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步骤 1：验证矩阵对称性

确保 A 是实对称矩阵（即 $A = A^\top$），此时SVD可通过特征分解直接构造。

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步骤 2：计算特征分解

对 A 进行特征分解：

A = Q \Lambda Q^\top

其中：

• Q 是正交矩阵（$Q^\top Q = I$），列向量为 A 的特征向量。
• $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，\lambda_i 为 A 的特征值（可能有正、负或零）。

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步骤 3：构造奇异值矩阵 $\Sigma$

• 奇异值：取特征值的绝对值 $\sigma_i = |\lambda_i|$，得到对角矩阵：

  
  \Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)
  

• 排列顺序：通常按 \sigma_i 降序排列（可选，但推荐）。

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步骤 4：处理符号（负特征值）

• 符号矩阵 $S$：定义对角矩阵 $S = \text{diag}(s_1, s_2, \dots, s_n)$，其中：

  
  s_i = \begin{cases} 
  1 & \text{if } \lambda_i \geq 0, \\
  -1 & \text{if } \lambda_i < 0.
  \end{cases}
  

• 左奇异向量矩阵 $U$：调整特征向量的方向：

  
  U = Q S
  

  即 U 的列为 Q 的列乘以对应特征值的符号。

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步骤 5：确定右奇异向量矩阵 $V$

由于 A 对称，右奇异向量矩阵 V 直接取特征向量矩阵：

V = Q

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步骤 6：组合得到SVD

最终SVD形式为：

A = U \Sigma V^\top

验证：

U \Sigma V^\top = (Q S) \Sigma Q^\top = Q (S \Sigma) Q^\top = Q \Lambda Q^\top = A

（因为 $S \Sigma = \Lambda$，例如 $\text{diag}(-1) \cdot \text{diag}(2) = \text{diag}(-2)$）。

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关键性质与注意事项

1. 奇异值与特征值：\Sigma 的非零对角元是 |\Lambda| 的非零对角元。
2. 零特征值：若 $\lambda_i = 0$，则 $\sigma_i = 0$，对应 U 和 V 的列向量属于 A 的核空间。
3. 唯一性：
   • 奇异值 \Sigma 唯一（按降序排列时）。
   • 奇异向量 U 和 V 的符号可能不唯一（因特征向量方向可反转）。
4. 计算效率：对称矩阵的SVD无需计算 AA^\top 或 $A^\top A$，直接通过特征分解获得。

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示例

设对称矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$：

1. 特征分解：
   • 特征值：\lambda_1 = 1, $\lambda_2 = -1$。
   • 特征向量：$Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix}$。
2. 构造SVD：
   • $\Sigma = \text{diag}(1, 1)$（$|\lambda_i|$）。
   • $S = \text{diag}(1, -1)$，故 $U = Q S = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$。
   • $V = Q$。
3. 结果：

   
   A = \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}_U \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}_\Sigma \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^\top}_{V^\top}
   

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