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# 高飞论文
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## 证明特征值序列为平稳的时间序列
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### 问题设定
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- **研究对象**
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设 $\{\lambda_1(A)_t\}_{t\in\mathbb Z}$ 是随时间变化的随机对称矩阵 $A_t$ 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。
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- **目标**
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证明 $\{\lambda_1(A)_t\}$ 是 **二阶（弱）平稳**的时间序列，即
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1. $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 $t$ 无关）；
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2. $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 $t$ 无关）；
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3. $\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k)$ 只依赖滞后 $k$。
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### 关键假设
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- **矩阵统计特性（引理 1）**
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- $A_t$ 为 $N\times N$ 实对称随机矩阵；元素 $\{a_{ij}\}_{i\le j}$ 相互独立且有界：$|a_{ij}|\le K$。
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- 非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。
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- $N$ 足够大时
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$$
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E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad
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\operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 .
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$$
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说明：
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- **$\sigma^2$**
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这是随机矩阵 $A_t$ 的非对角线元素 $a_{ij}$ ($i \neq j$) 的方差，即
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$$
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\text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2.
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$$
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根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。
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- **$\sigma_1^2$**
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这是最大特征值 $\lambda_1(A_t)$ 的方差，即
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$$
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\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2.
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$$
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当 $N$ 足够大时，$\sigma_1^2$ 近似为 $2\sigma^2$。
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- **时间序列模型**
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对**去中心化序列**
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$$
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\tilde z_t:=\lambda_1(A)_t-\mu_1
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$$
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假设其服从 AR(1)
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$$
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\tilde z_t=\rho\,\tilde z_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad
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\varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1,
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$$
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且 $\varepsilon_t$ 与历史 $\{\tilde z_{s}\}_{s<t}$ 独立。
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### 证明主特征值序列平稳
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#### **(1) 均值恒定性的推导**
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- 去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此
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$$
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E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1,
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$$
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与 $t$ 无关，满足第一条。
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#### (2) 方差恒定
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AR(1)模型定义为：
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$$
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z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t
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$$
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$$
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\begin{aligned}
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z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\
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&= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\
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&= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\
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&= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j}
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\end{aligned}
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$$
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$$
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\text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j})
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$$
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由于$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立，
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$$
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= \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}
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$$
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- **$|\rho| < 1$** 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。
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根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：
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$$
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\sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2
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$$
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此时：
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$$
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\text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2
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$$
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#### **(3) 协方差仅依赖滞后 $k$**
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对 $k\ge0$，
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$$
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\gamma(k):=\operatorname{Cov}(\tilde z_t,\tilde z_{t-k})
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=\rho^{k}\sigma_{\tilde z}^{2},
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$$
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仅含 $k$ 而与 $t$ 无关；于是
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$$
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\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k),
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$$
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满足第三条。
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#### (4) 平稳性的核心条件
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1. **|ρ| < 1 是关键条件**
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- 直观上：$\rho$ 越小，当前特征值对过去的依赖越弱；
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- $\rho=\pm1$ 会让方差发散，不可能稳态。
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2. **噪声独立性**：$\varepsilon_t$ 为白噪声，确保新信息与历史无关。
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### 证明剩余特征值平稳：
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#### 1. 收缩操作（Deflation）的严格定义
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设 $A_t$ 的谱分解为：
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$$
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A_t = \sum_{i=1}^N \lambda_i u_i u_i^\top,
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$$
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其中 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_N$，且 $\{u_i\}$ 是标准正交基。
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- **第一次收缩**：
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定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为：
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- 特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 $\lambda_1$ 后剩余特征值不变）。
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- 特征向量：$u_2, \dots, u_N$ 保持不变（因 $u_1$ 与其他特征向量正交）。
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- **第 $k$ 次收缩**：
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递归定义：
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$$
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A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top,
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$$
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剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。
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每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。
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#### 2. 剩余特征值的统计特性
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**目标**：证明 $\{\lambda_k(A_t)\}_{t \in \mathbb{Z}}$ 对 $k \geq 2$ 也是弱平稳的。
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##### **(1) 均值恒定性**
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- **剩余矩阵的期望**：
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由线性性：
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$$
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E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top].
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$$
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若 $A_t$ 的元素分布时不变，且 $\lambda_i$ 和 $u_i$ 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 $E[A_{t,k+1}]$ 与 $t$ 无关。
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- **特征值期望**：
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对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的期望近似为：
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$$
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E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1},
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$$
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其中 $(N-k-1)\mu$ 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。
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##### **(2) 方差恒定性**
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- **剩余矩阵的方差**：
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收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。
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由引理1的推广：
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$$
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\text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2.
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$$
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- **动态模型**：
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假设去中心化序列 $\tilde{z}_{k+1,t} = \lambda_{k+1}(A_t) - \mu_{k+1}$ 服从AR(1)：
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$$
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\tilde{z}_{k+1,t} = \rho_{k+1} \tilde{z}_{k+1,t-1} + \varepsilon_{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1,
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$$
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稳态方差为：
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$$
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\sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2 = \frac{\sigma_{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2.
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$$
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##### **(3) 协方差仅依赖滞后 $m$**
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- 协方差函数：
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$$
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\gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}_{k+1,t}, \tilde{z}_{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2.
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$$
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仅依赖 $m$，与 $t$ 无关。
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#### **3. 递推证明的完整性**
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1. **归纳基础**：
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$k=1$ 时（主特征值），平稳性已证。
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2. **归纳假设**：
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假设 $\lambda_k(A_t)$ 的平稳性成立，即：
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- $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数），
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- $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限），
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- $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。
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3. **归纳步骤**：
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- 通过收缩操作，$\lambda_{k+1}(A_t)$ 成为 $A_{t,k+1}$ 的主特征值。
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- 若 $A_{t,k+1}$ 满足与 $A_t$ 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的平稳性可类比主特征值的证明。
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## 网络重构分析
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### **0/1矩阵**
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这里以n个特征值特征向量重构为例！
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假设网络中有 $n$ 个节点，则矩阵 $A(G)$ 的维度为 $n \times n$，预测得到特征值和特征向量后，可以根据矩阵谱分解理论进行逆向重构网络邻接矩阵，表示如下：
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$$
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A(G) = \sum_{i=1}^n \hat{\lambda}_i \hat{x}_i \hat{x}_i^T
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$$
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其中 $\hat{\lambda}_i$ 和 $\hat{x}_i$ 分别为通过预测得到矩阵 $A(G)$ 的第 $i$ 个特征值和对应特征向量。 然而预测值和真实值之间存在误差，直接进行矩阵重构会使得重构误差较大。 对于这个问题，文献提出一种 0/1 矩阵近似恢复算法。
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$$
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a_{ij} =
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\begin{cases}
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1, & \text{if}\ \lvert a_{ij} - 1 \rvert < 0.5 \\
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0, & \text{else}
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\end{cases}
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$$
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只要我们的估计值与真实值之间差距**小于 0.5**，就能保证阈值处理以后准确地恢复原边信息。
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文中提出网络特征值扰动与邻接矩阵扰动具有相同的规律
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真实矩阵 $A(G)$ 与预测矩阵 $\hat{A}(G) $ 之间的差为
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$$
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A(G) - \hat{A}(G) = \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m \hat{x}_m \hat{x}_m^T.
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$$
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对于任意元素 $(i, j)$ 上有
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$$
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\left| \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m (\hat{x}_m \hat{x}_m^T)_{ij} \right| = |a_{ij} - \hat{a}_{ij}| < \frac{1}{2}
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$$
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于一个归一化的特征向量 $\hat{x}_m$，其外积矩阵 $\hat{x}_m \hat{x}_m^T$ 的元素理论上满足
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$$
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|(\hat{x}_m \hat{x}_m^T)_{ij}| \leq 1.
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$$
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经过分析推导可以得出发生特征扰动时，网络精准重构条件为：
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$$
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\sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m < \frac{1}{2}
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$$
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$$
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\Delta {\lambda} < \frac{1}{2n}
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$$
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0-1 矩阵能够精准重构的容忍上界与网络中的节点数量成反比，网络中节点数量越多，实现精准重构的要求也就越高。
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如果在**高层次**（特征值滤波）的误差累积超过了一定阈值，就有可能在**低层次**（邻接矩阵元素）中出现翻转。公式推导了只要谱参数的误差之和**不超过** 0.5，就可以保证0-1矩阵的精确重构。
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### **非0/1矩阵**
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- 原始（真）加权邻接矩阵：
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$$
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A = \sum_{m=1}^n \lambda_m\,x_m x_m^T,
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\quad \lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n,\;
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x_m^T x_k=\delta_{mk}.
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$$
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- 估计得到的矩阵及谱分解：
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$$
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\widetilde A = \sum_{m=1}^n \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
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||
\quad \widetilde\lambda_1\ge\cdots\ge\widetilde\lambda_n,\;
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||
\widetilde x_m^T\widetilde x_k=\delta_{mk}.
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$$
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- 最终只取前 $r$ 项重构 ：
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$$
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A_r \;=\;\sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
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$$
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#### **全局误差度量**
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对估计矩阵 $\widetilde{A}$ 的所有元素 $\{\tilde{a}_{ij}\}$ 进行 $K$-means 聚类，得到中心 $\{c_k\}_{k=1}^K$。
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- **簇内平均偏差**：
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$$
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\text{mean}_k = \frac{1}{|\mathcal{S}_k|} \sum_{(i,j)\in\mathcal{S}_k} |\tilde{a}_{ij} - c_k|
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$$
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- **全局允许误差**：
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$$
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\delta_{\max} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \text{mean}_k
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$$
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#### 带权重构需控制两类误差：
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1. **谱分解截断误差**$\epsilon$：
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$$
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\epsilon
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= \bigl\|\widetilde A - A_r\bigr\|_F
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= \Bigl\|\sum_{m=r+1}^n \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m \widetilde x_m^T\Bigr\|_F.
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$$
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---
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2. **滤波误差**$\eta$：
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**来源**：滤波器在谱域对真实特征值/向量的估计偏差，包括
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- 特征值偏差 $\Delta\lambda_m=\lambda_m-\widetilde\lambda_m$
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- 特征向量：矩阵扰动得来，不知道该不该算
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$$
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A - \widetilde A=\sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m \hat{x}_m \hat{x}_m^T.
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$$
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||
$$
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||
\eta \approx \Bigl\|\sum_{m=1}^n \Delta\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T\Bigr\|_F
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$$
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#### **最终约束条件**：
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$$
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\boxed{
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\underbrace{\eta}_{\text{滤波误差}}
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\;+\;
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\underbrace{\epsilon}_{\text{谱分解截断误差}}
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\;\le\;
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\underbrace{\delta_{\max}}_{\text{聚类量化容限}}
|
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}
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$$
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## 基于时空特征的节点位置预测
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在本模型中，整个预测流程分为两大模块：
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- **GCN 模块：主要用于从当前网络拓扑中提取每个节点的**空间表示**。这里的输入主要包括：
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- **邻接矩阵 $A$**：反映网络中节点之间的连通关系，维度为 $N \times N$，其中 $N$ 表示节点数。(可通过第二章网络重构的方式获取)
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- **特征矩阵 $H^{(0)}$**：一般是原始节点的属性信息，如历史位置数据，其维度为 $N \times d$，其中 $d$ 是初始特征维度。
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- **LSTM 模块**：用于捕捉节点随时间变化的动态信息，对每个节点的历史运动轨迹进行序列建模，并预测未来时刻的坐标。
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其输入通常是经过 GCN 模块处理后，每个节点在一段时间内获得的时空融合特征序列，维度一般为 $N \times T \times d'$，其中 $T$ 表示时间步数，$d'$ 是经过 GCN 后的特征维度。
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### GCN 模块
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#### 输入
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- **邻接矩阵 $A$**：维度 $N \times N$。在实际操作中，通常先加上自环形成
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$$
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\hat{A} = A + I.
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$$
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- **特征矩阵 $H^{(0)}$**：维度 $N \times d$，每一行对应一个节点的初始特征（例如历史采样的位置信息或其他描述）。
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#### 图卷积操作
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常用的图卷积计算公式为：
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$$
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H^{(l+1)} = \sigma \Bigl(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)} \Bigr)
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$$
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其中：
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- $\tilde{A} = A + I$ 为加上自环后的邻接矩阵，
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- $\tilde{D}$ 为 $\tilde{A}$ 的度矩阵，定义为 $\tilde{D}_{ii} = \sum_{j}\tilde{A}_{ij}$；
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- $H^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的节点特征，初始时 $H^{(0)}$ 就是输入特征矩阵；
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- $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，其维度通常为 $d_l \times d_{l+1}$（例如从 $d$ 到 $d'$）；
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- $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数，例如 ReLU 或 tanh。
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经过一层或多层图卷积后，可以得到最终的节点表示矩阵 $H^{(L)}$（或记为 $X$），维度为 $N \times d'$。
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其中：
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- 每一行 $x_i \in \mathbb{R}^{d'}$ 表示节点 $i$ 的空间特征，这些特征综合反映了其在网络拓扑中的位置及与邻居的关系。
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#### 输出
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- **GCN 输出**：形状为 $N \times d'$；若将模型用于时序建模，则对于每个时间步，都可以得到这样一个节点特征表示。
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- 这里 $d'>d$ 。1.高维嵌入不仅保留了绝对位置信息，还包括了网络拓扑信息。2.兼容下游LSTM任务需求。
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### LSTM 模块
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#### 输入数据构造
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在时序预测中，对于每个节点，我们通常有一段历史数据序列。假设我们采集了最近 $T$ 个时刻的数据，然后采用“滑动窗口”的方式，预测 $T+1$、 $T+2$...
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- 对于每个时刻 $t$，节点 $i$ 的空间特征 $x_i^{(t)} \in \mathbb{R}^{d'}$ 由 GCN 得到；
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- 将这些特征按照时间顺序排列，得到一个序列：
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$$
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X_i = \bigl[ x_i^{(t-T+1)},\, x_i^{(t-T+2)},\, \dots,\, x_i^{(t)} \bigr] \quad \in \mathbb{R}^{T \times d'}.
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$$
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对于整个网络来说，可以将数据看作一个三维张量，维度为 $(N, T, d')$。
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#### LSTM 内部运作
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LSTM 通过内部门控机制（遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$ 和输出门 $o_t$）来更新其记忆状态 $C_t$ 和隐藏状态 $h_t$。公式如下
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- **遗忘门**：
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$$
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f_t = \sigma(W_f [h_{t-1},\, x_t] + b_f)
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$$
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- **输入门和候选记忆**：
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$$
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i_t = \sigma(W_i [h_{t-1},\, x_t] + b_i) \quad,\quad \tilde{C}_t = \tanh(W_C [h_{t-1},\, x_t] + b_C)
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- **记忆更新**：
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C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t
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- **输出门和隐藏状态**：
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o_t = \sigma(W_o [h_{t-1},\, x_t] + b_o), \quad h_t = o_t \odot \tanh(C_t)
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其中，$x_t$ 在这里对应每个节点在时刻 $t$ 的 GCN 输出特征；
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$[h_{t-1},\, x_t]$ 为连接后的向量；
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LSTM 的隐藏状态 $h_i \in \mathbb{R}^{d'' \times 1}$（其中 $d''$ 为 LSTM 的隐藏单元数）捕捉了时间上的依赖信息。
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#### 输出与预测
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最后，经过 LSTM 处理后，我们在最后一个时间步获得最终的隐藏状态 $h_t$ 或使用整个序列的输出；接着通过一个全连接层（FC层）将隐藏状态映射到最终的预测输出。
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- **全连接层转换公式**：
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\hat{y}_i = W_{\text{fc}} \cdot h_t + b_{\text{fc}}
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其中，假设预测的是二维坐标（例如 $x$ 和 $y$ 坐标），$W_{\text{fc}} \in \mathbb{R}^{2 \times d''}$，输出 $\hat{y}_i \in \mathbb{R}^2$ 表示节点 $i$ 在未来某个时刻（或下一时刻）的预测坐标。
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若整个网络有 $N$ 个节点，则最终预测结果的输出维度为 $N \times 2$（或 $N \times T' \times 2$，如果预测多个未来时刻）。
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### 疑问
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该论文可能有点问题，每个节点只能预测自身未来位置，无法获取全局位置信息。如果先LSTM后GCN可能可以！
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