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# PID控制器
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PID控制器是一种常用的反馈控制系统，广泛应用于工业控制系统和各种控制系统中，用来持续调整一个过程的控制输入，以减小系统当前位置和期望位置之间的误差。PID代表比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Derivative）。
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## 控制系统概述
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**开环控制系统**
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前馈控制系统尝试预先计算扰动对系统的影响，并在扰动影响系统输出之前调整输入以抵消它。
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**闭环控制系统**
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控制器接收误差信号。该系统通过反馈回路来自动调节其输出
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**复合控制系统**
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## 连续与离散信号
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从连续信号到离散信号的转换过程涉及以下步骤：
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1. **采样**：在连续信号上每隔一定时间间隔取一个值。
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2. **量化**：将每个采样值映射到最接近的量化级上。
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积分可以通过**求和**来近似，微分可以通过相邻样本之间的**差分**来近似。
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## PID公式
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控制系统中的传感器会**连续**监测被控制对象的状态（例如，温度、压力、位置等），而PID控制器通过在固定的**采样间隔**收集输入信号，将其转换为**离散信号**，计算控制动作，然后输出到控制对象。离散PID控制的优势在于其灵活性和适应性，它可以轻松地与软件算法集成。
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## 直观例子
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**仅使用比例（P）控制无法消除稳态误差。**稳态误差是指当系统达到平衡状态时，控制系统的实际输出与期望输出之间的差异。
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原因：当系统接近其期望点时，误差减小，进而控制器输出也减小。如果控制器输出减小到无法克服系统内部阻力（如摩擦力）或外部扰动的程度时，系统就无法进一步接近设定点，从而留下稳态误差。
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为了解决稳态误差问题，通常会在P控制基础上加入积分（I）控制。积分控制能够累积误差，即使是很小的误差，也会随时间积累，最终产生足够的控制作用以调整系统输出，直到误差为零。
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微分控制在PID控制器中的作用主要是提高系统的瞬态响应和稳定性。
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$$
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{k}_{d}({e}_{i}-{e}_{i-1})
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$$
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它通过对误差信号的变化率（即误差的微分）进行响应，来预测系统未来的行为。如果误差在快速变化，微分项会产生一个相对较大的控制作用来尝试减缓这种变化。
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## 相关控制知识
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当系统启动时或者遇到大的扰动，会产生大的初始误差。若系统调整缓慢，积分项会在达到目标状态之前累积很大的值。这可导致控制器输出超出了实际的执行器（比如电机、阀门等）可以处理的范围。当这种情况发生时，即使误差减少，由于积分项累积的值太大，控制器的输出可能仍然处于饱和状态。
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**积分限幅**
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积分限幅可防止积分项超过预设的上限和下限。
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$$
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{I}_{clamped}(t)=clamp({I}_{updated(t)},{I}_{max},{I}_{min})
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$$
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**积分分离**
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当误差超过某个预定阈值时，禁用积分作用，仅使用比例（P）和微分（D）控制来快速减小误差，避免因积分作用导致的控制器输出过度响应。
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```text
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if (abs(error) > threshold) {
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// 积分作用被分离，即暂时禁用积分作用
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integral = 0;
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} else {
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// 正常积分累积
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integral += error * dt;
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}
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```
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PID控制器：
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```python
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def update(self, current_value):
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error = self.set_point - current_value
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# 实现积分分离逻辑
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if abs(error) < self.error_threshold:
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self.integral += error * self.dt
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# 应用积分限幅
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self.integral = max(min(self.integral, self.integral_limit), -self.integral_limit)
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else:
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# 误差过大时重置积分累积
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self.integral = 0
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derivative = (error - self.prev_error) / self.dt
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# PID 输出
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output = self.Kp * error + self.Ki * self.integral + self.Kd * derivative
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self.prev_error = error
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return output
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```
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