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颜佳佳论文

网络结构优化

直接SNMF分解（无优化）

• 输入矩阵：原始动态网络邻接矩阵 $A$（可能稠密或高秩）
• 处理流程：
  • 直接对称非负矩阵分解：A \approx UU^T
  • 通过迭代调整$U$和旋转矩阵$Q$逼近目标
• 存在问题：
  • 高秩矩阵需要保留更多特征值（$\kappa$较大）
  • 非稀疏矩阵计算效率低

先优化再SNMF（论文方法）

• 优化阶段（ADMM）：
  • 目标函数：\min_{A_{\text{opt}}} (1-\alpha)\|A_{\text{opt}}\|_* + \alpha\|A_{\text{opt}}\|_1
  • 输出优化矩阵A_{\text{opt}}
• SNMF阶段：
  • 输入变为优化后的A_{\text{opt}}
  • 保持相同分解流程但效率更高

网络优化中的邻接矩阵重构问题建模与优化

可行解集合定义（公式4-4）

\Omega = \left\{ A \middle| A^T = A,\, A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P,\, A \odot A_{\max}' = 0 \right\}

• $A^T = A$：确保邻接矩阵对称
• $A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P$：掩码矩阵P ，指定位置的原始值（$\odot$为Hadamard积）
• $A \odot A_{\max}' = 0$：功率约束矩阵\ A_{\max}' 禁止在原本无连接的节点间新增边

限制矩阵$A_{\max}'$的定义（公式4-5）

A'_{\max, ij} = 
\begin{cases} 
0, & \text{若 } A_{\max, ij} \ne 0 \\ 
1, & \text{若 } A_{\max, ij} = 0 
\end{cases}

• 通过$A_{\max}'$​标记禁止修改的零元素位置

原始优化目标（公式4-6）

\min_{A} \, (1-\alpha)\, \text{rank}(A) + \alpha \|A\|_0

\|A\|_0 表示矩阵 A 中非零元素的个数

• 目标：平衡低秩性（$\text{rank}(A)$）与稀疏性（$|A|_0$）
• 问题：非凸、不可导，难以直接优化

凸松弛后的目标（公式4-7）

\min_{A} \, (1-\alpha)\, \|A\|_* + \alpha \|A\|_1

• 核范数$|A|_*$：奇异值之和，替代\text{rank}(A)
• L1范数$|A|_1$：元素绝对值和，替代\|A\|_0
• 性质：凸优化问题，存在全局最优解

求解方法

• 传统方法： 可转化为**半定规划（SDP）**问题，使用内点法等求解器。但缺点是计算效率低，尤其当矩阵规模大（如多智能体网络节点数 n 很大）时不可行。
• 改进方法： 采用ADMM（交替方向乘子法）结合投影和对偶上升的方法，适用于动态网络（矩阵频繁变化的情况）。

ADMM核心算法

变量定义与作用

• 输入变量：
  • $A_{pre}$：初始邻接矩阵（优化前的网络拓扑）。
  • $P$：对称的0-1矩阵，用于标记 A_{pre} 中非零元素的位置（保持已有边不变）。
  • $A'{max}$：功率最大时的邻接矩阵的补集（A'_{maxij} = 1 表示 $A{maxij} = 0$，即不允许新增边）。
  • $\alpha$：权衡稀疏性（L_1 范数）和低秩性（核范数）的系数。
  • iters：ADMM迭代次数。

算法步骤详解

(S.1) 更新原始变量 $A$（对应ADMM的$x$步）

• 代码行4-17：通过内层循环（投影和对偶上升）更新 $A$。
  • 行4-11：将 A 投影到约束 A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P 的集合。
    • 通过内层循环（行8-11）迭代更新 $R$，本质是梯度投影法：
      • $temp_R^{k+1} = M - X^k \odot A_{\text{pre}}$（计算残差）。
      • $X^{k+1} = X^k + \beta(A_{\text{pre}} \odot temp_R^{k+1})$（梯度上升步，\beta 为步长）。
    • 本质：通过迭代强制 A 在 P 标记的位置与 A_{pre} 一致。
  • 行13-17：将 A 投影到 A \odot A'_{\text{max}} = 0 的集合。
    • 类似地，通过内层循环（行14-17）更新 $Y$：
      • $temp_A^{k+1} = D_2 - Y^k \odot A'_{\text{max}}$（残差计算）。
      • $Y^{k+1} = Y^k + \gamma(A'_{\text{max}} \odot temp_A^{k+1})$（对偶变量更新）。

(S.2) 更新辅助变量 $Z_1, Z_2$（对应ADMM的$z$步）

通过阈值操作分离目标函数的两部分：

• 行18-19：分别对核范数和 L_1 范数进行阈值操作：
  • $Z_1^{t+1} = T_r(A^{t+1} + U_1^t)$：
    T_r(\cdot) 是奇异值阈值算子（核范数投影），对A + U1 做SVD分解，保留前 r 个奇异值。作用：把自己变成低秩矩阵=》强制 A 低秩。
  • $Z_2^{t+1} = S_{\alpha}(A^{t+1} + U_2^t)$：
    S_{\alpha}(\cdot) 是软阈值算子（L_1 范数投影），将小于 \alpha 的元素置零。把自己变成稀疏矩阵=》促进 A 的稀疏性。

(S.3) 更新 拉格朗日乘子$U_1, U_2$（对应ADMM的对偶上升）

• 行20-21：通过残差 (A - Z) 调整拉格朗日乘子 $U_1, U_2$：
  • $U_1^{t+1} = U_1^t + A^{t+1} - Z_1^{t+1}$（核范数约束的乘子更新）。
  • $U_2^{t+1} = U_2^t + A^{t+1} - Z_2^{t+1}$（L_1 范数约束的乘子更新）。
  • 作用：惩罚 A 与辅助变量 Z1, Z2 的偏差（迫使$A$更贴近$Z$），推动收敛。