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B样条拟合示例：用正弦函数采样作为系数

我选择的系数是通过在四个节点处对函数 f(t) = \sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right) 进行采样得到的，对应的是四个基函数 $B_0(t), B_1(t), B_2(t), B_3(t)$，其"峰值"分别位于：

• $B_0(t)$：在 t = 0 处取值 1
• $B_1(t)$：在 t = 1 处取值 1
• $B_2(t)$：在 t = 2 处取值 1
• $B_3(t)$：在 t = 3 处取值 1

系数计算过程

用来拟合的四个系数是函数在基函数峰值位置的采样值：

\begin{align*}
c_0 &= f(0) = \sin(0) = 0 \\
c_1 &= f(1) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 0.7071 \\
c_2 &= f(2) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \\
c_3 &= f(3) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \approx 0.7071 \\
\end{align*}

拟合曲线构造

最终的B样条拟合曲线是基函数的线性组合：

S(t) = 0 \cdot B_0(t) + 0.7071 \cdot B_1(t) + 1 \cdot B_2(t) + 0.7071 \cdot B_3(t)

可视化建议

需要展示以下内容吗？

1. 原始函数 f(t) = \sin(\pi t/4) 的曲线
2. 四个采样点 (0,0), (1,0.7071), (2,1), (3,0.7071)
3. 每个基函数 B_i(t) 及其对应的系数 c_i
4. 最终合成的紫色B样条曲线 S(t)

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这种构造方式展示了B样条的一个重要特性：系数直接对应曲线在基函数峰值位置的值（当基函数是标准归一化时）。