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陈茂森论文
随机移动网络系统的稳定性
马尔科夫链与网络平均度推导
1.马尔科夫链的基本概念
马尔科夫链描述的是这样一种随机过程：系统在若干个可能的状态中变化，下一时刻所处状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关，这就是所谓的“无记忆性”或马尔科夫性。
无记忆性意味着，对于任何 $s, t \ge 0$，
P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t).
假设你已经等待了 s 分钟，那么再等待至少 t 分钟的概率，和你一开始就等待至少 t 分钟的概率完全相同。
在这个模型中，每条链路只有两个可能的状态：
- 状态0：链路断开
- 状态1：链路连通
设在时刻 t 时，某条链路处于连通状态的概率为 $p_1(t)$；由于只有两种状态，所以断开的概率就是
p_0(t)=1-p_1(t).
同时，我们假设链路从一个状态转移到另一个状态需要等待一段时间，这段等待时间通常服从指数分布（论文中通过 KS 检验确认）。这意味着，从0到1和从1到0有两个转移速率，我们记作：
- 从0到1的转移速率为
\lambda_{01} - 从1到0的转移速率为
\lambda_{10}
这些速率表示单位时间内发生状态转换的可能性。
2.推导单条链路的连通概率
根据连续时间马尔科夫链的理论，我们可以写出状态转移的微分方程。对于状态1（连通状态），概率 p_1(t) 的变化率由两个部分组成：
-
当链路处于状态0时，以速率
\lambda_{01}变为状态1。这部分概率增加的速率为\lambda_{01} \, p_0(t)=\lambda_{01} (1-p_1(t)). -
当链路处于状态1时，以速率
\lambda_{10}转换为状态0。这部分使p_1(t)减少，其速率为\lambda_{10} \, p_1(t).
所以，p_1(t) 的微分方程写成：
\frac{d p_1(t)}{dt} = \lambda_{01} \, (1-p_1(t)) - \lambda_{10} \, p_1(t).
这个方程可以整理为：
\frac{d p_1(t)}{dt} + (\lambda_{01}+\lambda_{10}) \, p_1(t) = \lambda_{01}.
这其实是一个一阶线性微分方程，其标准求解方法是求解其齐次解与非齐次解。
3. 求解微分方程
整个微分方程的通解为：
p_1(t)= \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + C\, e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}.
利用初始条件 $p_1(0)=p_1^0$（初始时刻链路连通的概率），我们可以求出 $C$：
即
C = p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}.
所以，链路在任意时刻 t 连通的概率为：
p_1(t)= \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + \left( p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} \right)e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}.
这就是单条链路的连通概率函数，描述了从任意初始条件出发，经过一段时间后，链路达到平衡状态的过程。
4.推导网络平均度的变化函数
在一个由 N 个节点构成的网络中，每个节点都与其它节点进行通信（不考虑自环），因此每个节点最多有 N-1 个邻居。对于任意一对节点 i 和 $j$，它们之间链路连通的概率 $p_1(t)$（假设所有链路独立且同分布）。
-
某个节点
i在时刻t的度 $d_i(t)$可以写作：d_i(t)= \sum_{\substack{j=1 \\ j\neq i}}^N p_{ij}(t),其中 $p_{ij}(t)=p_1(t)$。
-
因此，每个节点的期望度为：
E[d_i(t)]=(N-1)p_1(t). -
网络平均度就是对所有节点的期望度取平均，由于网络中每个节点都遵循相同统计规律，所以网络平均度可表示为：
\bar{d}(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} E[d_i(t)] = \frac{N \cdot (N-1)p_1(t)}{N} = (N-1)p_1(t)
将我们前面得到的 p_1(t) 表达式代入，就得到网络平均度随时间变化的表达式：
\bar{d}(t)= (N-1)\left[ \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + \left( p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} \right)e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}\right].
这就是网络平均度的变化函数：
- 网络开始时每条链路的连通概率为
p_1^0 - 这种调整过程符合指数衰减规律，即偏离平衡值的部分按
e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}衰减 - 当
t趋向无穷大时，指数项e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}衰减为0，网络平均度趋向于 $(N-1)\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}$，这就是网络达到平衡状态后的理论平均度。
特征信号参数的平稳性
证明系统在平衡态下具有统计上的稳定性。
从节点空间分布证明平稳性。
设节点在模型区域的坐标为 $(X,Y)$，其分布概率密度函数写为
f(x,y).
那么节点在模型子区域 R_1 中出现的概率为
P_{R_1}=\int_{R_1} f(x,y) \,dx\,dy.
在平衡状态下，理论上节点的位置分布 f(x,y) 保持不变，即每个区域内节点出现的概率 P_{R_1} 是常数，不随时间变化。证明在平衡状态下节点分布稳定。
扰动后的恢复能力
- 静止节点分布特性满足均匀分布,概率密度函数为 $g(x,y)$；
- 运动节点的概率密度函数为 $h(x,y)$；
- 在时刻
t_0时，网络中共有N个节点，其中有s个静止，故静止节点的比例为 $p=\frac{s}{N}$。
节点整体的分布概率密度函数可写为
f(x,y)=p\, g(x,y)+(1-p)\, h(x,y).
在平衡状态下，p 的理论值为一个常数，所以 f(x,y) 不随时间变化，从而网络连通度稳定。
接下来，考虑外界扰动的影响：假设在时刻 $t_1$ 新加入 m 个符合均匀分布的节点，
扰动后的总分布（$t_1$时刻后）
- 新加入的
m个节点是静止的，其分布为g(x,y) - 此时网络的总节点数 $N+m$：
- 静止节点总数：
s+m - 运动节点总数：$N-s$（原有运动节点数不变）
- 静止节点总数：
因此，扰动后的分布为：
f(x,y,t_1) = \frac{s + m}{N + m} g(x,y) + \frac{N - s}{N + m} h(x,y)
f(x,y,t_1) = p' \cdot g(x,y) + (1-p') \cdot h(x,y)
其中 $p' = \frac{s + m}{N + m}$。
近似处理（当 N, s \gg m 时）
p' = \frac{s + m}{N + m} \approx \frac{s}{N} = p
因此，扰动后的分布近似为：
f(x,y,t_1) \approx p \cdot g(x,y) + (1-p) \cdot h(x,y)
这与初始平衡态的分布相同，说明网络在扰动后恢复了平衡态。
系统稳定性分析
建立系统状态方程与平衡点
论文将随机移动网络的动态演化描述为一个一般的状态方程：
\frac{dx}{dt} = f(x, t)
其中，x 是系统的 n 维状态向量，f(x, t) 是描述状态随时间变化的函数。
- 平衡点定义: 当存在一个状态
x_e满足对任意 $t$，有f(x_e, t) = 0这时x_e就是系统的平衡状态。如论文中特别关注的网络平均度 $x_d$，不再随时间变化。
采用李雅普诺夫第二类方法
由于本系统状态向量各分量间关系复杂，且无法求出状态矩阵的全部特征值，所以不能采用第一类方法。因此选择构造“李雅普诺夫函数”（第二类方法）来验证系统的稳定性。
构造李雅普诺夫函数
V(x) = (x - x_e)^T P (x - x_e)
其中 P 是一个正定矩阵。由此保证：
- 正定性: 对于除
x = x_e外的所有状态，$V(x) > 0$；且在平衡点x_e处有 $V(x_e) = 0$。
分析李雅普诺夫函数的时间导数
\dot{V}(x) = \frac{\partial V(x)}{\partial x} \cdot f(x, t)
平衡时 $\dot{V}(x) = 0$: 当且仅当系统处于平衡状态 x = x_e 时，有 $\dot{V}(x) = 0$。
同时在平衡附近的非平衡状态下，由于选定的李雅普诺夫函数“能量”不会增加，从而得到\dot{V}(x) ≤ 0