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卡尔曼滤波
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于线性动态系统状态估计的递归最优滤波算法，它在噪声环境下对系统状态进行估计，并常用于目标跟踪、导航和控制等领域。
卡尔曼滤波假设系统可以用状态空间模型描述，模型包括两个部分：
- 状态转移模型：描述系统状态如何从上一时刻转移到当前时刻。
- 测量模型：描述通过传感器获得的测量值与系统状态之间的关系。
这两个模型中均包含随机噪声，分别记为过程噪声和测量噪声。卡尔曼滤波的目标就是在已知这些噪声统计特性的前提下，利用当前和过去的测量值来对系统状态进行最优估计。
引入
公式
状态转移模型
设系统的状态向量为 $\mathbf{x}_k$，控制输入为 $\mathbf{u}_k$，过程噪声为 $\mathbf{w}_k$（假设均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{Q}$），状态转移模型可写为：
\mathbf{x}_k = \mathbf{A} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1}
其中：
\mathbf{A}是状态转移矩阵，\mathbf{B}是控制输入矩阵。
测量模型
设测量向量为 $\mathbf{z}_k$，测量噪声为 $\mathbf{v}_k$（假设均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{R}$），测量模型为：
\mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k
其中：
\mathbf{H}是测量矩阵。
递归过程
卡尔曼滤波的递归过程主要分为两大步：预测（Prediction） 和 更新（Update）。
注意：$\hat{\mathbf{x}}_k^-$右上角的'-'符号是区分预测状态和更新后的状态。
预测步骤
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状态预测：
利用系统的状态转移模型，将上一次的状态估计
\hat{\mathbf{x}}_{k-1}通过转移矩阵 $\mathbf{A}$（和控制输入 $\mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1}$）预测到当前时刻的状态：\hat{\mathbf{x}}_k^- = \mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1}这里
\hat{\mathbf{x}}_k^-称为先验状态估计，它反映了系统在没有新测量数据情况下的预期状态。 -
协方差预测： 同时，将上一次状态的不确定性（协方差矩阵 $\mathbf{P}_{k-1}$）传播到当前时刻，并加上过程噪声
\mathbf{Q}的影响：\mathbf{P}_k^- = \mathbf{A} \mathbf{P}_{k-1} \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{Q}这个预测协方差反映了预测状态的置信程度，不确定性通常会因过程噪声的加入而增大。
更新步骤
当时刻 k 新的测量值 \mathbf{z}_k 到达时，我们使用它来校正预测结果。
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卡尔曼增益的计算： 卡尔曼增益
\mathbf{K}_k衡量了预测的不确定性与测量不确定性之间的权衡。计算公式为：\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k^- \mathbf{H}^\mathrm{T} \left(\mathbf{H} \mathbf{P}_k^- \mathbf{H}^\mathrm{T} + \mathbf{R}\right)^{-1}当预测的置信度较低（$\mathbf{P}_k^-$较大）时，卡尔曼增益较大，说明更多地信任测量值；反之，则更多地依赖预测值。
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状态更新： 根据卡尔曼增益修正先验状态，将测量的偏差信息（即测量值与预测值之间的差异，也叫创新）加权融合：
\hat{\mathbf{x}}_k = \hat{\mathbf{x}}_k^- + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H} \hat{\mathbf{x}}_k^- \right)这个更新后的状态
\hat{\mathbf{x}}_k就是当前时刻的后验状态估计，它综合了预测和测量两方面的信息。 -
协方差更新： 更新后的协方差表示在新的测量信息下的不确定性：
\mathbf{P}_k = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}) \mathbf{P}_k^-一般来说，经过更新后，状态的不确定性会降低（即协方差矩阵的数值减小）。
扩展卡尔曼滤波
扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，简称 EKF）是一种针对非线性系统状态估计问题的滤波方法。传统的卡尔曼滤波要求系统的状态转移和观测模型都是线性的，而在实际问题中，很多系统往往存在非线性特性。EKF 的核心思想就是对非线性模型进行局部线性化，然后在此基础上应用卡尔曼滤波的递归估计方法。
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非线性系统模型
假设系统的状态转移和观测模型为非线性的：-
状态转移模型：
\mathbf{x}_k = f(\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}) + \mathbf{w}_{k-1} -
观测模型：
\mathbf{z}_k = h(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}_k其中，
f(\cdot)和h(\cdot)为非线性函数，\mathbf{w}_{k-1}和\mathbf{v}_k分别表示过程噪声和测量噪声（均假设为零均值高斯噪声）。
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线性化
为了使用卡尔曼滤波方法，扩展卡尔曼滤波需要对非线性函数进行局部线性化。具体做法是使用泰勒展开在当前状态估计附近进行一阶近似，计算函数的雅可比矩阵：-
状态转移函数
f的雅可比矩阵：F_k = \left.\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\right|_{\mathbf{x}=\hat{\mathbf{x}}_{k-1}, \mathbf{u}=\mathbf{u}_{k-1}} -
观测函数
h的雅可比矩阵：H_k = \left.\frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}}\right|_{\mathbf{x}=\hat{\mathbf{x}}_k^-}
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滤波过程
扩展卡尔曼滤波的递归过程与标准卡尔曼滤波类似，但在每一步都需要用雅可比矩阵替换原来的线性模型矩阵：-
预测步骤：
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状态预测：
\hat{\mathbf{x}}_k^- = f(\hat{\mathbf{x}}_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}) -
协方差预测：
\mathbf{P}_k^- = F_k \mathbf{P}_{k-1} F_k^\mathrm{T} + \mathbf{Q}这里
F_k是在\hat{\mathbf{x}}_{k-1}处计算得到的雅可比矩阵。
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更新步骤：
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计算卡尔曼增益：
\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k^- H_k^\mathrm{T} \left(H_k \mathbf{P}_k^- H_k^\mathrm{T} + \mathbf{R}\right)^{-1} -
状态更新：
\hat{\mathbf{x}}_k = \hat{\mathbf{x}}_k^- + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - h(\hat{\mathbf{x}}_k^-)\right) -
协方差更新：
\mathbf{P}_k = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k H_k) \mathbf{P}_k^-
-
-
通过这样的线性化步骤，EKF 能够对非线性系统进行状态估计，虽然由于线性化近似可能带来一定误差，但在大多数情况下能达到较好的效果。
雅各比矩阵定义
雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是一个多变量函数各个分量对各个变量的偏导数组成的矩阵。它反映了在某一点处函数的局部线性化近似，也就是该函数在这一点的“导数”信息。在扩展卡尔曼滤波中，为了对非线性状态转移函数 f(\mathbf{x}, \mathbf{u}) 或观测函数 h(\mathbf{x}) 进行线性化，我们需要计算它们在当前估计点的雅可比矩阵。
示例 1：状态转移函数的雅可比矩阵
假设系统的状态为 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$（例如，x_1 表示位置，x_2 表示速度），状态转移函数定义为：
f(\mathbf{x}) =
\begin{bmatrix}
f_1(x_1, x_2) \\
f_2(x_1, x_2)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1 + x_2 + 0.1 x_1^2 \\
x_2 + 0.05 x_1
\end{bmatrix}
这里函数中的非线性项为 0.1 x_1^2 和 $0.05 x_1$。
求雅可比矩阵
雅可比矩阵 F 是一个 2 \times 2 矩阵，其中每个元素为：
F_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}
计算各个偏导数：
-
对 $f_1(x_1, x_2) = x_1 + x_2 + 0.1 x_1^2$：
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} = 1 + 0.2x_1\frac{\partial f_1}{\partial x_2} = 1
-
对 $f_2(x_1, x_2) = x_2 + 0.05 x_1$：
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} = 0.05\frac{\partial f_2}{\partial x_2} = 1
因此，雅可比矩阵为：
F = \begin{bmatrix}
1 + 0.2x_1 & 1 \\
0.05 & 1
\end{bmatrix}
示例 2：观测函数的雅可比矩阵
假设观测函数为：
h(\mathbf{x}) =
\begin{bmatrix}
h_1(x_1, x_2) \\
h_2(x_1, x_2)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sqrt{x_1} \\
x_2
\end{bmatrix}
这里假设传感器对位置进行非线性测量（取平方根），而速度直接测量。
求雅可比矩阵
计算各个偏导数：
-
对 $h_1(x_1, x_2) = \sqrt{x_1}$：
\frac{\partial h_1}{\partial x_1} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}- $\frac{\partial h_1}{\partial x_2} = 0$（因为
h_1与x_2无关）
-
对 $h_2(x_1, x_2) = x_2$：
\frac{\partial h_2}{\partial x_1} = 0\frac{\partial h_2}{\partial x_2} = 1
因此，雅可比矩阵为：
H = \begin{bmatrix}
\frac{1}{2\sqrt{x_1}} & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}