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定理2
多智能体随机网络矩阵奇异值信号系统具有线性特征。
证明
根据定理1，奇异值序列$\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t)$服从高斯分布$\mathcal{N}(m_{\tilde{\kappa}}, 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2)$，其协方差结构满足：
\gamma_{\tilde{\kappa}}(h) = 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2\delta_h^0
定义中心化变量：
\tilde{\sigma}_t = \sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) - m_{\tilde{\kappa}}
可表示为：
\tilde{\sigma}_t = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}\varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)
线性系统验证
该系统为MA(0)过程，系统增益$h_0 = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}$，满足：
- 齐次性：
a\tilde{\sigma}_t = h_0(a\varepsilon_t) - 叠加性：
\tilde{\sigma}_t^{(1)} + \tilde{\sigma}_t^{(2)} = h_0(\varepsilon_t^{(1)} + \varepsilon_t^{(2)})
结论
奇异值序列的完整表示：
\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) = m_{\tilde{\kappa}} + h_0\varepsilon_t
其中：
- $m_{\tilde{\kappa}}$为稳态偏置项
- $h_0\varepsilon_t$为线性系统响应
根据线性系统定义（需引用文献），同时满足齐次性与可加性即构成线性系统，故得证。
② 定理2修订（线性系统特征）
原MA(0)情形回顾
当$\gamma_k(h)=2\sigma_k^2\delta_h$时，
\tilde{\sigma}_t=\sigma_k(A_t)-m_k=\sqrt{2}\sigma_k\varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)
新协方差结构下的表示
当$\gamma_k(h)=C_h$（允许$C_h\neq0$），根据Wiener-Kolmogorov表示定理：
\tilde{\sigma}_t=\sum_{h=-\infty}^{+\infty} b_h w_{t-h} \tag{1}
其中${b_h}\in\ell^2$满足：
\gamma_k(h)=\sum_{\ell=-\infty}^{+\infty} b_\ell b_{\ell+h} \tag{2}
线性系统验证
设系统传递函数$H(z)=\sum_h b_h z^{-h}$：
-
齐次性
a\tilde{\sigma}_t=a\sum_h b_h w_{t-h}=\sum_h b_h (a w_{t-h})=H(z)\{a w_t\} -
叠加性
\tilde{\sigma}_t^{(1)}+\tilde{\sigma}_t^{(2)}=\sum_h b_h(w_{t-h}^{(1)}+w_{t-h}^{(2)})=H(z)\{w_t^{(1)}+w_t^{(2)}\}
故${\sigma_k(A_t)}$仍是LTI系统输出，但系统响应${b_h}$需通过(2)式确定。
性质对比
| 性质 | \gamma_k(h)=2\sigma_k^2\delta_h |
\gamma_k(h)=C_h |
|---|---|---|
| 宽平稳 | ✅ | ✅ |
| 白噪声 | ✅ | ❌ |
| 系统类型 | MA(0) | 通用LTI（可能MA(\infty)） |
| 谱密度 | S(f)=2\sigma_k^2 |
S(f)=\sum_h C_h e^{-j2\pi f h} |
随机网络稳态奇异值的平稳性证明
1. 稳态奇异值分布特性
当随机网络进入稳态后，其矩阵序列${A_t}$的任意奇异值$\sigma_k(A_t)$服从高斯分布：
\sigma_k(A_t) \sim \mathcal{N}(m_k, \gamma_k(0))
其中参数满足：
- 均值：
m_k = (N-1)\mu_k + v_k + \frac{\sigma_k^2}{\mu_k}
（$N$为网络规模，$\mu_k,v_k,\sigma_k$为网络参数） - 方差：
\gamma_k(0) = 2\sigma_k^2
2. 宽平稳性验证
对任意时刻$t$：
-
均值稳定性：
\mathbb{E}[\sigma_k(A_t)] = m_k \quad \text{(常数)} -
协方差结构：
-
当$h=0$时：
\text{Cov}(\sigma_k(A_t), \sigma_k(A_t)) = \gamma_k(0) -
当$h \neq 0$时：
\text{Cov}(\sigma_k(A_t), \sigma_k(A_{t+h})) = \gamma_k(h)=0（由稳态下矩阵的独立性保证）
-
3. 结论
自协方差函数$\gamma_k(h)$仅依赖于时滞$h$，因此奇异值信号序列${\sigma_k(A_t)}$满足宽平稳过程的定义。
注：本证明基于以下假设：
- 网络规模$N$足够大，使得高斯逼近有效
- 稳态下矩阵序列${A_t}$具有独立性
定理2
多智能体随机网络矩阵奇异值信号系统具有线性特征。
证明
根据定理1，奇异值序列$\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t)$服从高斯分布$\mathcal{N}(m_{\tilde{\kappa}}, 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2)$，其协方差结构满足：
\gamma_{\tilde{\kappa}}(h) = 2\sigma_{\tilde{\kappa}}^2\delta_h^0
定义中心化变量：
\tilde{\sigma}_t = \sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) - m_{\tilde{\kappa}}
可表示为：
\tilde{\sigma}_t = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}\varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)
线性系统验证
该系统为MA(0)过程，系统增益$h_0 = \sqrt{2}\sigma_{\tilde{\kappa}}$，满足：
- 齐次性：
a\tilde{\sigma}_t = h_0(a\varepsilon_t) - 叠加性：
\tilde{\sigma}_t^{(1)} + \tilde{\sigma}_t^{(2)} = h_0(\varepsilon_t^{(1)} + \varepsilon_t^{(2)})
结论
奇异值序列的完整表示：
\sigma_{\tilde{\kappa}}(A_t) = m_{\tilde{\kappa}} + h_0\varepsilon_t
其中：
- $m_{\tilde{\kappa}}$为稳态偏置项
- $h_0\varepsilon_t$为线性系统响应
根据线性系统定义（需引用文献），同时满足齐次性与可加性即构成线性系统，故得证。
……由协方差结构 γ_k(h)=2σ_k^2δ_h^0 可知，中心化变量
\tilde σ_t = σ_k(A_t)-m_k,\qquad
\mathbb E[\tilde σ_t]=0,\; \mathrm{Cov}(\tilde σ_t,\tilde σ_{t+h})=
2σ_k^{2}\delta_h^{0}.
根据 Wold 分解定理①，任何零均值、纯非确定性的宽平稳过程都可以唯一表示为
\tilde σ_t=\sum_{j=0}^{\infty}ψ_j\;ε_{t-j},
\qquad ε_t\stackrel{i.i.d.}{\sim}\mathcal N(0,1),\
\sum_{j=0}^{\infty}|ψ_j|^2<\infty.
而在本情形下 $\gamma_k(h)=0,(h\neq 0)$，因此
ψ_0=\sqrt{2}\,σ_k,\quad ψ_j=0\;(j\ge 1),
退化为一个 MA(0) 过程：
\boxed{\;\tilde σ_t=\sqrt{2}\,σ_k\,ε_t\;}
……