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小论文

1.背景意义这边需要改。

2.卡尔曼滤波这边，Q、R不明确 / 真实若干时刻的测量值可以是真实值；但后面在线预测的时候仍然传的是真实值，事实上无法获取=》 考虑用三次指数平滑，对精确重构出来的矩阵谱分解，得到的特征值作为'真实值'，代入指数平滑算法中进行在线更新，执行单步计算。

4.这块有问题，没提高秩性，没说除了ER模型外的移动模型如RWP

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特征值精度预估

1. 噪声随机变量与协方差

符号 含义
w_i 第 i 个过程噪声样本
v_j 第 j 个观测噪声样本
Q 过程噪声的真实方差（协方差矩阵退化）
R 观测噪声的真实方差（协方差矩阵退化）

说明：

  • 在矩阵形式的 Kalman Filter 中，通常写作

    
  w_k\sim\mathcal N(0,Q),\quad v_k\sim\mathcal N(0,R).

  • 这里为做统计检验，把 w_i, v_j 当作样本，Q,R 就是它们在标量情况下的方差。

2. 样本统计量

符号 含义
N_w,\;N_v 过程噪声样本数和观测噪声样本数
\bar w 过程噪声样本均值
\bar v 观测噪声样本均值
s_w^2 过程噪声的样本方差估计
s_v^2 观测噪声的样本方差估计

定义：


\bar w = \frac1{N_w}\sum_{i=1}^{N_w}w_i,\quad
s_w^2 = \frac1{N_w-1}\sum_{i=1}^{N_w}(w_i-\bar w)^2,


\bar v = \frac1{N_v}\sum_{j=1}^{N_v}v_j,\quad
s_v^2 = \frac1{N_v-1}\sum_{j=1}^{N_v}(v_j-\bar v)^2.

3. 方差比的 F 分布区间估计

  1. 构造 F 统计量

    
F = \frac{(s_w^2/Q)}{(s_v^2/R)}
    = \frac{s_w^2}{s_v^2}\,\frac{R}{Q}
    \sim F(N_w-1,\,N_v-1).

  2. 置信区间（置信度 $1-\alpha$）
    查得

    
F_{L}=F_{\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),\quad
  F_{U}=F_{1-\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),

    则

    
\begin{align*}
P\Big\{F_{\rm L}\le F\le F_{\rm U}\Big\}=1-\alpha \quad\Longrightarrow \quad P\Big\{F_{\rm L}\,\le\frac{s_w^2}{s_v^2}\,\frac{R}{Q}\le F_{\rm U}\,\Big\}=1-\alpha.
\end{align*}

  3. 解出 \frac{R}{Q} 的区间

    
P\Bigl\{\,F_{L}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\le \frac{R}{Q}\le F_{U}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\Bigr\}=1-\alpha.

    令

    
  \theta_{\min}=\sqrt{\,F_{L}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\,},\quad
  \theta_{\max}=\sqrt{\,F_{U}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\,}.

4. 卡尔曼增益与误差上界

在标量情况下（即状态和观测均为1维），卡尔曼增益公式可简化为：


K = \frac{P_k H^T}{HP_k H^T + R} = \frac{HP_k}{H^2 P_k + R}

针对我们研究对象，特征值滤波公式的系数都属于实数域。$P_{k-1}$是由上次迭代产生，因此可以$FP_{k-1}F^T$看作定值，则$P_k$的方差等于$Q$的方差，即：


\text{var}(P_k) = \text{var}(Q)

令 c = H, $m = 1/H$（满足 $cm = 1$），则：


K = \frac{cP_k}{c^2 P_k + R} = \frac{1}{c + m(R/P_k)} \quad R/P_k\in[\theta_{\min}^2,\theta_{\max}^2].

则极值为


K_{\max}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\min}^2},\quad
K_{\min}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\max}^2}.

通过历史数据计算预测误差的均值：


E(x_k' - x_k) \approx \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} (x_k^{l(m)} - x_k^{(m)})\\

定义误差上界


\xi
=\bigl(K_{\max}-K_{\min}\bigr)\;E\bigl(x_k'-x_k\bigr)
=\Bigl(\tfrac1{c+m\,\theta_{\min}^2}-\tfrac1{c+m\,\theta_{\max}^2}\Bigr)
\,E(x_k'-x_k).

若令 $c,m=1$，可写成


\xi
=\frac{(\theta_{\max}-\theta_{\min})\,E(x_k'-x_k)}
      {(c^2+\theta_{\min})(c^2+\theta_{\max})}.

量化噪声方差估计的不确定性，进而评估卡尔曼滤波器增益的可能波动，并据此给出滤波误差的上界.

指数平滑法

指数平滑法（Single Exponential Smoothing）

指数平滑法是一种对时间序列进行平滑和短期预测的简单方法。它假设近期的数据比更久之前的数据具有更大权重，并用一个平滑常数 $\alpha$（$0<\alpha\leq1$）来控制“记忆”长度。

  • 平滑方程：

    
  S_t = \alpha\,x_t + (1-\alpha)\,S_{t-1}
    • $x_t$：时刻 t 的实际值
    • $S_t$：时刻 t 的平滑值（也可作为对 x_{t+1} 的预测）
    • S_1 的初始值一般取 x_1

  • 举例：
    假设一产品过去 5 期的销量为 $[100,;105,;102,;108,;110]$，取 $\alpha=0.3$，初始平滑值取 $S_1=x_1=100$：

    1. S_2=0.3\times105+0.7\times100=101.5
    2. S_3=0.3\times102+0.7\times101.5=101.65
    3. S_4=0.3\times108+0.7\times101.65\approx103.755
    4. S_5=0.3\times110+0.7\times103.755\approx106.379

    因此，对第 6 期销量的预测就是 $S_5\approx106.38$。

二次指数平滑法（Holt’s Linear Method）

当序列存在趋势（Trend）时，单次平滑会落后。二次指数平滑（也称 Holt 线性方法）在单次平滑的基础上，额外对趋势项做平滑。

  • 水平和趋势平滑方程：

    
\begin{cases}
  L_t = \alpha\,x_t + (1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1}), \\[6pt]
  T_t = \beta\,(L_t - L_{t-1}) + (1-\beta)\,T_{t-1},
\end{cases}
    • $L_t$：水平（level）
    • $T_t$：趋势（trend）
    • $\alpha, \beta$：平滑常数，通常 $0.1$–0.3

  • 预测公式：

    
  \hat{x}_{t+m} = L_t + m\,T_t

    其中 m 为预测步数。

  • 举例：
    用同样的数据 $[100,105,102,108,110]$，取 $\alpha=0.3,;\beta=0.2$，初始化：

    • L_1 = x_1 = 100
    • T_1 = x_2 - x_1 = 5

    接下来计算：

    1. $t=2$：

      
  L_2=0.3\times105+0.7\times(100+5)=0.3\times105+0.7\times105=105

      
  T_2=0.2\times(105-100)+0.8\times5=0.2\times5+4=5

    2. $t=3$：

      
  L_3=0.3\times102+0.7\times(105+5)=0.3\times102+0.7\times110=106.4

      
  T_3=0.2\times(106.4-105)+0.8\times5=0.2\times1.4+4=4.28

    3. $t=4$：

      
  L_4=0.3\times108+0.7\times(106.4+4.28)\approx0.3\times108+0.7\times110.68\approx110.276

      
  T_4=0.2\times(110.276-106.4)+0.8\times4.28\approx0.2\times3.876+3.424\approx4.199

    4. $t=5$：

      
  L_5=0.3\times110+0.7\times(110.276+4.199)\approx0.3\times110+0.7\times114.475\approx112.133

      
  T_5=0.2\times(112.133-110.276)+0.8\times4.199\approx0.2\times1.857+3.359\approx3.731

    预测第 6 期 (m=1)：

    
  \hat{x}_6 = L_5 + 1\times T_5 \approx 112.133 + 3.731 = 115.864

小结

  • 单次指数平滑适用于无明显趋势的序列，简单易用。
  • 二次指数平滑（Holt 方法）在水平外加趋势成分，适合带线性趋势的数据，并可向未来多步预测。

通过选择合适的平滑参数 \alpha,\beta 并对初值进行合理设定，即可在实践中获得较好的短期预测效果。

三次指数平滑法概述

三次指数平滑法在二次（Holt）方法的基础上又加入了对季节成分的平滑，适用于同时存在趋势（Trend）和季节性（Seasonality）的时间序列。

主要参数及符号

  • $m$：季节周期长度（例如季度数据 $m=4$，月度数据 $m=12$）。
  • $\alpha, \beta, \gamma$：水平、趋势、季节三项的平滑系数，均在 (0,1] 之间。
  • $x_t$：时刻 t 的实际值。
  • $L_t$：时刻 t 的水平（level）平滑值。
  • $B_t$：时刻 t 的趋势（trend）平滑值。
  • $S_t$：时刻 t 的季节（seasonal）成分平滑值。
  • $\hat x_{t+h}$：时刻 t+h 的 h 步预测值。

平滑与预测公式（加法模型）


\begin{aligned}
L_t &= \alpha\,(x_t - S_{t-m}) + (1-\alpha)\,(L_{t-1}+B_{t-1}),\\
B_t &= \beta\,(L_t - L_{t-1}) + (1-\beta)\,B_{t-1},\\
S_t &= \gamma\,(x_t - L_t) + (1-\gamma)\,S_{t-m},\\
\hat x_{t+h} &= L_t + h\,B_t + S_{t-m+h_m},\quad\text{其中 }h_m=((h-1)\bmod m)+1.
\end{aligned}
  • 加法模型 适用于季节波动幅度与水平无关的情况；
  • 乘法模型 则把"$x_t - S_{t-m}$"改为"$x_t / S_{t-m}$"、"$S_t$"改为"$\gamma,(x_t/L_t)+(1-\gamma),S_{t-m}$"并在预测中用乘法。

计算示例

假设我们有一个周期为 m=4 的序列，前 8 期观测值：


x = [110,\;130,\;150,\;95,\;120,\;140,\;160,\;100].

取参数 $\alpha=0.5,;\beta=0.3,;\gamma=0.2$。
初始值按常见做法设定为：

  • L_0 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_i = \tfrac{110+130+150+95}{4}=121.25.

  • 趋势初值

    
B_0 = \frac{1}{m^2}\sum_{i=1}^m (x_{m+i}-x_i)
     = \frac{(120-110)+(140-130)+(160-150)+(100-95)}{4\cdot4}
     = \frac{35}{16} \approx 2.1875.

  • 季节初值 $S_i = x_i - L_0$，即
    [-11.25,\;8.75,\;28.75,\;-26.25] 对应 $i=1,2,3,4$。

下面我们演示第 5 期（$t=5$）的更新与对第 6 期的预测。

t x_t 计算细节 结果
已知初值
0 – L_0=121.25,\;B_0=2.1875
1–4 – S_{1\ldots4}=[-11.25,\,8.75,\,28.75,\,-26.25]
5 120 L_5=0.5(120-(-11.25)) +0.5(121.25+2.1875) \approx127.3438
B_5=0.3(127.3438-121.25)+0.7\cdot2.1875 \approx3.3594
S_5=0.2(120-127.3438)+0.8\cdot(-11.25) \approx-10.4688
预测 h=1 – \hat x_6 = L_5 + 1\cdot B_5 + S_{6-4}\;(=S_2=8.75) \approx139.45

解读：

  1. 期 5 时，剔除上周期季节影响后平滑得到新的水平 $L_5$；
  2. 由水平变化量给出趋势 $B_5$；
  3. 更新第 5 期的季节因子 $S_5$；
  4. 期 6 的一步预测综合了最新水平、趋势和对应的季节因子，得 $\hat x_6\approx139.45$。

总结思考

  • 如果你把预测值 \hat x_{t+1} 当作"新观测"再去更新状态，然后再预测 $\hat x_{t+2}$，这种"预测—更新—预测"的迭代方式会让模型把自身的预测误差也当作输入，不断放大误差。
  • 正确做法是——在时刻 t 得到 L_t,B_t,S_t 后，用上面的直接公式一次算出所有未来 $\hat x_{t+1},\hat x_{t+2},\dots$，这样并不会"反馈"误差，也就没有累积放大的问题。

或者，根据精确重构出来的矩阵谱分解，得到的特征值作为'真实值'，进行在线更新，执行单步计算。

实时估计 为什么不用AI 能做预测 ，对于完全随机网络没有用 复杂度高 需要数据训练 算力时间

图神经

可以搞多维特征

AI对结构预测不准， 特征

为什么要等随机网络稳定？这里其实是一个假设，稳定下来：RWP 在足够长时间后满足 Birkhoff 点态遍历定理，节点的取样分布趋于稳态，并且对每个时刻都是同分布！！！然后可以应用那个结论。