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严格推导过程（修正用户对白噪声的理解）
您提出的疑问非常关键。让我们重新梳理这个推导过程，特别注意白噪声项的处理。
1. 模型设定
AR(1)模型定义为：
z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t
其中：
\varepsilon_t \sim \text{WN}(0, \sigma_\varepsilon^2)是白噪声（独立同分布）|\rho| < 1保证平稳性
2. 递推展开（关键步骤）
通过无限递推将 z_t 表示为历史噪声的线性组合：
\begin{aligned}
z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\
&= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\
&= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\
&= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j}
\end{aligned}
为什么需要 $\varepsilon_{t-j}$？
虽然所有 \varepsilon_{t-j} 的方差都是 $\sigma_\varepsilon^2$，但它们是不同时刻的独立随机变量。不能合并为一个 $\varepsilon$，因为：
- 每个时间点
t-j的噪声\varepsilon_{t-j}是独立的新信息 - 合并会丢失时间维度信息，破坏模型结构
3. 方差计算（严格推导）
利用方差的性质（独立变量线性组合的方差）：
\text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)
步骤分解：
- 独立性：
\varepsilon_{t-j}相互独立 ⇒ 方差可加= \sum_{j=0}^\infty \text{Var}(\rho^j \varepsilon_{t-j}) - 常数提取：
\rho^j是非随机系数= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j}) - 同方差性：
\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2对所有j成立= \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} - 级数求和：
|\rho|<1时几何级数收敛= \sigma_\varepsilon^2 \cdot \frac{1}{1-\rho^2} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}
4. 为什么不能简化为单一 $\varepsilon$？
若错误地尝试合并：
\text{错误写法：} \quad z_t \overset{?}{=} \varepsilon_t (1 + \rho + \rho^2 + \cdots) = \frac{\varepsilon_t}{1-\rho}
会导致：
-
方差计算错误：
\text{Var}(z_t) \overset{?}{=} \frac{\text{Var}(\varepsilon_t)}{(1-\rho)^2} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{(1-\rho)^2}（与正确结果
\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}不符） -
物理意义错误：
- 忽略了不同时刻噪声的独立性
- 错误地假设所有历史噪声完全相关
5. 结论
- 正确结果：
\text{Var}(z_t) = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2} \quad \text{（与时间 $t$ 无关）} - 核心要点：
- 必须保留
\varepsilon_{t-j}的下标，表示不同时刻的独立噪声 - 几何级数求和时，系数是 $\rho^{2j}$（不是 $\rho^j$），因为方差运算涉及平方
- 必须保留
补充说明
此推导方法是时间序列分析的标准技术（参考Box & Jenkins《Time Series Analysis》）。白噪声的独立性是保证方差可加性的关键，任何简化合并 \varepsilon_{t-j} 的操作都会破坏模型的时间依赖性结构。
根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：
\sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2
此时：
\text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2