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# 数学基础
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## 求解一阶非齐线性微分方程
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考虑方程
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$$
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y' + y = x
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**第一步：求齐次方程的通解**
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先求对应的齐次方程
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y' + y = 0
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$$
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其解为
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y_h = Ce^{-x}
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其中 $C$ 为任意常数。
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**第二步：设特解形式**
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利用常数变易法，令特解取形式
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$$
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y_p = u(x) e^{-x}
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$$
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其中 $u(x)$ 为待定函数。
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**第三步：求导并代入原方程**
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计算 $y_p$ 的导数：
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$$
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y_p' = u'(x)e^{-x} - u(x)e^{-x}
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$$
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将 $y_p$ 和 $y_p'$ 代入原方程 $y' + y = x$：
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$$
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\bigl[u'(x)e^{-x} - u(x)e^{-x}\bigr] + u(x)e^{-x} = u'(x)e^{-x} = x
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$$
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因此有：
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$$
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u'(x) = x e^{x}
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$$
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**第四步：求 $u(x)$**
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对 $u'(x)$ 积分：
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$$
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u(x) = \int x e^{x} dx
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$$
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计算积分，可以用分部积分法：令
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$$
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\begin{cases}
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u = x, \quad dv = e^x dx,\\[1mm]
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du = dx, \quad v = e^x,
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\end{cases}
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$$
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得：
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$$
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\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1 = e^x (x-1) + C_1
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$$
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注意这里求得的常数 $C_1$可以忽略，因为它会与齐次解合并。故我们取
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$$
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u(x) = e^x (x-1)
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$$
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**第五步：构造特解并给出通解**
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将 $u(x)$ 带回特解形式：
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$$
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y_p = u(x)e^{-x} = e^x (x-1) e^{-x} = x-1
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$$
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因此，原方程的通解为齐次解与特解的和：
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$$
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y = y_h + y_p = Ce^{-x} + (x-1)
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$$
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## 梯度下降
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我们可以用一个简单的线性层作为例子，展示如何利用向量和矩阵计算梯度并更新参数。假设有一个全连接层，其计算公式为
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$$
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y = W x + b
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$$
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其中
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- $x \in \mathbb{R}^2$ 是输入向量
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- $W \in \mathbb{R}^{2\times2}$ 是权重矩阵
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- $b \in \mathbb{R}^2$ 是偏置向量
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- $y \in \mathbb{R}^2$ 是输出向量
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我们使用均方误差（MSE）作为损失函数，定义为
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$$
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L = \frac{1}{2} \|y - y_{\text{true}}\|^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2}(y_i - y_{\text{true}, i})^2
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$$
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**设定具体数值**
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- 输入向量：
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x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
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$$
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- 权重矩阵：
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$$
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W = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
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$$
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- 偏置向量：
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$$
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b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
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$$
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- 真实输出：
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$$
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y_{\text{true}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 13 \end{pmatrix}
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$$
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#### **步骤 1：前向传播**
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计算输出 $y$：
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$$
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y = W x + b = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
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$$
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首先计算矩阵乘法：
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$$
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W x = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 \\ 3\cdot1 + 4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 \\ 3+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}
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$$
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再加上偏置 $b$ 得到
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$$
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y = \begin{pmatrix} 5+1 \\ 11+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix}
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$$
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计算损失 $L$：
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$$
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L = \frac{1}{2} \left[(6-7)^2 + (12-13)^2\right] = \frac{1}{2} \left[(-1)^2 + (-1)^2\right] = \frac{1}{2} (1+1) = 1
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$$
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#### **步骤 2：反向传播，计算梯度**
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首先，我们定义误差向量为
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$$
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e = y - y_{\text{true}} = \begin{pmatrix} 6-7 \\ 12-13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
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$$
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由于损失函数
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$$
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L = \frac{1}{2}\|y - y_{\text{true}}\|^2
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$$
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对 $y$ 的偏导数为
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$$
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\frac{\partial L}{\partial y} = y - y_{\text{true}} = e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
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$$
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接下来，我们利用链式法则将梯度传递到 $W$ 和 $b$。
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**1. 梯度对 $W$ 的求导**
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对于输出层有
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$$
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y = W x + b
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$$
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每个元素 $y_i$ 对 $W_{ij}$ 的偏导数为
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$$
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\frac{\partial y_i}{\partial W_{ij}} = x_j
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$$
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利用链式法则，损失对 $W_{ij}$ 的梯度为
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$$
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\frac{\partial L}{\partial W_{ij}} = \frac{\partial L}{\partial y_i} \cdot \frac{\partial y_i}{\partial W_{ij}} = e_i \, x_j
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$$
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用矩阵形式写就是：
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$$
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\frac{\partial L}{\partial W} = e \cdot x^\top
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$$
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将数值代入：
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$$
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e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad x^\top = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}
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$$
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所以，
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$$
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\frac{\partial L}{\partial W} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot1 & -1\cdot2 \\ -1\cdot1 & -1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
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$$
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**2.梯度对 $b$ 的求导**
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由于 $y = W x + b$，且对 $b$ 的偏导数为 1，
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$$
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\frac{\partial L}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial b} = e \cdot 1 = e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
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$$
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#### **步骤 3：使用梯度下降更新参数**
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设定学习率 $\eta = 0.1$，更新公式为
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$$
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W_{\text{new}} = W - \eta \frac{\partial L}{\partial W}, \quad b_{\text{new}} = b - \eta \frac{\partial L}{\partial b}
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$$
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**更新 $W$**
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$$
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W_{\text{new}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 0.1 \cdot \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0.1 & 2 + 0.2 \\ 3 + 0.1 & 4 + 0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1 & 2.2 \\ 3.1 & 4.2 \end{pmatrix}
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$$
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**更新 $b$**
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$$
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b_{\text{new}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 0.1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0.1 \\ 1 + 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1 \\ 1.1 \end{pmatrix}
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$$
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#### **总结**
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在这个例子中，我们展示了如何用向量和矩阵的形式计算一个简单全连接层的前向传播、损失以及对参数 $W$ 和 $b$ 的梯度。关键步骤如下：
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1. **前向传播**：计算 $y = W x + b$ 得到输出，再计算损失 $L = \frac{1}{2}\|y - y_{\text{true}}\|^2$
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2. **反向传播**：
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- 计算误差向量 $e = y - y_{\text{true}}$
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- 利用链式法则得出梯度：
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$\frac{\partial L}{\partial W} = e \cdot x^\top$
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$\frac{\partial L}{\partial b} = e$
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3. **参数更新**：通过梯度下降将参数沿负梯度方向调整
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这样，我们就得到了更新后的参数 $W_{\text{new}}$ 和 $b_{\text{new}}$。这种向量或矩阵形式的梯度计算方法在真实神经网络中是普遍应用的，能够有效处理高维数据和大规模参数。
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## 期望、方差、协方差
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### 期望
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E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i)
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$$
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其中： $x_i$ 是随机变量$X$ 的取值， $P(x_i)$ 是 $x_i$ 发生的概率。
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**性质**
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1. **线性性**：
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$$
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E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
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$$
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2. **独立变量**：
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$$
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E(XY) = E(X)E(Y) \quad (\text{当}X,Y\text{独立时})
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$$
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3. **常数处理**：
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$$
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E(c) = c
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$$
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### 方差
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**标准差**
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$$
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\sigma =\sqrt{\frac{\textstyle\sum_{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline{x})}^{2}}{n}}
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$$
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**方差**
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它是一个**标量**，表示一个单一随机变量的变动程度。
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$$
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Var(X)=\mathrm{E}[{(X-\mu) }^{2}]= {\sigma}^{2}
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$$
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**性质**
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$$
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Var(X)=\mathrm{E}({X}^{2})-{[\mathrm{E}(X)]}^{2} \\
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Var(kX)={k}^{2}Var(X)
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$$
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若X和Y是独立的随机变量
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$$
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Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
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$$
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### **协方差**
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给定两个随机变量 $X$ 和 $Y$，其协方差计算公式为：
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$$
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\text{Cov}(X,Y) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu_X)(y_i - \mu_Y)
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$$
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其中：
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- $x_i, y_i$ 为观测值
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- $\mu_X, \mu_Y$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的样本均值
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直观理解：如果有$X$,$Y$两个变量，$X$增大，$Y$也**倾向**于增大，$Cov(X,Y)>0$,正相关；$X$增加，$Y$倾向于减小->负相关;否则不相关。
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推广：概率分布中的协方差
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$\text{Cov}(X,Y) =\sum_{i=1}^n {p}_{i}({x}_{i}-{\mu }_{\mathrm{X}})({\mathcal{y}}_{i}-{\mu }_{Y})=E\left[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\right]$
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**性质**
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1. 对称性
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$$
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\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)
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$$
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- 协方差的计算与变量顺序无关
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2. 线性性
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$$
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\text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \cdot \text{Cov}(X, Y)
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$$
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3. 零自协方差
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$$
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\text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X)
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$$
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4. 分解性
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$$
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\text{Cov}(X_1 + X_2, Y) = \text{Cov}(X_1, Y) + \text{Cov}(X_2, Y)
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$$
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5. 标量倍数
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$$
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\text{Cov}(aX, bY) = ab \cdot \text{Cov}(X, Y)
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$$
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$\text{cov}(AX, AX) = A\text{cov}(X, X)A^T$
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**推导：**
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(1) 展开协方差定义
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$$
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\text{cov}(AX, AX) = \mathbb{E}[(AX - \mathbb{E}[AX])(AX - \mathbb{E}[AX])^T]
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$$
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(2) 线性期望性质
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$$
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\mathbb{E}[AX] = A\mathbb{E}[X] \\
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\Rightarrow AX - \mathbb{E}[AX] = A(X - \mathbb{E}[X])
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$$
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(3) 代入展开式
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$$
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= \mathbb{E}[A(X - \mathbb{E}[X])(A(X - \mathbb{E}[X]))^T] \\
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= \mathbb{E}[A(X - \mathbb{E}[X])(X - \mathbb{E}[X])^T A^T]
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||
$$
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(4) 提取常数矩阵
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$$
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= A \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(X - \mathbb{E}[X])^T] A^T
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$$
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(5) 协方差矩阵表示
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$$
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= A \text{cov}(X, X) A^T
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$$
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### **协方差矩阵**
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对于一个随机向量 $\mathbf{X} = [X_1, X_2, \dots, X_n]^T$，其中 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是 $n$ 个随机变量，协方差矩阵 $\Sigma$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其**元素**表示不同**随机变量**之间的**协方差**。
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（注意：每对变量指的是$\mathbf{X}$中任意两个分量之间的组合，如$X_1, X_2$）
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协方差矩阵的元素是通过计算每对随机变量之间的协方差来获得的。协方差矩阵 $\Sigma$ 的元素可以表示为：
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$$
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\Sigma = \begin{bmatrix}
|
||
\text{Cov}(X_1, X_1) & \text{Cov}(X_1, X_2) & \dots & \text{Cov}(X_1, X_n) \\
|
||
\text{Cov}(X_2, X_1) & \text{Cov}(X_2, X_2) & \dots & \text{Cov}(X_2, X_n) \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
\text{Cov}(X_n, X_1) & \text{Cov}(X_n, X_2) & \dots & \text{Cov}(X_n, X_n) \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
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其中：
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- 对角线上的元素 $\text{Cov}(X_i, X_i)$ 是每个变量的方差，即 $\text{Var}(X_i)$。
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- 非对角线上的元素 $\text{Cov}(X_i, X_j)$ 是变量 $X_i$ 和 $X_j$ 之间的协方差。
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**计算举例**
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假设我们有 **3 个特征**（$n=3$）和 **4 个样本**（$m=4$），则数据矩阵 $X$ 的构造如下：
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$$
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X =
|
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\begin{bmatrix}
|
||
x_1^{(1)} & x_1^{(2)} & x_1^{(3)} & x_1^{(4)} \\
|
||
x_2^{(1)} & x_2^{(2)} & x_2^{(3)} & x_2^{(4)} \\
|
||
x_3^{(1)} & x_3^{(2)} & x_3^{(3)} & x_3^{(4)}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
假设特征为：
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- 第1行 $x_1$：身高（cm）
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- 第2行 $x_2$：体重（kg）
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- 第3行 $x_3$：年龄（岁）
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||
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对应4个样本（人）的数据：
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||
$$
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||
X =
|
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\begin{bmatrix}
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||
170 & 165 & 180 & 155 \\
|
||
65 & 55 & 75 & 50 \\
|
||
30 & 25 & 40 & 20
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
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||
|
||
1. **中心化数据**（每行减去均值）：
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||
|
||
- 计算每行均值：
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$$
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\mu_1 = \frac{170+165+180+155}{4} = 167.5, \quad \mu_2 = 61.25, \quad \mu_3 = 28.75
|
||
$$
|
||
|
||
- 中心化后的矩阵 $X_c$：
|
||
$$
|
||
X_c =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2.5 & -2.5 & 12.5 & -12.5 \\
|
||
3.75 & -6.25 & 13.75 & -11.25 \\
|
||
1.25 & -3.75 & 11.25 & -8.75
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
2. **计算协方差矩阵**：
|
||
$$
|
||
\text{Cov} = \frac{1}{m} X_c X_c^T = \frac{1}{4}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2.5 & -2.5 & 12.5 & -12.5 \\
|
||
3.75 & -6.25 & 13.75 & -11.25 \\
|
||
1.25 & -3.75 & 11.25 & -8.75
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2.5 & 3.75 & 1.25 \\
|
||
-2.5 & -6.25 & -3.75 \\
|
||
12.5 & 13.75 & 11.25 \\
|
||
-12.5 & -11.25 & -8.75
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
最终结果（对称矩阵）：
|
||
$$
|
||
\text{Cov} \approx
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
93.75 & 100.31 & 62.50 \\
|
||
100.31 & 120.31 & 75.00 \\
|
||
62.50 & 75.00 & 48.44
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
- 对角线是各特征的方差（如身高的方差为93.75）
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- 非对角线是协方差（如身高与体重的协方差为100.31）
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### **如何生成均值为0，协方差为Q的噪声?**
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1. 生成标准正态随机变量
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$$
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\mathbf{Z} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})
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$$
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2. 进行线性变换
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$$
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\mathbf{w}_k = \sqrt{\mathbf{Q}} \cdot \mathbf{Z}
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$$
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其中 $\sqrt{\mathbf{Q}}$ 是 $\mathbf{Q}$ 的矩阵平方根。
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3. 验证其协方差确实为Q：
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$$
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\begin{aligned}
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\text{Cov}(\mathbf{w}_k) &= \mathbb{E}[\mathbf{w}_k\mathbf{w}_k^T] \\
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&= \sqrt{\mathbf{Q}} \cdot \mathbb{E}[\mathbf{Z}\mathbf{Z}^T] \cdot \sqrt{\mathbf{Q}}^T \\
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&= \sqrt{\mathbf{Q}} \cdot \mathbf{I} \cdot \sqrt{\mathbf{Q}}^T \\
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&= \mathbf{Q}
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\end{aligned}
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$$
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**Python代码示例**
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```python
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import numpy as np
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# 定义协方差矩阵
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Q = np.array([[0.1, 0.05],
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[0.05, 0.2]])
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# Cholesky分解
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L = np.linalg.cholesky(Q) # L @ L.T = Q
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# 生成标准正态随机数
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Z = np.random.randn(2)
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# 生成目标噪声
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w = L @ Z # 等价于 np.dot(L, Z)
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```
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## 高斯分布
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高斯分布的概率密度函数：
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$$
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\mathcal{f}(\mathcal{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \begin{pmatrix}-\frac{{(x-u)}^{2}}{2{\sigma }^{2}}
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\end{pmatrix}
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$$
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- x 在 μ-σ 和 μ+σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 68.2%；
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- x 在 μ-2σ 和 μ+2σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 95.4%；
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- x 在 μ-3σ 和 μ+3σ 之间的样本数量占到整个样本数量的99.6%；
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## 数据融合
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当前最优值=当前的先验估计值和观测值进行融合
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我们通常会尝试最小化方差，以尽可能减小状态估计的不确定性，从而获得更可靠和准确的估计结果
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## 拉普拉斯变换
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### 拉普拉斯变换的定义
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对于一个给定的时间域函数 \( f(t) \)，其拉普拉斯变换 \( F(s) \) 定义为：
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$$
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F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) \, dt
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$$
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这里的 \( s \) 是一个复数，通常写作 $ s = \sigma + j\omega $，其中 $\sigma$ 和 $ \omega $ 分别是实部和虚部。
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### 拉普拉斯变换的作用
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- **简化微分方程**：拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程，从而简化求解过程。
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- **系统分析**：在控制理论中，拉普拉斯变换用来分析系统的稳定性和频率响应。
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- **信号处理**：在信号处理中，拉普拉斯变换帮助分析信号的频谱和系统的滤波特性。
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### 例子：单一指数函数的拉普拉斯变换
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假设有一个函数 $f(t) = e^{-at} $（其中 \( a \) 是一个正常数），我们想计算它的拉普拉斯变换。根据拉普拉斯变换的定义：
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$$
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F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-at} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t} \, dt
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$$
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这个积分可以解为：
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$$
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F(s) =
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\begin{bmatrix}
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\frac{e^{-(s+a)t}}{-(s+a)}
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\end{bmatrix}_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+a}
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$$
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因为当 $ t \to \infty $ 时，$ e^{-(s+a)t} $ 趋向于 0，前提是 $ Re(s+a) > 0 $（即 $s $ 的实部加 $ a $ 必须是正的）。
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## 幂迭代
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原理：每一次迭代都相当于将当前向量乘以 $A$ 后再归一化。由于矩阵 $A$ 作用下，初始向量中 $v_1$ 分量对应的系数**会按 $\lambda_1$ 的 $k$ 次幂**增长，而其他特征向量分量增长较慢（因为它们对应的特征值模较小），故随着迭代次数的增加，向量逐渐趋向于 $v_1$ 的方向。
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## 拉普拉斯矩阵
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### **拉普拉斯矩阵及其性质**
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对于一个无向图 \(G = (V, E)\)，其拉普拉斯矩阵 \(L\) 通常定义为
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$$
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L = D - A,
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$$
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其中：
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- \(D\) 是度矩阵，一个对角矩阵，其对角元 \($d_i$\) 为顶点 \(i\) 的度数；
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- \(A\) 是邻接矩阵，反映了图中各顶点之间的连接关系。
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示例：
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考虑一个简单的无向图，该图包含三个顶点：1, 2, 3，以及两条边： - 边 (1, 2) - 边 (2, 3)
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**邻接矩阵 \(A\)**
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$$
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A = \begin{pmatrix}
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0 & 1 & 0 \\
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1 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & 0
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\end{pmatrix}.
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$$
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**度矩阵 \(D\)**
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$$
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D = \begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & 2 & 0 \\
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0 & 0 & 1
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||
\end{pmatrix}.
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$$
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**拉普拉斯矩阵 \(L\)**
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将上面两个矩阵相减得到
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$$
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L = \begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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||
0 & 2 & 0 \\
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||
0 & 0 & 1
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||
\end{pmatrix}
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||
-
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||
\begin{pmatrix}
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||
0 & 1 & 0 \\
|
||
1 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 1 & 0
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
1 & -1 & 0 \\
|
||
-1 & 2 & -1 \\
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||
0 & -1 & 1
|
||
\end{pmatrix}.
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||
$$
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||
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||
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||
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令常数向量
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$$
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\mathbf{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
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$$
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则有
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$$
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L\mathbf{1} = \begin{pmatrix}
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1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\
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-1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \\
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||
0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1
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||
\end{pmatrix}
|
||
=
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||
\begin{pmatrix}
|
||
1 - 1 + 0 \\
|
||
-1 + 2 - 1 \\
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||
0 - 1 + 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 \\
|
||
0 \\
|
||
0
|
||
\end{pmatrix}.
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||
$$
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||
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||
这说明常数向量 \($\mathbf{1}$\) 是 \(L\) 的零空间中的一个向量，即零特征值对应的特征向量。
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**主要性质**
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1. 对称性
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由于对于无向图，邻接矩阵 \(A\) 是对称的，而度矩阵 \(D\) 本身也是对称的（因为它是对角矩阵），所以拉普拉斯矩阵 \(L\) 也是对称矩阵。
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2. 正半定性
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对于任意实向量 \(x\)，都有：
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$$
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x^T L x = \sum_{(i,j) \in E} (x_i - x_j)^2 \ge 0.
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$$
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这说明 \(L\) 是正半定矩阵，即其所有特征值均非负。
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3. 零特征值与连通分量
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- 对于**任意图**，都有
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$$
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L \mathbf{1} = \mathbf{0},
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$$
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其中 $\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)^T$，因此 $0$ 一定是 $L$ 的一个特征值。
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因为拉普拉斯矩阵的定义为 $L = D - A$，其中每一行的元素之和为零，所以当向量所有分量都相等时，每一行的加权求和自然等于零。
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||
|
||
- 更进一步，**零特征值的重数等于图的连通分量(独立的子图)个数**。也就是说，如果图 \(G\) 有 \(k\) 个连通分量，则 \(L\) 的零特征值重数为 \(k\)。
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**简单证明思路**
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考虑图中每个连通分量，对于某个连通分量内的所有顶点，可以构造一个特征向量，使得在该连通分量中所有分量取相同常数，而在其他部分取零。由于该连通分量内部的任意两个顶点都是连通的，该特征向量满足 $Lx = 0$。这样，对于每个连通分量都可以构造出一个线性无关的零特征值特征向量，从而零特征值的重数至少为连通分量的数量；进一步证明可以证明重数不会超过这个数量。
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4. **谱分解及应用**
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由于 \(L\) 是对称正半定矩阵，其可以进行谱分解：
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$$
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L = U \Lambda U^T,
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$$
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其中$U$ 是**正交矩阵**，$\Lambda$ 是包含 $L$ 所有非负特征值的**对角矩阵**。
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这一性质使得拉普拉斯矩阵在谱聚类、图分割等应用中非常有用。
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总结
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拉普拉斯矩阵 $L = D - A$是描述图结构的重要工具，具有如下主要性质：
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- **对称性**：$L$是对称矩阵；
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- **正半定性**：任意向量 $x$ 有 $x^T L x \ge 0$；
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- **零特征值**：$L$ 总有零特征值，且其重数与图的连通分量个数相等；
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- **谱分解**：$L$ 可进行正交谱分解，广泛应用于图的聚类与分割等领域。
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这些性质不仅在理论上非常重要，而且在图论和数据分析等实际问题中有广泛的应用。
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### **平均拉普拉斯矩阵：**
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### **归一化拉普拉斯矩阵**
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为了在某些应用中（例如谱聚类、图卷积网络等）获得更好的数值性质和归一化效果，我们可以构造 **对称归一化拉普拉斯矩阵**，记为 $L_{sym}$，定义为
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$$
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L_{sym} = D^{-1/2} L D^{-1/2} = I - D^{-1/2} A D^{-1/2},
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$$
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其中
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- $D^{-1/2}$ 表示度矩阵的逆平方根，
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- $I$ 为单位矩阵。
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$$
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D = \begin{pmatrix}
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4 & 0 & 0 \\
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0 & 9 & 0 \\
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0 & 0 & 16
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\end{pmatrix}.
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D^{-1/2} = \begin{pmatrix}
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\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
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0 & \frac{1}{3} & 0 \\
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0 & 0 & \frac{1}{4}
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||
\end{pmatrix}.
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$$
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**主要特点**
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1. **归一化**：
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通过 $D^{-1/2}$ 的两侧预处理，将不同顶点的度数影响消除，使得矩阵在谱分解时能更好地反映图的结构。
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2. **对称性**：
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$L_{sym}$ 是对称矩阵，这意味着它可以进行正交谱分解，其特征值均为实数。
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3. **谱性质**：
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$L_{sym}$ 的特征值都位于区间 $[0, 2]$ 内。这一性质对于很多图论算法的稳定性和收敛性分析都非常重要。
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## Fiedler向量
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根据谱分解理论，$L$ 的特征值满足
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$$
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x 0 = \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n.
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$$
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其中，$\lambda_1 = 0$ 对应的特征向量通常为所有分量相同的常数向量。而 **Fiedler 向量** 就是对应于 $\lambda_2$ (第二小的特征值)的特征向量。
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**图的谱划分**
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1. 构建图的拉普拉斯矩阵
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- 根据给定的图结构,构建图的拉普拉斯矩阵 $L$。
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2. 计算 Fiedler 向量
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- 求解拉普拉斯矩阵 $L$ 的第二小特征值对应的特征向量,即 Fiedler 向量。
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3. 根据 Fiedler 向量进行图划分
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- 将 Fiedler 向量的元素按大小**排序**。
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- 找到 Fiedler 向量元素值为 0 附近的分界点,将图划分为两个子图。
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**Fiedler 向量在连接紧密的顶点上的取值往往比较接近**
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$$
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Fiedler 向量 :xv = \begin{pmatrix}0.8 \\0.7 \\0.6 \\-0.5 \\-0.6 \\-0.7\end{pmatrix}.
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$$
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- 正值部分：对应顶点 1, 2, 3；
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- 负值部分：对应顶点 4, 5, 6。
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经过这种划分后，通常会发现：
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- 子图内部：顶点之间的连接较为紧密（边较多），
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- 子图之间：连接较弱（边较少或只有一两条边）。
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4. 递归划分子图（可选）
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- 对划分得到的两个子图,分别递归应用上述步骤(1-3步),进一步将其划分为更小的子图。
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- 这样可以将原图层层划分为多个子图。
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5. 确定最终聚类结果
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- 根据上述划分过程得到的多个子图,就对应了图的最终聚类结果。
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- 每个子图内的节点被认为属于同一个聚类。
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## 谱聚类
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谱聚类的基本思想是通过图的特征向量将数据点映射到低维空间中，然后在这个低维空间中使用传统的聚类技术。
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**1.构造相似性图**
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- **数据表示**：
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给定数据点 $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$。
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- **相似性矩阵 $W$**：
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根据数据点之间的距离或相似性构造矩阵 $W$。常见方法包括：
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- **Gaussian 核函数**：
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$$
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W_{ij} = \exp\Bigl(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\Bigr),
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$$
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只有当 $x_i$ 与 $x_j$ 彼此接近时， $W_{ij}$ 才较大；衡量数据点之间的距离并将其映射为一个 [0, 1] 之间的相似性值。
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其中 $\sigma$ 为尺度参数，当 $\sigma$ 较小时，只有非常接近的数据点才会被认为是相似的
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**K近邻图**：仅连接每个点与其 $k$ 个最近邻之间的边，其余 $W_{ij} = 0$。
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**2.构造图拉普拉斯矩阵**
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- 对称归一化拉普拉斯矩阵
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- 未归一化的拉普拉斯矩阵
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**3.计算特征向量**
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对选定的拉普拉斯矩阵（例如 $L_{sym}$）进行特征分解，求出**前 $k$ 个最小特征值**对应的特征向量。
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注意：对于未归一化的拉普拉斯矩阵，零特征值对应的特征向量通常是常数向量，所以在分解时忽略这个解，选择第二小开始的 $k$ 个特征向量。
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**4.构造嵌入空间**
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- **形成矩阵 $U$**：
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将求得的 $k$ 个特征向量作为**列**组成矩阵
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$$
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U = \begin{pmatrix}
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u_1(1) & u_2(1) & \cdots & u_k(1) \\
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u_1(2) & u_2(2) & \cdots & u_k(2) \\
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||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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||
u_1(n) & u_2(n) & \cdots & u_k(n)
|
||
\end{pmatrix}.
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||
$$
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||
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||
其中，每一行对应原数据点在低维空间中的表示。
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||
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||
- **归一化（可选）**：
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对于对称归一化的情况，可以对 $U$ 的每一行做归一化处理，使得每一行变为单位向量，这一步有助于后续聚类的稳定性。
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**5.聚类**
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**使用 k-means 等传统聚类算法**：
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在低维嵌入空间中，每一行表示一个数据点的低维表示，然后对这些点进行聚类。
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得到每个数据点对应的簇标签。
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**谱聚类示例（6个数据点分成3类）**
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假设数据点为
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$$
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x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=5,\quad x_4=6,\quad x_5=10,\quad x_6=11.
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$$
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直观上我们希望将它们分为3类：
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- 类1：靠近 1、2
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- 类2：靠近 5、6
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- 类3：靠近 10、11
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---
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**1. 构造相似性矩阵 $W$**
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采用 **Gaussian 核函数**
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$$
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W_{ij}=\exp\Bigl(-\frac{(x_i-x_j)^2}{2\sigma^2}\Bigr).
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$$
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取 $\sigma=2$（参数可调），则分母为 $2\sigma^2=8$。
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计算部分相似性（近似值）：
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- $x_1,x_2: \; |1-2|^2=1,\quad W_{12}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$
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||
- $x_1,x_3: \; |1-5|^2=16,\quad W_{13}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$
|
||
- $x_1,x_4: \; |1-6|^2=25,\quad W_{14}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$
|
||
- $x_1,x_5: \; |1-10|^2=81,\quad W_{15}=\exp(-81/8)\approx0.00004.$
|
||
- $x_1,x_6: \; |1-11|^2=100,\quad W_{16}=\exp(-100/8)\approx0.00001.$
|
||
|
||
- $x_2,x_3: \; |2-5|^2=9,\quad W_{23}=\exp(-9/8)\approx0.3247.$
|
||
- $x_2,x_4: \; |2-6|^2=16,\quad W_{24}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$
|
||
- $x_2,x_5: \; |2-10|^2=64,\quad W_{25}=\exp(-64/8)=\exp(-8)\approx0.000335.$
|
||
- $x_2,x_6: \; |2-11|^2=81,\quad W_{26}=\exp(-81/8)\approx0.00004.$
|
||
|
||
- $x_3,x_4: \; |5-6|^2=1,\quad W_{34}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$
|
||
- $x_3,x_5: \; |5-10|^2=25,\quad W_{35}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$
|
||
- $x_3,x_6: \; |5-11|^2=36,\quad W_{36}=\exp(-36/8)=\exp(-4.5)\approx0.0111.$
|
||
|
||
- $x_4,x_5: \; |6-10|^2=16,\quad W_{45}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$
|
||
- $x_4,x_6: \; |6-11|^2=25,\quad W_{46}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$
|
||
|
||
- $x_5,x_6: \; |10-11|^2=1,\quad W_{56}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$
|
||
|
||
由于 $W$ 是对称矩阵，对角元一般取 0（或1，根据需求），我们构造相似性矩阵 $W$ 为
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$$
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W=\begin{pmatrix}
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0 & 0.8825 & 0.1353 & 0.0439 & 0.00004 & 0.00001 \\
|
||
0.8825 & 0 & 0.3247 & 0.1353 & 0.000335& 0.00004 \\
|
||
0.1353 & 0.3247 & 0 & 0.8825 & 0.0439 & 0.0111 \\
|
||
0.0439 & 0.1353 & 0.8825 & 0 & 0.1353 & 0.0439 \\
|
||
0.00004& 0.000335&0.0439 & 0.1353 & 0 & 0.8825 \\
|
||
0.00001& 0.00004 & 0.0111 & 0.0439 & 0.8825 & 0
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||
\end{pmatrix}.
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$$
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2. **构造度矩阵 $D$**
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$$
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D_{ii}=\sum_{j=1}^6 W_{ij}.
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$$
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近似计算：
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- 对于 $x_1$：
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$D_{11}\approx0.8825+0.1353+0.0439+0.00004+0.00001\approx1.0617.$
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- 对于 $x_2$：
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$D_{22}\approx0.8825+0.3247+0.1353+0.000335+0.00004\approx1.3429.$
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||
- 对于 $x_3$：
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||
$D_{33}\approx0.1353+0.3247+0.8825+0.0439+0.0111\approx1.3975.$
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||
- 对于 $x_4$：
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||
$D_{44}\approx0.0439+0.1353+0.8825+0.1353+0.0439\approx1.241.$
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- 对于 $x_5$：
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||
$D_{55}\approx0.00004+0.000335+0.0439+0.1353+0.8825\approx1.0617.$
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||
- 对于 $x_6$：
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$D_{66}\approx0.00001+0.00004+0.0111+0.0439+0.8825\approx0.9375.$
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构造度矩阵：
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$$
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D=\begin{pmatrix}
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1.0617 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[0.5em]
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||
0 & 1.3429 & 0 & 0 & 0 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 1.3975 & 0 & 0 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 0 & 1.2410 & 0 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 1.0617 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.9375
|
||
\end{pmatrix}.
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$$
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**3. 构造拉普拉斯矩阵 $L$**
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未归一化拉普拉斯矩阵定义为
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L = D - W.
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$$
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例如，矩阵的第 1 行为：
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$$
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L_{1\cdot}=(1.0617,\ -0.8825,\ -0.1353,\ -0.0439,\ -0.00004,\ -0.00001),
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$$
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其它行类似。
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**4. 特征分解与构造低维嵌入**
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为了分成 3 类，通常我们取图拉普拉斯矩阵（或归一化拉普拉斯矩阵）的前 $k=3$ 个最小特征值对应的特征向量。
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（注意：对于未归一化拉普拉斯矩阵，第一个特征值为 0，对应常数向量；但在归一化方法中，所有 3 个特征向量通常都有实际意义。）
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假设经过特征分解后，我们得到了三个特征向量
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$$
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u_1,\; u_2,\; u_3,
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$$
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每个都是 6 维向量。将它们按列排列构成矩阵
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$$
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U=\begin{pmatrix}
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u_1(1) & u_2(1) & u_3(1) \\[0.3em]
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||
u_1(2) & u_2(2) & u_3(2) \\[0.3em]
|
||
u_1(3) & u_2(3) & u_3(3) \\[0.3em]
|
||
u_1(4) & u_2(4) & u_3(4) \\[0.3em]
|
||
u_1(5) & u_2(5) & u_3(5) \\[0.3em]
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||
u_1(6) & u_2(6) & u_3(6)
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\end{pmatrix}.
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$$
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每一行 $i$ 表示数据点 $x_i$ 在 **3 维低维嵌入空间中的表示**。
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**假设得到的低维表示**（示例数值）：
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- $x_1: \; (0.9,\ 0.2,\ 0.1)$
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- $x_2: \; (0.8,\ 0.3,\ 0.2)$
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- $x_3: \; (-0.1,\ 0.8,\ 0.1)$
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- $x_4: \; (-0.2,\ 0.7,\ 0.0)$
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- $x_5: \; (0.1,\ -0.2,\ 0.9)$
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- $x_6: \; (0.0,\ -0.1,\ 1.0)$
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**5. 在低维空间上使用 k-means 聚类**
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利用 k-means 算法对 6 个数据点的 3 维向量进行聚类。
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在本例中，k-means 会尝试将点分为 3 类。
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根据上述低维表示，很容易看到：
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- 数据点 $x_1$ 和 $x_2$ 聚在一起；
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- 数据点 $x_3$ 和 $x_4$ 聚在一起；
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- 数据点 $x_5$ 和 $x_6$ 聚在一起。
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最终得到的聚类结果：
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- 类1：$\{x_1, x_2\}$
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- 类2：$\{x_3, x_4\}$
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- 类3：$\{x_5, x_6\}$
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## **谱分解**与网络重构
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一个对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $n \times n$ 的对称矩阵 $A$，其谱分解可以表示为：
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A = Q \Lambda Q^T \\
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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其中，$\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。
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**推导过程**
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1. **特征值和特征向量的定义**
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对于一个对称矩阵 $A$，其特征值和特征向量满足：
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A x_i = \lambda_i x_i
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$$
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其中，$\lambda_i$ 是特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。
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2. **谱分解**
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将这些特征向量组成一个正交矩阵 $Q$
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$A = Q \Lambda Q^T$
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Q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix},
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Q \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix}.
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$$
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$$
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||
Q \Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{bmatrix}.
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$$
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$$
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Q \Lambda Q^T = \lambda_1 x_1 x_1^T + \lambda_2 x_2 x_2^T + \cdots + \lambda_n x_n x_n^T.
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$$
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可以写为
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T.
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$$
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3. **网络重构**
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在随机网络中，网络的邻接矩阵 $A$ 通常是对称的。利用预测算法得到的谱参数 $\{\lambda_i, x_i\}$ 后，就可以用以下公式重构网络矩阵：
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$$
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A(G) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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