347 lines
12 KiB
Markdown
347 lines
12 KiB
Markdown
# 强化学习
|
||
|
||
## Q-learning
|
||
|
||
**核心更新公式**
|
||
$$
|
||
\boxed{Q(s,a) \gets Q(s,a) + \alpha\left[r + \gamma\,\max_{a'}Q(s',a') - Q(s,a)\right]}
|
||
$$
|
||
- $s$：当前状态
|
||
- $a$：当前动作
|
||
- $r$：执行 $a$ 后获得的即时奖励
|
||
- $s'$：执行后到达的新状态
|
||
- $\alpha\in(0,1]$：学习率，决定“这次新信息”对旧值的影响力度
|
||
- $\gamma\in[0,1)$：折扣因子，衡量对“后续奖励”的重视程度
|
||
- $\max_{a'}Q(s',a')$：新状态下可选动作的最大估值，表示“后续能拿到的最大预期回报”
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### 一般示例
|
||
|
||
**环境设定**
|
||
|
||
- 状态集合：$\{S_1, S_2\}$
|
||
- 动作集合：$\{a_1, a_2\}$
|
||
- 转移与奖励：
|
||
- 在 $S_1$ 选 $a_1$ → 获得 $r=5$，转到 $S_2$
|
||
- 在 $S_1$ 选 $a_2$ → 获得 $r=0$，转到 $S_2$
|
||
- 在 $S_2$ 选 $a_1$ → 获得 $r=0$，转到 $S_1$
|
||
- 在 $S_2$ 选 $a_2$ → 获得 $r=1$，转到 $S_1$
|
||
|
||
**超参数**：$\alpha=0.5$，$\gamma=0.9$
|
||
**初始化**：所有 $Q(s,a)=0$
|
||
|
||
在 Q-Learning 里，智能体并不是“纯随机”地走，也不是“一开始就全凭 Q 表拿最高值”——而是常用一种叫 **$\epsilon$-greedy** 的策略来平衡：
|
||
|
||
- **探索（Exploration）**：以概率 $\epsilon$（比如 10%）随机选一个动作，帮助智能体发现还没试过、可能更优的路径；
|
||
- **利用（Exploitation）**：以概率 $1-\epsilon$（比如 90%）选当前状态下 Q 值最高的动作，利用已有经验最大化回报。
|
||
|
||
下面按序进行 3 步“试—错”更新，并在表格中展示每一步后的 $Q$ 值。
|
||
|
||
| 步骤 | 状态 $s$ | 动作 $a$ | 奖励 $r$ | 到达 $s'$ | $\max_{a'}Q(s',a')$ | 更新后 $Q(s,a)$ | 当前 Q 表 |
|
||
| :--: | :------: | :------: | :------: | :-------: | :----------------------------------------------: | :------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------: |
|
||
| 初始 | — | — | — | — | — | — | $Q(S_1,a_1)=0,\;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=0$ |
|
||
| 1 | $S_1$ | $a_1$ | 5 | $S_2$ | 0 | $0+0.5\,(5+0-0)=2.5$ | $Q(S_1,a_1)=2.5,\;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=0$ |
|
||
| 2 | $S_2$ | $a_2$ | 1 | $S_1$ | $到达S_1状态后选择最优动作：$$\max\{2.5,0\}=2.5$ | $0+0.5\,(1+0.9\cdot2.5-0)=1.625$ | $Q(S_1,a_1)=2.5,\;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=1.625$ |
|
||
| 3 | $S_1$ | $a_1$ | 5 | $S_2$ | $\max\{0,1.625\}=1.625$ | $2.5+0.5\,(5+0.9\cdot1.625-2.5)\approx4.481$ | $Q(S_1,a_1)\approx4.481,\;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,\;Q(S_2,a_2)=1.625$ |
|
||
|
||
- **第1步**：从 $S_1$ 选 $a_1$，立即回报5，更新后 $Q(S_1,a_1)=2.5$。
|
||
- **第2步**：从 $S_2$ 选 $a_2$，回报1，加上对 $S_1$ **后续最优值**的 $0.9$ 折扣，得到 $1+0.9\times2.5=3.25$，更新后 $Q(S_2,a_2)=1.625$。
|
||
- **第3步**：再一次在 $S_1$ 选 $a_1$，这次考虑了 $S_2$ 的最新估值，最终把 $Q(S_1,a_1)$ 提升到约 4.481。
|
||
|
||
---
|
||
|
||
通过这样一步步的“试—错 + 贝尔曼更新”，Q-Learning 能不断逼近最优 $Q^*(s,a)$，从而让智能体在每个状态都学会选出长期回报最高的动作。
|
||
|
||
训练结束后，表里每个状态 $s$ 下各动作的 Q 值都相对准确了，我们就可以直接读表来决策：
|
||
$$
|
||
\pi(s) = \arg\max_a Q(s,a)
|
||
$$
|
||
即“在状态 $s$ 时，选 Q 值最高的动作”。
|
||
|
||
| 状态 \ 动作 | $a_1$ | $a_2$ |
|
||
| ----------- | ----- | ----- |
|
||
| $S_1$ | 4.481 | 0 |
|
||
| $S_2$ | 0 | 1.625 |
|
||
|
||
|
||
|
||
## DQN
|
||
|
||
核心思想：用深度神经网络近似 Q 函数来取代表格，在高维输入上直接做 Q-learning，并通过 **经验回放（写进缓冲区 + 随机抽样训练”）** + **目标网络（Target Network）** 两个稳定化技巧，使 **时序差分（TD ）学习**在非线性函数逼近下仍能收敛。
|
||
|
||
**TD 学习** = 用“即时奖励 + 折扣后的未来估值”作为目标，通过 TD 误差持续修正当前估计。
|
||
|
||
|
||
|
||
### 训练过程
|
||
|
||
#### 1. 初始化
|
||
|
||
1. **主网络（Online Network）**
|
||
- 定义一个 Q 网络 $Q(s,a;\theta)$，随机初始化参数 $\theta$。
|
||
|
||
2. **目标网络（Target Network）**
|
||
- 复制主网络参数，令 $\theta^- \leftarrow \theta$。
|
||
- 目标网络用于计算贝尔曼目标值，短期内保持不变。
|
||
|
||
3. **经验回放缓冲区（Replay Buffer）**
|
||
- 创建一个固定容量的队列 $\mathcal{D}$，用于存储交互样本 $(s,a,r,s')$。
|
||
|
||
4. **超参数设置**
|
||
- 学习率 $\eta$
|
||
- 折扣因子 $\gamma$
|
||
- ε-greedy 探索率 $\epsilon$（初始值）
|
||
- 最小训练样本数阈值 $N_{\min}$
|
||
- 每次训练的小批量大小 $B$
|
||
- 目标网络同步频率 $C$（梯度更新次数间隔）
|
||
|
||
---
|
||
|
||
#### 2. 与环境交互并存储经验
|
||
|
||
在每个时间步 $t$：
|
||
|
||
1. **动作选择**
|
||
$$
|
||
a_t =
|
||
\begin{cases}
|
||
\text{随机动作} & \text{以概率 }\epsilon,\\
|
||
\arg\max_a Q(s_t,a;\theta) & \text{以概率 }1-\epsilon.
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
2. **环境反馈**
|
||
执行动作 $a_t$，得到奖励 $r_t$ 和下一个状态 $s_{t+1}$。 （**需预先定义奖励函数**）
|
||
|
||
3. **存入缓冲区**
|
||
将元组 $(s_t, a_t, r_t, s_{t+1})$ 存入 Replay Buffer $\mathcal{D}$。
|
||
如果 $\mathcal{D}$ 已满，则丢弃最早的样本。
|
||
|
||
---
|
||
|
||
#### 3. 批量随机采样并训练
|
||
|
||
当缓冲区样本数 $\ge N_{\min}$ 时，每隔一次或多次环境交互，就进行一次训练更新：
|
||
|
||
1. **随机抽取小批量**
|
||
从 $\mathcal{D}$ 中随机采样 $B$ 条过往经验：
|
||
$$
|
||
\{(s_i, a_i, r_i, s'_i)\}_{i=1}^B
|
||
$$
|
||
|
||
2. **计算贝尔曼目标**
|
||
对每条样本，用**目标网络** $\theta^-$ 计算：
|
||
$$
|
||
y_i = r_i + \gamma \max_{a'}Q(s'_i, a'; \theta^-)
|
||
$$
|
||
算的是：当前获得的即时奖励 $r_i$，加上“到了下一个状态后，做最优动作所能拿到的最大预期回报”
|
||
|
||
3. **预测当前 Q 值**
|
||
将当前状态-动作对丢给**主网络** $\theta$，得到预测值：
|
||
$$
|
||
\hat Q_i = Q(s_i, a_i;\theta)
|
||
$$
|
||
算的是：在当前状态 $s_i$、选了样本里那个动作 $a_i$ 时，网络**现在**估计的价值
|
||
|
||
4. **构造损失函数**
|
||
均方误差（MSE）损失：
|
||
$$
|
||
L(\theta) = \frac{1}{B}\sum_{i=1}^B\bigl(y_i - \hat Q_i\bigr)^2
|
||
$$
|
||
|
||
5. **梯度下降更新主网络**
|
||
$$
|
||
\theta \gets \theta - \eta \nabla_\theta L(\theta)
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
#### 4. 同步/软更新目标网络
|
||
|
||
- **硬同步（Fixed Target）**：
|
||
每做 $C$ 次梯度更新，就执行
|
||
$$
|
||
\theta^- \gets \theta
|
||
$$
|
||
|
||
- **（可选）软更新**：
|
||
用小步长 $\tau\ll1$ 平滑跟踪：
|
||
$$
|
||
\theta^- \gets \tau \theta + (1-\tau) \theta^-.
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
#### 5. 重复训练直至收敛
|
||
|
||
- 重复步骤 2-4 直至满足终止条件（如最大回合数或性能指标）。
|
||
- 训练过程中可逐步衰减 $\epsilon$（ε-greedy），从更多探索过渡到更多利用。
|
||
|
||
|
||
|
||
### 示例
|
||
|
||
#### 假设设定
|
||
|
||
- **动作空间**：两个动作 $\{a_1,a_2\}$。
|
||
|
||
- **状态向量维度**：2 维，记作 $s=(s_1,s_2)$。
|
||
|
||
- **目标网络结构**（极简线性网络）：
|
||
$$
|
||
Q(s;\theta^-) = W^-s + b^-,
|
||
$$
|
||
|
||
- $W^-$ 是 $2\times2$ 的权重矩阵 （行数为动作数，列数为状态向量维数）
|
||
- $b^-$ 是长度 2 的偏置向量
|
||
|
||
- **网络参数**（假定已初始化并被冻结）：
|
||
$$
|
||
W^- =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.5 & -0.2\\
|
||
0.1 & \;0.3
|
||
\end{pmatrix},\quad
|
||
b^- = \begin{pmatrix}0.1\\-0.1\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
- 折扣因子 $\gamma=0.9$。
|
||
|
||
#### 样本数据
|
||
|
||
假设我们抽到的一条经验是
|
||
$$
|
||
(s_i,a_i,r_i,s'_i) = \bigl((0.0,\;1.0),\;a_1,\;2,\;(1.5,\,-0.5)\bigr).
|
||
$$
|
||
|
||
- 当前状态 $s_i=(0.0,1.0)$，当时选了动作 $a_1$ 并得到奖励 $r_i=2$。
|
||
- 到达新状态 $s'_i=(1.5,-0.5)$。
|
||
|
||
#### 计算过程
|
||
|
||
1. **前向计算目标网络输出**
|
||
$$
|
||
Q(s'_i;\theta^-)
|
||
= W^-\,s'_i + b^-
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.5 & -0.2\\
|
||
0.1 & \;0.3
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}1.5\\-0.5\end{pmatrix}
|
||
+
|
||
\begin{pmatrix}0.1\\-0.1\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.5\cdot1.5 + (-0.2)\cdot(-0.5) + 0.1 \\[4pt]
|
||
0.1\cdot1.5 + \;0.3\cdot(-0.5) - 0.1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.75 + 0.10 + 0.1 \\[3pt]
|
||
0.15 - 0.15 - 0.1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.95 \\[3pt]
|
||
-0.10
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
因此，
|
||
$$
|
||
Q(s'_i,a_1;\theta^-)=0.95,\quad
|
||
Q(s'_i,a_2;\theta^-)= -0.10.
|
||
$$
|
||
|
||
2. **取最大值**
|
||
$$
|
||
\max_{a'}Q(s'_i,a';\theta^-)
|
||
= \max\{0.95,\,-0.10\}
|
||
= 0.95.
|
||
$$
|
||
|
||
3. **计算目标 $y_i$**
|
||
$$
|
||
y_i
|
||
= r_i + \gamma \times 0.95
|
||
= 2 + 0.9 \times 0.95
|
||
= 2 + 0.855
|
||
= 2.855.
|
||
$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
这样，我们就得到了 **DQN** 中训练主网络时的"伪标签"
|
||
$y_i=2.855$，后续会用它与主网络预测值 $Q(s_i,a_i;\theta)$ 计算均方误差，进而更新 $\theta$。
|
||
|
||
|
||
|
||
## 改进DQN：
|
||
|
||
#### 一、构造 n-step Transition
|
||
|
||
1. **维护一个长度为 n 的滑动队列**
|
||
|
||
- 每步交互（状态 → 动作 → 奖励 → 新状态）后，都向队列里添加这条"单步经验"。
|
||
- 当队列中积累到 n 条经验时，就可以合并成一条"n-step transition"了。
|
||
|
||
2. **合并过程（一步一步累加）**
|
||
|
||
- **起始状态**：取队列里第 1 条记录中的状态 $s_t$
|
||
|
||
- **起始动作**：取第 1 条记录中的动作 $a_t$
|
||
|
||
- **累积奖励**：把队列中前 n 条经验的即时奖励按折扣因子 $\gamma$ 一步步加权累加：
|
||
$$
|
||
G_t^{(n)} = r_t + \gamma\,r_{t+1} + \gamma^2\,r_{t+2} + \cdots + \gamma^{n-1}r_{t+n-1}
|
||
$$
|
||
|
||
3. **形成一条新样本**
|
||
最终你得到一条合并后的样本：
|
||
$$
|
||
\bigl(s_t,\;a_t,\;G_t^{(n)},\;s_{t+n},\;\text{done}_{t+n}\bigr)
|
||
$$
|
||
然后把它存入主 Replay Buffer。
|
||
**接着**，把滑动队列的最早一条经验丢掉，让它向前滑一格，继续接收下一步新经验。
|
||
|
||
#### 二、批量随机采样与训练
|
||
|
||
1. **随机抽取 n-step 样本**
|
||
|
||
- 训练时，不管它是来自哪一段轨迹，都从 Replay Buffer 里随机挑出一批已经合好的 n-step transition。
|
||
- 每条样本就封装了"从 $s_t$ 出发，执行 $a_t$，经历 n 步后所累积的奖励加 bootstrap"以及到达的末状态。
|
||
|
||
2. **计算训练目标**
|
||
|
||
对于每条抽出的 n-step 样本
|
||
$(s_t,a_t,G_t^{(n)},s_{t+n},\text{done}_{t+n})$，
|
||
|
||
- 如果 $\text{done}_{t+n}=\text{False}$，则
|
||
$$
|
||
y = G_t^{(n)} + \gamma^n\,\max_{a'}Q(s_{t+n},a';\theta^-);
|
||
$$
|
||
|
||
- 如果 $\text{done}_{t+n}=\text{True}$，则
|
||
$$
|
||
y = G_t^{(n)}.
|
||
$$
|
||
|
||
3. **主网络给出预测**
|
||
|
||
- 把样本中的起始状态-动作对 $(s_t,a_t)$ 丢给在线的 Q 网络，得到当前估计的 $\hat{Q}(s_t,a_t)$。
|
||
|
||
4. **更新网络**
|
||
|
||
- 用"目标值 $y$"和"预测值 $\hat{Q}$"之间的平方差，构造损失函数。
|
||
- 对损失做梯度下降，调整在线网络参数，使得它的预测越来越贴近那条合并后的真实回报。
|
||
|
||
|
||
|
||
## VDN
|
||
|
||
**核心思路**：将团队 Q 函数写成各智能体局部 Q 的线性和 $Q_{tot}=\sum_{i=1}^{N}\tilde{Q}_i$，在训练时用全局奖励反传梯度，在执行时各智能体独立贪婪决策。
|
||
|
||
避免非平稳性：每个智能体看到的“环境”里不再包含 **其他正在同时更新的智能体**——因为所有参数其实在**同一次**反向传播里被一起更新，整体策略变化保持同步；对单个智能体而言，环境动态就不会呈现出随机漂移。
|
||
|
||
避免“懒惰智能体”：只要某个行动对团队回报有正贡献，它在梯度里就能拿到正向信号，不会因为某个体率先学到高收益行为而使其他个体“无所事事”。 |