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如何确定kmeans的簇数？节点之间的流量，空间转为时间的图。
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压缩感知 函数拟合 采样定理 傅里叶变换
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## **谱分解**与网络重构
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实对称矩阵性质：
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对于任意 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$：
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1. **秩可以小于 $n$**（即存在零特征值，矩阵不可逆）。
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2. 但仍然有 $n$ 个线性无关的特征向量（即可对角化）。
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3. 特征值有正有负！！！
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一个实对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $n \times n$ 的**对称矩阵** $A$，
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**完整谱分解**可以表示为：
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$$
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A = Q \Lambda Q^T \\
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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$Q$是$n \times n$的正交矩阵，每一列是一个特征向量；$\Lambda$是$n \times n$的对角矩阵，对角线元素是特征值$\lambda_i$ ，其余为0。
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其中，$\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。**(注意！这里的特征向量需要归一化！！！)**
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**如果矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ,那么谱分解里恰好有 $r$ 个非零特征值。**
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用这 $r$ 对特征值／特征向量就能**精确**重构出 $A$，因为零特征值对矩阵重构不提供任何贡献。
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因此，需要先对所有特征值取绝对值，从大到小排序，取前 $r$ 个！！！
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**截断的谱分解**（取前 $\kappa$ 个特征值和特征向量）
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如果我们只保留前 $\kappa$ 个绝对值最大的特征值和对应的特征向量，那么：
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- **特征向量矩阵 $U_\kappa$**：取 $U$ 的前 $\kappa$ 列，维度为 $n \times \kappa$。
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- **特征值矩阵 $\Lambda_\kappa$**：取 $\Lambda$ 的前 $\kappa \times \kappa$ 子矩阵（即前 $\kappa$ 个对角线元素），维度为 $\kappa \times \kappa$。
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因此，截断后的近似分解为：
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$$
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A \approx U_\kappa \Lambda_\kappa U_\kappa^T\\
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A \approx \sum_{i=1}^{\kappa} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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**推导过程**
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1. **特征值和特征向量的定义**
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对于一个对称矩阵 $A$，其特征值和特征向量满足：
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$$
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A x_i = \lambda_i x_i
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$$
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其中，$\lambda_i$ 是特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。
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2. **谱分解**
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将这些特征向量组成一个正交矩阵 $Q$
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$A = Q \Lambda Q^T$
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$$
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Q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix},
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$$
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$$
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Q \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix}.
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$$
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$$
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Q \Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{bmatrix}.
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$$
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$$
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Q \Lambda Q^T = \lambda_1 x_1 x_1^T + \lambda_2 x_2 x_2^T + \cdots + \lambda_n x_n x_n^T.
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$$
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可以写为
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$$
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T.
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$$
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3. **网络重构**
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在随机网络中，网络的邻接矩阵 $A$ 通常是对称的。利用预测算法得到的谱参数 $\{\lambda_i, x_i\}$ 后，就可以用以下公式重构网络矩阵：
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$$
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A(G) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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| **性质** | **特征分解/谱分解** | **奇异值分解（SVD）** |
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| ------------ | -------------------------------- | ------------------------------------------ |
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| **适用矩阵** | 仅限**方阵**（$n \times n$） | **任意矩阵**（$m \times n$，包括矩形矩阵） |
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| **分解形式** | $A = P \Lambda P^{-1}$ | $A = U \Sigma V^*$ |
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| **矩阵类型** | 可对角化矩阵（如对称、正规矩阵） | 所有矩阵（包括不可对角化的方阵和非方阵） |
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| **输出性质** | 特征值（$\lambda_i$）可能是复数 | 奇异值（$\sigma_i$）始终为非负实数 |
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| **正交性** | 仅当 $A$ 正规时 $P$ 是酉矩阵 | $U$ 和 $V$ 始终是酉矩阵（正交） |
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谱分解的对象为实对称矩阵
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## 奇异值分解
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### 步骤
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**步骤 1：验证矩阵对称性**
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确保 $A$ 是实对称矩阵（即 $A = A^\top$），此时SVD可通过特征分解直接构造。
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**步骤 2：计算特征分解**
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对 $A$ 进行特征分解：
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$$
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A = Q \Lambda Q^\top
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$$
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其中：
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- $Q$ 是正交矩阵（$Q^\top Q = I$），列向量为 $A$ 的特征向量。
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- $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，$\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值（可能有正、负或零）。
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**步骤 3：构造奇异值矩阵 $\Sigma$**
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- **奇异值**：取特征值的绝对值 $\sigma_i = |\lambda_i|$，得到对角矩阵：
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$$
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\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)
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$$
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- **排列顺序**：通常按 $\sigma_i$ 降序排列（可选，但推荐）。
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**步骤 4：处理符号（负特征值）**
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- **符号矩阵 $S$**：定义对角矩阵 $S = \text{diag}(s_1, s_2, \dots, s_n)$，其中：
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$$
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s_i = \begin{cases}
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1 & \text{if } \lambda_i \geq 0, \\
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-1 & \text{if } \lambda_i < 0.
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\end{cases}
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$$
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- **左奇异向量矩阵 $U$**：调整特征向量的方向：
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$$
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U = Q S
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$$
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即 $U$ 的列为 $Q$ 的列乘以对应特征值的符号。
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**步骤 5：确定右奇异向量矩阵 $V$**
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由于 $A$ 对称，右奇异向量矩阵 $V$ 直接取特征向量矩阵：
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$$
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V = Q
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$$
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**步骤 6：组合得到SVD**
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最终SVD形式为：
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$$
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A = U \Sigma V^\top
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$$
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验证：
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$$
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U \Sigma V^\top = (Q S) \Sigma Q^\top = Q (S \Sigma) Q^\top = Q \Lambda Q^\top = A
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$$
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（因为 $S \Sigma = \Lambda$，例如 $\text{diag}(-1) \cdot \text{diag}(2) = \text{diag}(-2)$）。
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### **例子（含正、负、零特征值）**
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设对称矩阵
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$$
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A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
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$$
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1. **特征分解**
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- 特征值：
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$$ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -1, \quad \lambda_3 = 0 $$
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- 特征向量矩阵：
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$$
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Q = \begin{bmatrix}
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
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0 & 1 & 0 \\
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}
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\end{bmatrix}
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$$
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2. **构造SVD**
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- 步骤：
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1. 按 $|\lambda_i|$ 降序排列：$3, 1, 0$（取绝对值后排序）。
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2. 奇异值矩阵：
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$$ \Sigma = \text{diag}(3, 1, 0) $$
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3. 符号调整矩阵：
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$$ S = \text{diag}(1, -1, 1) \quad (\lambda_3=0 \text{ 的符号可任选}) $$
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4. 左奇异向量矩阵：
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$$ U = Q S = \begin{bmatrix}
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
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0 & -1 & 0 \\
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\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}
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\end{bmatrix} $$
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5. 右奇异向量矩阵：
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$$ V = Q $$
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- **验证**：
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$$ U \Sigma V^\top = A $$
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## 网络重构分析
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### 基于扰动理论的特征向量估算方法
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设原矩阵为 $A$，扰动后矩阵为 $A+\zeta C$（扰动矩阵 $\zeta C$，$\zeta$是小参数），令其第 $i$ 个特征值、特征向量分别为 $\lambda_i,x_i$ 和 $\tilde\lambda_i,\tilde x_i$。
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**特征向量的一阶扰动公式：**
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$$
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\Delta x_i
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=\tilde x_i - x_i
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\;\approx\;
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\zeta \sum_{k\neq i}
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\frac{x_k^T\,C\,x_i}{\lambda_i - \lambda_k}\;x_k,
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$$
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- **输出**：对应第 $i$ 个特征向量修正量 $\Delta x_i$。
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**特征值的一阶扰动公式：**
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$$
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\Delta\lambda_i = \tilde\lambda_i - \lambda_i \;\approx\;\zeta\,x_i^T\,C\,x_i
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$$
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**关键假设：**当扰动较小（ $\zeta\ll1$） 且各模态近似正交均匀时，常作进一步近似
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$$
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x_k^T\,C\,x_i \;\approx\; x_i^T\,C\,x_i \;
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$$
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正交： $\{x_k\}$ 本身是正交基，这是任何对称矩阵特征向量天然具有的属性。
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均匀：我们把 $C$ 看作“**不偏向任何特定模态**”的随机小扰动——换句话说，投影到任何两个方向 $(x_i,x_k)$ 上的耦合强度 $x_k^T\,C\,x_i\quad\text{和}\quad x_i^T\,C\,x_i$ 在数值量级上应当差不多，因此可以互相近似。
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因此，将所有的 $x_k^T C x_i$ 替换为 $x_i^T C x_i$：
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$$
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\Delta x_i \approx \zeta \sum_{k\neq i} \frac{x_i^T C x_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \zeta (x_i^T C x_i) \sum_{k\neq i} \frac{1}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
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$$
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$$
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\Delta x_i \approx\sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}
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$$
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问题：
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1. **当前时刻的邻接矩阵**
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$$
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A^{(1)}\in\mathbb R^{n\times n},\qquad
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A^{(1)}\,x_i^{(1)}=\lambda_i^{(1)}\,x_i^{(1)},\quad \|x_i^{(1)}\|=1.
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$$
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2. **下一时刻的邻接矩阵**
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$$
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A^{(2)}\in\mathbb R^{n\times n},
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$$
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**已知**它的第 $i$ 个特征值 $\lambda_i^{(2)}$（卡尔曼滤波得来）. **求**当前时刻的特征向量 $x_i^{(2)}$。
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**下一时刻**第 $i$ 个特征向量的预测为
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$$
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\boxed{
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x_i^{(2)}
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\;=\;
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x_i^{(1)}+\Delta x_i
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\;\approx\;
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x_i^{(1)}
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+\sum_{k\neq i}
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\frac{\lambda_i^{(2)}-\lambda_i^{(1)}}
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{\lambda_i^{(1)}-\lambda_k^{(1)}}\;
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x_k^{(1)}.
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}
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$$
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通过该估算方法可以依次求出下一时刻的所有特征向量。
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### 矩阵符号说明
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- 原始（真实）邻接矩阵 $A$ ,假设 $A$ 的秩为 $r$： $\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_n=0$
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$$
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A = \sum_{m=1}^n \lambda_m\,x_m x_m^T=\begin{align*}
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\sum_{m=1}^r \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=r+1}^n \lambda_m x_m x_m^T = \sum_{m=1}^r \lambda_m x_m x_m^T
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\end{align*},
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$$
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- 滤波估计得到的矩阵及谱分解：
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$$
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\widetilde A = \sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
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\quad \widetilde\lambda_1\ge\cdots\ge\widetilde\lambda_n\;
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$$
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- 只取前 $\kappa$ 项重构 ：
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$$
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A_\kappa \;=\;\sum_{m=1}^\kappa \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
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$$
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- 对 $A_\kappa$ 进行K-means聚类，得到 $A_{final}$
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目标是让 $A_{final}$ = $A$
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### **0/1矩阵**
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其中 $\widetilde{\lambda}_i$ 和 $\widetilde{x}_i$ 分别为通过预测得到矩阵 $\widetilde A$ 的第 $i$ 个特征值和对应特征向量。 然而预测值和真实值之间存在误差，直接进行矩阵重构会使得重构误差较大。 对于这个问题，文献提出一种 0/1 矩阵近似恢复算法。
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$$
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a_{ij} =
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\begin{cases}
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1, & \text{if}\ \lvert a_{ij} - 1 \rvert < 0.5 \\
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0, & \text{else}
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\end{cases}
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$$
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只要我们的估计值与真实值之间差距**小于 0.5**，就能保证阈值处理以后准确地恢复原边信息。
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文中提出网络特征值扰动与邻接矩阵扰动具有相同的规律
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真实矩阵 $A$ 与预测矩阵 $\widetilde{A} $ 之间的差为 （秩为 $r$）
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$$
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A - \widetilde{A}=\sum_{m=1}^r \lambda_m\,x_m x_m^T-\sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T
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$$
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**若假设特征向量扰动可忽略，即$\widetilde x_m\approx x_m$ ，扰动可简化为（这里可能有问题，特征向量的扰动也要计算）**
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$$
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A - \widetilde{A} = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m {x}_m {x}_m^T.
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$$
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||
对于任意元素 $(i, j)$ 上有
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$$
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|a_{ij} - \widetilde{a}_{ij}|=\left| \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m ({x}_m {x}_m^T)_{ij} \right| < \frac{1}{2}
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$$
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||
于一个归一化的特征向量 ${x}_m$，其外积矩阵$ {x}_m {x}_m^T$ 满足
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$$
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|({x}_m {x}_m^T)_{ij}| \leq 1.
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$$
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例：
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$$
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x_m = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\\
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x_m x_m^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
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$$
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每个元素的绝对值$\leq1$
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$$
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\left| \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m (x_m x_m^T)_{ij} \right| \leq \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| \cdot |(x_m x_m^T)_{ij}| \leq \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m|.
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$$
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||
为了确保 $|a_{ij} - \widetilde{a}_{ij}| < \frac{1}{2}$ 对所有 $(i,j)$ 成立,网络精准重构条件为：
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$$
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\sum_{m=1}^r\left| \Delta \lambda_m\right| < \frac{1}{2}
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$$
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0-1 矩阵能够精准重构的容忍上界与网络中的节点数量成反比，网络中节点数量越多，实现精准重构的要求也就越高。
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如果在**高层次**（特征值滤波）的误差累积超过了一定阈值，就有可能在**低层次**（邻接矩阵元素）中出现翻转。公式推导了只要谱参数的误差之和**不超过** 0.5，就可以保证0-1矩阵的精确重构。
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### **非0/1矩阵**
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#### **量化误差**
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对估计矩阵 $\tilde{A}$ 的所有元素 $\{\tilde{a}_{ij}\}$ 进行 $K$-means 聚类，得到每个簇中心 $\{c_k\}_{k=1}^K$。
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- **簇内平均偏差**：
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对于第 $k$簇，算该簇所有点到中心的平均绝对偏差：
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$$
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||
\text{mean}_k = \frac{1}{|\mathcal{S}_k|} \sum_{(i,j)\in\mathcal{S}_k} |\tilde{a}_{ij} - c_k|
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||
$$
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||
|
||
- **全局允许误差**：
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$$
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||
\delta_{\max} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \text{mean}_k
|
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$$
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|
||
#### 对于归一化向量 $x_m$ 的研究
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$$
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||
x_m = \begin{bmatrix} x_{m,1} \\ x_{m,2} \\ \vdots \\ x_{m,d} \end{bmatrix}
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||
$$
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||
$$
|
||
x_m x_m^T =
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||
\begin{bmatrix}
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||
x_{m,1}^2 & x_{m,1}x_{m,2} & \cdots & x_{m,1}x_{m,d} \\
|
||
x_{m,2}x_{m,1} & x_{m,2}^2 & \cdots & x_{m,2}x_{m,d} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
x_{m,d}x_{m,1} & x_{m,d}x_{m,2} & \cdots & x_{m,d}^2
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
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||
|
||
$$
|
||
(x_m x_m^T)_{ij}=x_{m,i}\,x_{m,j}\,,
|
||
$$
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||
**对于任意元素：**由于 $\|x_m\|_2=1$ 且 $|x_{m,i}|\le1$，必有
|
||
$$
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||
|x_{m,i}x_{m,j}|\le1\,.
|
||
$$
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|
||
**对于非对角线元素：**
|
||
|
||
对任意 $i\neq j$，由
|
||
$$
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||
x_{m,i}^2 + x_{m,j}^2 \le \sum_{k=1}^d x_{m,k}^2 = 1
|
||
$$
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||
|
||
$$
|
||
(|x_{m,i}| - |x_{m,j}|)^2 \geq 0 \implies |x_{m,i}|^2 + |x_{m,j}|^2 \geq 2 |x_{m,i}| |x_{m,j}|.
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
|x_{m,i}x_{m,j}| = |x_{m,i}||x_{m,j}| \leq \frac{|x_{m,i}|^2 + |x_{m,j}|^2}{2} = \frac{x_{m,i}^2 + x_{m,j}^2}{2}.
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$$
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||
|
||
$$
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|(x_m x_m^T)_{ij}|=|x_{m,i}x_{m,j}| \le \frac{x_{m,i}^2 + x_{m,j}^2}{2} \le \frac12\,,
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$$
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#### 带权重构需控制两类误差：
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这里暂时忽略特征向量的扰动，即 $x_m=\widetilde x_m$
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1. **滤波误差**$\eta$：
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**来源**：滤波器在谱域对真实特征值/向量的估计偏差，包括
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- 特征值偏差 $\Delta\lambda_m=\lambda_m-\widetilde\lambda_m$
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- **特征向量：矩阵扰动得来**
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- 设矩阵 $A$ 的秩为 $r$
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$$
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A - \widetilde A=\sum_{m=1}^r \lambda_m\,x_m x_m^T-\sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T=\sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m {x}_m {x}_m^T.
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$$
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$$
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\Bigl\|\sum_{m=1}^r \Delta\lambda_m\, x_m x_m^T\Bigr\|_F = \sqrt{\sum_{m=1}^r (\Delta\lambda_m)^2}.
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$$
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2. **截断谱分解误差** $\epsilon$：
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只取前 $\kappa$ 个特征对重构
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$$
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A_\kappa \;=\;\sum_{m=1}^\kappa \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T=\;\sum_{m=1}^\kappa \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T
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$$
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$$
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\widetilde A - A_\kappa=\sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T
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$$
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$$
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\Bigl\|\sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T\Bigr\|_F=\sqrt{\sum_{m = \kappa + 1}^{r} \widetilde{\lambda}_{m}^{2}}.\epsilon
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= \Bigl\|\sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde\lambda_m\, x_m x_m^T\Bigr\|_F=\sqrt{\sum_{m = \kappa + 1}^{r} \widetilde{\lambda}_{m}^{2}}.
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$$
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3. **总的误差**
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$$
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\text{误差矩阵： } A - A_\kappa = \left( A - \widetilde{A} \right) + \left( \widetilde{A} - A_\kappa \right) = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde{\lambda}_m x_m x_m^T
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$$
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- 研究单个元素误差：
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$$
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\text{元素误差绝对值：}|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| \cdot |(x_m x_m^T)_{ij}| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m| \cdot |(x_m x_m^T)_{ij}|
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$$
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对于非对角线元素，由于 $|(x_m x_m^T)_{ij}| \leq \frac12$（归一化特征向量）：
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$$
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|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)
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$$
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- 研究整个矩阵误差：
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$$
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\| A - A_\kappa \|_F^2 = \left\| \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde{\lambda}_m x_m x_m^T \right\|_F^2
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$$
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而 $\| x_m x_m^T \|_F = \sqrt{\text{tr}(x_m x_m^T x_m x_m^T)} = \sqrt{\text{tr}(x_m x_m^T)} = \| x_m \|_2 = 1$，因此：
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$$
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\| A - A_\kappa \|_F^2 = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m^2 + \sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde{\lambda}_m^2
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$$
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最终：
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$$
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\| A - A_\kappa \|_F = \sqrt{ \sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m|^2 + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde{\lambda}_m|^2 }
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$$
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4. **最终约束条件**：
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|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq 量化阈值\tau
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\frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)\leq 量化阈值\tau
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$$
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#### 量化阈值推导
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要保证重构矩阵 $A_\kappa$ 在每个位置上“落到”正确的某一 簇而不搞混，就必须让重构误差的最大绝对值严格小于任意两个相邻量化级别之间的半距（half‐spacing）。具体地：
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1. **量化级别及间距定义**
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设原始矩阵元素只能取 $K$ 个离散值：
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$$
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v_1 < v_2 < \cdots < v_K,
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$$
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相邻级别间距为：
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d_m = v_{m+1} - v_m,\quad m=1,\dots,K-1.
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$$
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2. **最小间距确定**
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计算所有相邻级别的最小间距：
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$$
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d_{\min} = \min_{1\le m\le K-1} d_m.
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$$
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3. **通用误差阈值**
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为确保重构值不会"越界"到相邻级别，取阈值：
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\boxed{\tau = \frac{d_{\min}}{2}.}
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$$
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**示例：**
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1. 0-1矩阵，$a=0, b=1,K=2$，量化阈值为0.5。
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2. 量化级别 $\{0,\,0.3,\,0.7,\,1\}$ ，$K=4$ 时：
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- 相邻间距：$0.3, 0.4, 0.3$
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- $d_{\min}=0.3$，故 $\tau=0.15$
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#### 维数选择推导
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\frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)\leq 量化阈值\tau
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$$
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已知 $\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m|=\eta$ ，量化阈值 $\tau$ ，令 $s=2\tau-\eta$ ,设截断谱分解误差为 $\epsilon$
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$$
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\epsilon \leq 2\tau-\eta
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$$
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借助**前缀和＋二分查找**寻找最小的 $\kappa$ ：
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1. **预处理：计算前缀和**
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2. 设绝对值降序的估计特征值列表为 $\bigl|\widetilde\lambda_1\bigr| \ge \bigl|\widetilde\lambda_2\bigr| \ge \cdots \ge \bigl|\widetilde\lambda_r\bigr|$，
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计算它们的前缀和：
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$$
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S_k = \sum_{m=1}^k \bigl|\widetilde\lambda_m\bigr|, \quad k=0,1,\dots,r, \quad S_0=0.
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$$
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总和 $S_r = \sum_{m=1}^r \bigl|\widetilde\lambda_m\bigr|$ 对应 $\kappa=0$ 时的最大截断误差。
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3. **将「尾和 ≤ 预算 $s$」转成前缀和条件**
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记预算 $s = 2\tau - \eta$，尾部累积（截断误差）为：
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$$
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T(k) = \sum_{m=k+1}^r \bigl|\widetilde\lambda_m\bigr| = S_r - S_k.
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$$
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条件 $T(k) \le s$ 等价于：
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$$
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S_k \ge S_r - s.
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$$
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定义阈值：
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$$
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\theta = S_r - s.
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$$
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4. **二分查找最小 $\kappa$**
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在已排好序的数组 $S_k$（严格单调递增或非减）中，用二分查找找出最小的 $k$ 使得
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$$
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S_k \;\ge\;\theta.
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$$
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此 $k$ 即为所求的最小截断秩 $\kappa$。
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**伪代码：**
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```python
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# 输入：绝对值降序的估计特征值列表 |λ̃₁| ≥ |λ̃₂| ≥ ... ≥ |λ̃ᵣ|, 预算 s ≥ 0
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S = [0] * (r+1) # 前缀和数组初始化
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for k in range(1, r+1):
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S[k] = S[k-1] + |λ̃ₖ| # 计算前缀和（实际代码中需替换 |λ̃ₖ| 为具体变量）
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θ = S[r] - s # 计算查找阈值
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# 在 S[0..r] 中二分查找最小 k 使得 S[k] ≥ θ
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low, high = 0, r
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while low < high:
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mid = (low + high) // 2
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if S[mid] < θ:
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low = mid + 1
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else:
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high = mid
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κ = low # 最终得到的最小截断
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```
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如果量化阈值不一样，你需要**预先**知道矩阵的某个元素$|(A - A_\kappa)_{ij}|$的真实值属于哪个类别（1、4、10），以给元素误差不同的量化阈值，而不是默认的 $d_{\min}$
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$$
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\text{误差矩阵： } A - A_\kappa = \left( A - \widetilde{A} \right) + \left( \widetilde{A} - A_\kappa \right) = \sum_{m=1}^r \Delta \lambda_m x_m x_m^T + \sum_{m=\kappa+1}^r \widetilde{\lambda}_m x_m x_m^T
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$$
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而且不能进行放缩：
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$$
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|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right)
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$$
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这个式子会导致误差矩阵每个位置的元素取了同样的上界（即都有同样的误差），不能体现真实的误差。
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方法一：
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实验法，选取若干组数据做实验，
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数据包括真实矩阵 $A$ 和重构矩阵 $A_\kappa$ ，选取不同的 $\kappa$ 值计算误差矩阵 $E(\kappa)$ ，根据真实矩阵A，预先知道$E(\kappa)$ 每个位置的量化阈值，若每个位置$E(\kappa)$ 都小于其的量化阈值，那么当前的 $\kappa$ 符合条件。
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方法二：
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$$
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|(A - A_\kappa)_{ij}| \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{m=1}^r |\Delta \lambda_m| + \sum_{m=\kappa+1}^r |\widetilde\lambda_m|\right) \leq \min_{1\le m\le K-1} d_m.
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$$
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滤波误差：
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高飞、李镇和都是**实验统计**误差加和获取 + 幂律分布和线性分布 精度预估？？
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量化的间隔是不是就和分布有关，有无其他影响因素。
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通信原理，采样量化。
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压缩感知的话量化分隔不是均匀的。
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假设都是破松分布
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估计带权邻接矩阵（存在量化误差），比较分布式算法的误差。
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