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在 **0/1 背包问题**中，使用一维 DP 数组时**必须逆序遍历背包容量**，主要原因在于**避免同一物品被重复计算**。这与二维 DP 的实现方式有本质区别。下面通过公式和例子详细说明。
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## 为什么一维 DP 必须逆序遍历？
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### 状态定义
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一维 DP 数组定义为：
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dp[j] = \text{背包容量为 } j \text{ 时的最大价值}
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### 状态转移方程
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对于物品 $i$（重量 $w_i$，价值 $v_i$）：
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dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_i] + v_i) \quad (j \geq w_i)
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$$
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### 关键问题
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- **正序遍历**会导致 $dp[j-w_i]$ 在更新 $dp[j]$ 时**已被当前物品更新过**，相当于重复使用该物品。
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- **逆序遍历**保证 $dp[j-w_i]$ 始终是**上一轮（未考虑当前物品）**的结果，符合 0/1 背包的“一次性”规则。
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## 二维 DP 为何不需要逆序？
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二维 DP 定义为：
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dp[i][j] = \text{前 } i \text{ 个物品，容量 } j \text{ 时的最大价值}
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$$
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状态转移：
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$$
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dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i)
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$$
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- 由于直接依赖 **上一行 $dp[i-1][\cdot]$**，不存在状态覆盖问题，正序/逆序均可。
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## 例子演示
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假设物品 $w=2$, $v=3$，背包容量 $C=5$。
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错误的正序遍历（$j=2 \to 5$）
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1. $j=2$:
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$dp[2] = \max(0, dp[0]+3) = 3$
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$\Rightarrow dp = [0, 0, 3, 0, 0, 0]$
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2. $j=4$:
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$dp[4] = \max(0, dp[2]+3) = 6$
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$\Rightarrow$ **错误**：物品被重复使用两次！
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### 正确的逆序遍历（$j=5 \to 2$）
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1. $j=5$:
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$dp[5] = \max(0, dp[3]+3) = 0$ （$dp[3]$ 未更新）
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2. $j=2$:
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$dp[2] = \max(0, dp[0]+3) = 3$
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$\Rightarrow dp = [0, 0, 3, 3, 3, 0]$
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**正确**：物品仅使用一次。
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## 总结
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| 维度 | 遍历顺序 | 原因 |
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| ------ | -------- | ------------------------------------------------------------ |
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| 一维DP | **逆序** | 防止 $dp[j-w_i]$ 被当前物品污染，确保每个物品只计算一次。 |
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| 二维DP | 任意顺序 | 状态分层存储（$dp[i][j]$ 只依赖 $dp[i-1][\cdot]$），无覆盖风险。 |
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**核心思想**：一维 DP 的空间优化需要逆序来保证状态的**无后效性**。 |