do
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for j = 1 to N do
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x = M[i][j]
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# 在阈值数组 t 中二分查找，找到第一个 t[m] 使得 x < t[m]
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# 如果没有找到（即 x >= t[K-1]），则归到最后一个簇
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idx = binarySearchThreshold(t, x)
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# binarySearchThreshold 的返回：
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# 如果 x < t[1]，返回 idx = 1；
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# 如果 t[m-1] <= x < t[m]，返回 idx = m；
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# 如果 x >= t[K-1]，返回 idx = K。
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Ḿ[i][j] = v[idx]
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end for
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end for
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return Ḿ
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```
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如果量化阈值不一样，你需要**预先**知道矩阵的某个元素$|(A - A_\kappa)_{ij}|$的真实值属于哪个类别（1、4、10），以给元素误差不同的量化阈值，而不是默认的 $d_{\min}$
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\text{误差矩阵： } A - A_\kappa = \left( A - \widetilde{A} \right) + \left( \widetilde{A} - A_\kappa \right) = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde{\lambda}_m x_m x_m^T
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$$
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而且不能进行放缩：
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$$
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|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)
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$$
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这个式子会导致误差矩阵每个位置的元素取了同样的上界（即都有同样的误差），不能体现真实的误差。
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方法一：
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实验法，选取若干组数据做实验，
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数据包括真实矩阵 $A$ 和重构矩阵 $A_\kappa$ ，选取不同的 $\kappa$ 值计算误差矩阵 $E(\kappa)$ ，根据真实矩阵A，预先知道$E(\kappa)$ 每个位置的量化阈值，若每个位置$E(\kappa)$ 都小于其的量化阈值，那么当前的 $\kappa$ 符合条件。
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方法二：
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$$
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|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right) \leq \min_{1\le m\le K-1} d_m.
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$$
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滤波误差：
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高飞、李镇和都是**实验统计**误差加和获取 + 幂律分布和线性分布 精度预估？？
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量化的间隔是不是就和分布有关，有无其他影响因素。
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通信原理，采样量化。
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压缩感知的话量化分隔不是均匀的。
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假设都是破松分布
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估计带权邻接矩阵（存在量化误差），比较分布式算法的误差。
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