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### 严格推导过程（修正用户对白噪声的理解）
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您提出的疑问非常关键。让我们重新梳理这个推导过程，特别注意白噪声项的处理。
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#### **1. 模型设定**
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AR(1)模型定义为：
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z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t
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其中：
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- $\varepsilon_t \sim \text{WN}(0, \sigma_\varepsilon^2)$ 是白噪声（独立同分布）
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- $|\rho| < 1$ 保证平稳性
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#### **2. 递推展开（关键步骤）**
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通过无限递推将 $z_t$ 表示为历史噪声的线性组合：
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\begin{aligned}
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z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\
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&= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\
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&= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\
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&= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j}
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\end{aligned}
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$$
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**为什么需要 $\varepsilon_{t-j}$？**
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虽然所有 $\varepsilon_{t-j}$ 的方差都是 $\sigma_\varepsilon^2$，但它们是**不同时刻**的独立随机变量。不能合并为一个 $\varepsilon$，因为：
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- 每个时间点 $t-j$ 的噪声 $\varepsilon_{t-j}$ 是独立的新信息
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- 合并会丢失时间维度信息，破坏模型结构
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#### **3. 方差计算（严格推导）**
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利用方差的性质（独立变量线性组合的方差）：
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\text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)
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**步骤分解：**
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1. **独立性**：$\varepsilon_{t-j}$ 相互独立 ⇒ 方差可加
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= \sum_{j=0}^\infty \text{Var}(\rho^j \varepsilon_{t-j})
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2. **常数提取**：$\rho^j$ 是非随机系数
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= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j})
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3. **同方差性**：$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立
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= \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}
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4. **级数求和**：$|\rho|<1$ 时几何级数收敛
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= \sigma_\varepsilon^2 \cdot \frac{1}{1-\rho^2} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}
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#### **4. 为什么不能简化为单一 $\varepsilon$？**
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若错误地尝试合并：
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\text{错误写法：} \quad z_t \overset{?}{=} \varepsilon_t (1 + \rho + \rho^2 + \cdots) = \frac{\varepsilon_t}{1-\rho}
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会导致：
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1. **方差计算错误**：
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\text{Var}(z_t) \overset{?}{=} \frac{\text{Var}(\varepsilon_t)}{(1-\rho)^2} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{(1-\rho)^2}
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（与正确结果 $\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}$ 不符）
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2. **物理意义错误**：
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- 忽略了不同时刻噪声的独立性
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- 错误地假设所有历史噪声完全相关
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#### **5. 结论**
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- **正确结果**：
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\text{Var}(z_t) = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2} \quad \text{（与时间 $t$ 无关）}
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- **核心要点**：
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1. 必须保留 $\varepsilon_{t-j}$ 的下标，表示不同时刻的独立噪声
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2. 几何级数求和时，系数是 $\rho^{2j}$（不是 $\rho^j$），因为方差运算涉及平方
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### 补充说明
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此推导方法是时间序列分析的标准技术（参考Box & Jenkins《Time Series Analysis》）。白噪声的独立性是保证方差可加性的关键，任何简化合并 $\varepsilon_{t-j}$ 的操作都会破坏模型的时间依赖性结构。
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根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：
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\sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2
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此时：
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\text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2
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