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# 线性代数
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## 线性变换
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每列代表一个基向量，行数代码这个基向量所张成空间的维度，二行三列表示二维空间的三个基向量。
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- 二维标准基矩阵（单位矩阵）：
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$$
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\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | \\ \mathbf{i} & \mathbf{j} \\ | & | \end{bmatrix}
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$$
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- 三维标准基矩阵（单位矩阵）：
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$$
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\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | & | \\ \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ | & | & | \end{bmatrix}
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$$
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### **矩阵乘向量**
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在 3blue1brown 的“线性代数的本质”系列中，他把矩阵乘向量的运算解释为**线性组合**和**线性变换**的过程。具体来说：
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- **计算方法**
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给定一个 $ m \times n $ 的矩阵 $ A $ 和一个 $ n $ 维向量 $ \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T $，矩阵与向量的乘积可以表示为：
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$$
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A\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n
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$$
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其中，$\mathbf{a}_i$ 表示 $ A $ 的第 $ i $ 列向量。也就是说，我们用向量 $\mathbf{x}$ 的各个分量作为权重，对矩阵的各列进行线性组合。
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例如：矩阵 $ A $ 是一个二阶矩阵：
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$$
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A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
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$$
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向量 $ \mathbf{x} $ 是一个二维列向量：
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$$
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\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
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$$
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可以将这个乘法看作是用 $ x $ 和 $ y $ 这两个数，分别对矩阵的两列向量进行加权：
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$$
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A\mathbf{x} = x \cdot \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y \cdot \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}
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$$
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也就是说，矩阵乘向量的结果，是“矩阵每一列”乘以“向量中对应的分量”，再把它们加起来。
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- **背后的思想**
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1. **分解为基向量的组合**：
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任何向量都可以看作是标准基向量的线性组合。矩阵 $ A $ 在几何上代表了一个线性变换，而标准基向量在这个变换下会分别被映射到新的位置，也就是矩阵的各列。
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2. **构造变换**：
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当我们用 $\mathbf{x}$ 的分量对这些映射后的基向量加权求和时，就得到了 $ \mathbf{x} $ 在变换后的结果。这种方式不仅方便计算，而且直观地展示了线性变换如何“重塑”空间——每一列告诉我们基向量被如何移动，然后这些移动按比例组合出最终向量的位置。
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### **矩阵乘矩阵**
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当你有两个矩阵 $ A $ 和 $ B $，矩阵乘法 $ AB $ 实际上代表的是：
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> 先对向量应用 $ B $ 的线性变换，再应用 $ A $ 的线性变换。
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也就是说：
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$$
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(AB)\vec{v} = A(B\vec{v})
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**3blue1brown 的直觉解释：**
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矩阵 B：提供了新的**变换后基向量**
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记住：矩阵的每一列，表示标准基向量 $ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 $ 在变换后的样子。
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所以：
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- $ B $ 是一个变换，它把空间“拉伸/旋转/压缩”成新的形状；
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- $ A $ 接着又对这个已经变形的空间进行变换。
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例：
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$$
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A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
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$$
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- $ B $ 的列是：
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- $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ → 第一个标准基向量变形后的位置
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- $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ → 第二个标准基向量变形后的位置
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我们计算：
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- $ A \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $
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- $ A \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} $
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所以：
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$$
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AB = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}
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$$
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这个新矩阵 $ AB $ 的列向量，表示标准基向量在经历了 **“先 B 再 A”** 的变换后，落在了哪里。
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## 行列式
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3blue1brown讲解行列式时，核心在于用几何直观来理解行列式的意义：
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缩放比例！！！
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**体积（或面积）的伸缩因子**
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对于二维空间中的2×2矩阵，行列式的绝对值表示该矩阵作为线性变换时，对**单位正方形**施加变换后得到的平行四边形的面积。类似地，对于三维空间中的3×3矩阵，行列式的绝对值就是单位立方体变换后的平行六面体的体积。也就是说，行列式告诉我们这个变换如何“拉伸”或“压缩”空间。
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**方向的指示（有向面积或体积）**
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行列式不仅仅给出伸缩倍数，还通过正负号反映了变换是否保持了原来的方向（正）还是发生了翻转（负）。例如，在二维中，如果行列式为负，说明变换过程中存在翻转（类似镜像效果）。
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**变换的可逆性**
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当行列式为零时，说明该线性变换把空间**压缩到了低维**（例如二维变一条线，三维变成一个平面或线），这意味着信息在变换过程中丢失，变换不可逆。
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## 逆矩阵、列空间、零空间
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### **逆矩阵**
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逆矩阵描述了一个矩阵所代表的线性变换的**“反过程”**。假设矩阵 $A$ 对空间做了某种变换（比如旋转、拉伸或压缩），那么 $A^{-1}$ 就是把这个变换“逆转”，把变换后的向量再映射回原来的位置。
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前提是$A$ 是可逆的，即它对应的变换不会把空间压缩到更低的维度。
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### 秩
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秩等于矩阵列向量（或行向量）**所生成的空间的维数**。例如，在二维中，如果一个 $2 \times 2$ 矩阵的秩是 2，说明这个变换把平面“充满”；如果秩为 1，则所有输出都落在一条直线上，说明变换“丢失”了一个维度。
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### 列空间
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列空间是矩阵所有列向量的线性组合所构成的集合（也可以说所有可能的**输出向量**$A\mathbf{x}$所构成的集合）。 比如一个二维变换的列空间可能是整个平面，也可能只是一条直线，这取决于矩阵的秩。
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### 零空间
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零空间（又称核、kernel）是所有在该矩阵作用（线性变换$A$）下变成零向量的**输入向量**的集合。
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它展示了变换中哪些方向被“压缩”成了一个点（原点）。例如，在三维中，如果一个矩阵将所有向量沿某个方向压缩到零，那么这个方向构成了零空间。
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零空间解释了$Ax=0$的解的集合，就是齐次的通解。如果满秩，零空间只有唯一解零向量。
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### 求解线性方程
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设线性方程组写作
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$$
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A\mathbf{x} = \mathbf{b}
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这相当于在问：“有没有一个向量 $\mathbf{x}$ ，它经过矩阵 $A$ 的变换后，恰好落在 $\mathbf{b}$ 所在的位置？”
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- 如果 $\mathbf{b}$ 落在 $A$ 的列空间内，那么就存在解。解可能是唯一的（当矩阵满秩时）或无穷多（当零空间非平凡时）。
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- 如果 $\mathbf{b}$ 不在列空间内，则说明 $\mathbf{b}$ 不可能由 $A$ 的列向量线性组合得到，这时方程组无解。
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- 唯一解对应于所有这些几何对象在一点相交；
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- 无限多解对应于它们沿着某个方向重合；
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- 无解则说明这些对象根本没有公共交点。
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## 基变换
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新基下的变换矩阵 $A_C$ 为：
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$$
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A_C = P^{-1} A P
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$$
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$P$：从原基到新基的**基变换矩阵**（可逆），$P$的每一列代表了新基中的一个基向量
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$A$：线性变换 $T$ 在**原基**下的矩阵表示
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原来空间中进行$A$线性变换等同于新基的视角下进行 $A_C$ 变换
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## 点积、哈达马积
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**向量点积（Dot Product）**
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3blue1brown认为，两个向量的点乘就是将其中一个向量转为线性变换。
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假设有两个向量
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$$
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\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}.
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$$
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$$
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\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} =\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}=v_1w_1 + v_2w_2..
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$$
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- **结果**：
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点积的结果是一个**标量**（即一个数）。
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- **几何意义**：
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点积可以衡量两个向量的相似性，或者计算一个向量在另一个向量方向上的投影。
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**哈达马积（Hadamard Product）**
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- **定义**：
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对于两个向量 $\mathbf{u} = [u_1, u_2, \dots, u_n]$ 和 $\mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$，它们的哈达马积定义为：
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$$
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\mathbf{u} \circ \mathbf{v} = [u_1 v_1, u_2 v_2, \dots, u_n v_n].
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$$
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- **结果**：
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哈达马积的结果是一个**向量**，其每个分量是对应位置的分量相乘。
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- **几何意义**：
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哈达马积通常用于逐元素操作，比如在神经网络中对两个向量进行逐元素相乘。
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矩阵也有哈达马积！。
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## 特征值和特征向量
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设矩阵：
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$$
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A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}
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$$
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步骤 1：求特征值
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构造特征方程：
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$$
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\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 0 = 0
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$$
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解得：
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$$
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(2-\lambda)(3-\lambda) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 3
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$$
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步骤 2：求特征向量
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- 对于 $\lambda_1 = 2$：
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解方程：
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$$
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(A - 2I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 \\ 0 & 3-2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
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$$
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从第一行 $x_2 = 0$。因此特征向量可以写成：
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$$
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\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍})
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$$
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- 对于 $\lambda_2 = 3$：
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解方程：
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$$
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(A - 3I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2-3 & 1 \\ 0 & 3-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_1+x_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
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$$
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从第一行得 $-x_1 + x_2 = 0$ 或 $x_2 = x_1$。因此特征向量可以写成：
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$$
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\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍})
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$$
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**设一个对角矩阵**：
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$$
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D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix}
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$$
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$$
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\lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2
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$$
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对角矩阵的特征方程为：
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$$
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\det(D - \lambda I) = (d_1 - \lambda)(d_2 - \lambda) = 0
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$$
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因此特征值是：
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$$
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\lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2
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$$
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- 对于 $\lambda_1 = d_1$，方程 $(D-d_1I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 得到：
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$$
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\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d_2-d_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ (d_2-d_1)x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
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$$
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若 $d_1 \neq d_2$，则必须有 $x_2=0$，而 $x_1$ 可任意取非零值，因此特征向量为：
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$$
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\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
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$$
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- 对于 $\lambda_2 = d_2$，类似地解得：
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$$
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\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
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$$
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## 矩阵乘法
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**全连接神经网络**
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其中：
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- $a^{(0)}$ 是输入向量，表示当前**层**的输入。
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- $\mathbf{W}$ 是权重矩阵，表示输入向量到输出向量的线性变换。
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- $b$ 是偏置向量，用于调整输出。
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- $\sigma$ 是激活函数（如 ReLU、Sigmoid 等），用于引入非线性。
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- **输入向量 $a^{(0)}$**：
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$$
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a^{(0)} = \begin{pmatrix}
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a_0^{(0)} \\
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a_1^{(0)} \\
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\vdots \\
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a_n^{(0)}
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\end{pmatrix}
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$$
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这是一个 $n+1$ 维的列向量，表示输入特征。
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- **权重矩阵 $\mathbf{W}$**：
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$$
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\mathbf{W} = \begin{pmatrix}
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w_{0,0} & w_{0,1} & \cdots & w_{0,n} \\
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w_{1,0} & w_{1,1} & \cdots & w_{1,n} \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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w_{k,0} & w_{k,1} & \cdots & w_{k,n} \\
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||
\end{pmatrix}
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$$
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这是一个 $k \times (n+1)$ 的矩阵，其中 $k$ 是输出向量的维度，$n+1$ 是输入向量的维度。
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- **偏置向量 $b$**：
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$$
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b = \begin{pmatrix}
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b_0 \\
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b_1 \\
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\vdots \\
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b_k
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\end{pmatrix}
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$$
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这是一个 $k$ 维的列向量，用于调整输出。
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1. 在传统的连续时间 RNN 写法里，常见的是
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$$
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\sum_{j} W_{ij} \, \sigma(x_j),
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$$
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这代表对所有神经元 $j$ 的激活 $\sigma(x_j)$ 做加权求和，再求和到神经元 $i$。
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如果拆开来看，每个输出分量也都含一个求和 $\sum_{j}$：
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- 输出向量的第 1 个分量（记作第 1 行的结果）：
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$$
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(W_r x)_1 = 0.3 \cdot x_1 + (-0.5) \cdot x_2 = 0.3 \cdot 2 + (-0.5) \cdot 1 = 0.6 - 0.5 = 0.1.
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$$
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- 输出向量的第 2 个分量（第 2 行的结果）：
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$$
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(W_r x)_2 = 1.2 \cdot x_1 + 0.4 \cdot x_2 = 1.2 \cdot 2 + 0.4 \cdot 1 = 2.4 + 0.4 = 2.8.
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$$
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2. 在使用矩阵乘法时，你可以写成
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$$
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y = W_r \, \sigma(x),
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$$
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其中 $\sigma$ 表示对 $x$ 的各分量先做激活，接着用 $W_r$ 乘上去。这就是把“$\sum_j \dots$”用矩阵乘法隐藏了。
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$$
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\begin{pmatrix}
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||
0.3 & -0.5\\
|
||
1.2 & \;\,0.4
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||
\end{pmatrix}
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||
\begin{pmatrix}
|
||
2\\
|
||
1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.3 \times 2 + (-0.5) \times 1\\[6pt]
|
||
1.2 \times 2 + 0.4 \times 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.6 - 0.5\\
|
||
2.4 + 0.4
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.1\\
|
||
2.8
|
||
\end{pmatrix}.
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$$
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## 奇异值
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**定义**
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对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其奇异值是非负实数 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_r$（$r = \min(m, n)$），满足存在正交矩阵 $U$ 和 $V$，使得：
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$$
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A = U \Sigma V^T
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$$
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其中，$\Sigma$ 是对角矩阵，对角线上的元素即为奇异值。
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**主要特点**
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1. **非负性**：奇异值总是非负的。
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2. 对角矩阵的奇异值是对角线元素的**绝对值**。
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3. **降序排列**：通常按从大到小排列，即 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots \geq \sigma_r \geq 0$。
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4. **矩阵分解**：奇异值分解（SVD）将矩阵分解为三个矩阵的乘积，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵。
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5. **应用广泛**：奇异值在数据降维、噪声过滤、图像压缩等领域有广泛应用。
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### 奇异值求解
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奇异值可以通过计算矩阵 $A^T A$ 或 $A A^T$ 的特征值的**平方根**得到。
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**步骤 1：计算 $A^T A$**
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首先，我们计算矩阵 $A$ 的转置 $A^T$：
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$$
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A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}
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$$
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然后，计算 $A^T A$：
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$$
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A^T A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}
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$$
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**步骤 2：计算 $A^T A$ 的特征值**
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接下来，我们计算 $A^T A$ 的特征值。特征值 $\lambda$ 满足以下特征方程：
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$$
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\det(A^T A - \lambda I) = 0
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$$
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即：
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$$
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\det \begin{pmatrix} 9 - \lambda & 0 \\ 0 & 16 - \lambda \end{pmatrix} = (9 - \lambda)(16 - \lambda) = 0
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$$
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解这个方程，我们得到两个特征值：
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$$
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\lambda_1 = 16, \quad \lambda_2 = 9
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$$
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**步骤 3：计算奇异值**
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奇异值是特征值的平方根，因此我们计算：
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$$
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\sigma_1 = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{16} = 4
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$$
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$$
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\sigma_2 = \sqrt{\lambda_2} = \sqrt{9} = 3
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$$
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**结果**
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矩阵 $A$ 的奇异值为 **4** 和 **3**。
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### 奇异值分解
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给定一个实矩阵 $A$（形状为 $m \times n$），SVD 是将它分解为：
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$$
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A = U \Sigma V^T
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$$
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1. **构造 $A^T A$**
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- 计算对称矩阵 $A^T A$（$n \times n$）
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2. **求解 $A^T A$ 的特征值和特征向量**
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- 设特征值为 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n \geq 0$
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- 对应特征向量为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$
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3. **计算奇异值**
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- $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$
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4. **构造矩阵 $V$**
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- 将*正交归一*的特征向量作为列向量：$V = [\mathbf{v}_1 | \mathbf{v}_2 | \dots | \mathbf{v}_n]$
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5. **求矩阵 $U$**
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- 对每个非零奇异值：$\mathbf{u}_i = \frac{A \mathbf{v}_i}{\sigma_i}$
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- 标准化（保证向量长度为 1）后组成 $U = [\mathbf{u}_1 | \mathbf{u}_2 | \dots | \mathbf{u}_m]$
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6. **构造 $\Sigma$**
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- 对角线放置奇异值：$\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_p)$，$p=\min(m,n)$
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## 范数
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### **L2范数定义**：
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对于一个向量 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_n]$，L2 范数定义为
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$$
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\|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_n^2}
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$$
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假设一个权重向量为 $\mathbf{w} = [3, -4]$，则
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$$
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\|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
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$$
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**用途**：
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- **正则化（L2正则化/权重衰减）**：在训练过程中，加入 L2 正则项有助于防止模型过拟合。正则化项通常是权重的 L2 范数的平方，例如
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$$
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\lambda \|\mathbf{w}\|_2^2
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$$
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其中 $\lambda$ 是正则化系数。
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- **梯度裁剪**：在 RNN 等深度网络中，通过计算梯度的 L2 范数来判断是否需要对梯度进行裁剪，从而防止梯度爆炸。
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**具体例子**：
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假设我们有一个简单的线性回归模型，损失函数为均方误差（MSE）：
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$$
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L(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf{x}_i)^2
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$$
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其中，$N$ 是样本数量，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$\mathbf{x}_i$ 是第 $i$ 个样本的特征向量，$\mathbf{w}$ 是权重向量。
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加入 L2 正则项后，新的损失函数为：
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$$
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L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf{x}_i)^2 + \lambda \|\mathbf{w}\|_2^2
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$$
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在训练过程中，优化算法会同时最小化原始损失函数和正则项，从而在拟合训练数据的同时，避免权重值过大。
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**梯度更新**
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在梯度下降算法中，权重 $\mathbf{w}$ 的更新公式为：
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$$
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\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w})
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$$
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其中，$\eta$ 是学习率，$\nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w})$ 是损失函数关于 $\mathbf{w}$ 的梯度。
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对于加入 L2 正则项的损失函数，梯度为：
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$$
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\nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w}
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$$
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因此，权重更新公式变为：
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$$
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\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta (\nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w})
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$$
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通过加入 L2 正则项，模型在训练过程中不仅会最小化原始损失函数，还会尽量减小权重的大小，从而避免过拟合。正则化系数 $\lambda$ 控制着正则化项的强度，较大的 $\lambda$ 会导致权重更小，模型更简单，但可能会欠拟合；较小的 $\lambda$ 则可能无法有效防止过拟合。因此，选择合适的 $\lambda$ 是使用 L2 正则化的关键。
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### 矩阵的元素级范数
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L0范数（但它 **并不是真正的范数**）：
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$$
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\|A\|_0 = \text{Number of non-zero elements in } A = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \mathbb{I}(a_{ij} \neq 0)
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$$
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其中：
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- $\mathbb{I}(\cdot)$ 是指示函数（若 $a_{ij} \neq 0$ 则取 1，否则取 0）。
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- 如果矩阵 $A$ 有 $k$ 个非零元素，则 $\|A\|_0 = k$。
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1. **衡量稀疏性**：
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- $\|A\|_0$ **越小**，矩阵 $A$ 越稀疏（零元素越多）。
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- 在压缩感知、低秩矩阵恢复、稀疏编码等问题中，常用 $L_0$ 范数来 **约束解的稀疏性**。
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2. **非凸、非连续、NP难优化**：
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||
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||
- $L_0$ 范数是 **离散的**，导致优化问题通常是 **NP难** 的（无法高效求解）。
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- 因此，实际应用中常用 **$L_1$ 范数**（绝对值之和）作为凸松弛替代：
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$$
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\|A\|_1 = \sum_{i,j} |a_{ij}|
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$$
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NP难问题：
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可以在多项式时间内 **验证一个解是否正确**，但 **不一定能在多项式时间内找到解**。
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L1范数：元素绝对值和
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$$
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\|A\|_1 = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|
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$$
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| 范数类型 | 定义 | 性质 | 优化难度 | 用途 |
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| --------- | -------------------------------------- | ------------------ | ---------- | -------------- |
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| **$L_0$** | $\sum_{i,j} \mathbb{I}(a_{ij} \neq 0)$ | 非凸、离散、不连续 | NP难 | 精确稀疏性控制 |
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| **$L_1$** | $\sum_{i,j} |a_{ij}|$ | 凸、连续 | 可高效求解 | 稀疏性近似 |
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### 矩阵的核范数
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核范数，又称为**迹范数**（trace norm），是矩阵范数的一种，定义为矩阵所有奇异值之和。对于一个矩阵 $A$（假设其奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_r$），其核范数定义为：
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$$
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\|A\|_* = \sum_{i=1}^{r} \sigma_i,
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$$
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其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩。
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**核范数的主要特点**
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1. 凸性
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- 核范数是一个凸函数，因此在优化问题中**常用作替代矩阵秩**的惩罚项（因为直接最小化矩阵秩是一个NP困难的问题）。
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2. 低秩逼近
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- 在矩阵补全、低秩矩阵恢复等应用中，核范数被用来鼓励矩阵解具有**低秩**性质，因其是矩阵秩的凸松弛。
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3. 与SVD的关系
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- 核范数直接依赖于矩阵的奇异值，计算时通常需要**奇异值分解**（SVD）。
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### Frobenius 范数
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对于一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其 Frobenius 范数定义为
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$$
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\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2}
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$$
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这个定义与向量 $L2$ 范数类似，只不过是对矩阵中**所有元素取平方和后再开平方**。
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对于**归一化**的向量$\mathbf{x}_m$ ，其外积矩阵 $\mathbf{x}_m \mathbf{x}_m^T$，其元素为 $(\mathbf{x}_m \mathbf{x}_m^T)_{ij} = x_i x_j$，因此：
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$$
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\|\mathbf{x}_m \mathbf{x}_m^T\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i x_j|^2 } = \sqrt{\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{j=1}^n x_j^2 \right) } = \|\mathbf{x}_m\|_2 \cdot \|\mathbf{x}_m\|_2 = 1.
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$$
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例：
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设归一化向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$，其外积矩阵为：
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$$
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\mathbf{x} \mathbf{x}^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
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$$
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计算 Frobenius 范数：
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$$
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||
\|\mathbf{x} \mathbf{x}^T\|_F = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1.
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$$
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---
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如果矩阵 $A$ 的奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$，则：
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$$
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\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}
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$$
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这使得 Frobenius 范数在低秩近似和矩阵分解（如 SVD）中非常有用。
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设矩阵 $A$ 为：
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$$
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||
A = \begin{bmatrix}
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1 & 0 \\
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0 & 2 \\
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1 & 1
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\end{bmatrix}
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$$
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定义：
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$$
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\|A\|_F = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 } = \sqrt{1 + 0 + 0 + 4 + 1 + 1} = \sqrt{7}
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$$
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验证：
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1. 计算 $A^T A$：
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$$
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||
A^T A = \begin{bmatrix}
|
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1 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 2 & 1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 & 0 \\
|
||
0 & 2 \\
|
||
1 & 1
|
||
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
|
||
2 & 1 \\
|
||
1 & 5
|
||
\end{bmatrix}
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$$
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||
2. 求 $A^T A$ 的特征值（即奇异值的平方）：
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$$
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\det(A^T A - \lambda I) = \lambda^2 - 7\lambda + 9 = 0 \implies \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}
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$$
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因此：
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$$
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\sigma_1 = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{13}}{2}}, \quad \sigma_2 = \sqrt{\frac{7 - \sqrt{13}}{2}}
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$$
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||
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3. 验证 Frobenius范数：
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$$
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\sigma_1^2 + \sigma_2^2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} + \frac{7 - \sqrt{13}}{2} = 7
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$$
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所以：
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$$
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\|A\|_F = \sqrt{7}
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$$
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公式正确！
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**迹和 Frobenius 范数的关系**：
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$$
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\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A)
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$$
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这表明 Frobenius 范数的平方就是 $A^* A$ 所有特征值之和。而 $A^* A$ 的特征值开方就是A的奇异值。
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### 最大范数
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矩阵的最大范数（也称为 **元素级无穷范数** 或 **一致范数**）定义为矩阵所有元素绝对值的最大值：
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$$
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\|A\|_{\max} = \max_{i,j} |A_{ij}|
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$$
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它衡量的是矩阵中**绝对值最大的元素**，适用于逐元素（element-wise）分析。
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如果比较两个矩阵 $A$ 和 $B$，它们的**误差矩阵** $E = A - B$ 的最大范数为：
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$$
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\|A - B\|_{\max} = \max_{i,j} |A_{ij} - B_{ij}|
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$$
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**意义**：
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- 如果 $\|A - B\|_{\max} \leq \epsilon$，说明 $A$ 和 $B$ 的**所有对应元素的误差都不超过 $\epsilon$**。
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对于任意 $m \times n$ 的矩阵 $A$，以下不等式成立：
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$$
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\|A\|_{\max} \leq \|A\|_F \leq \sqrt{mn} \cdot \|A\|_{\max}
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$$
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## 矩阵的迹
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**迹的定义**
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对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹（trace）定义为矩阵对角线元素之和：
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$$
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\text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n B_{ii}
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$$
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**迹与特征值的关系**
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对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹等于其特征值之和。即：
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$$
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||
\text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n \lambda_i
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$$
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其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是矩阵 $B$ 的特征值。
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||
**应用到 $A^* A$**
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对于矩阵 $A^* A$（如果 $A$ 是实矩阵，则 $A^* = A^T$），它是一个半正定矩阵，其特征值是非负实数。
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$A^* A$ 的迹还与矩阵 $A$ 的 Frobenius 范数有直接关系。具体来说：
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$$
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\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A)
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$$
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**迹的基本性质**
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迹是一个线性运算，即对于任意标量 $c_1, c_2$ 和矩阵 $A, B$，有：
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$$
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\text{tr}(c_1 A + c_2 B) = c_1 \text{tr}(A) + c_2 \text{tr}(B)
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$$
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对于任意矩阵 $A, B, C$，迹满足循环置换性质：
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$$
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\text{tr}(ABC) = \text{tr}(CAB) = \text{tr}(BCA)
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$$
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注意：迹的循环置换性**不**意味着 $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BAC)$，除非矩阵 $A, B, C$ 满足某些特殊条件（如对称性）。
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## 酉矩阵
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酉矩阵是一种复矩阵，其满足下面的条件：对于一个 $n \times n$ 的复矩阵 $U$，如果有
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$$
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U^* U = U U^* = I,
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$$
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其中 $U^*$ 表示 $U$ 的共轭转置（先转置再取复共轭），而 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，那么 $U$ 就被称为酉矩阵。简单来说，酉矩阵在复内积空间中保持内积不变，相当于在该空间中的“旋转”或“反射”。
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||
如果矩阵的元素都是实数，那么 $U^*$ 就等于 $U^T$（转置），这时酉矩阵就退化为**正交矩阵**。
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考虑二维旋转矩阵
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$$
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U = \begin{bmatrix}
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\cos\theta & -\sin\theta \\
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\sin\theta & \cos\theta
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\end{bmatrix}.
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$$
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当 $\theta$ 为任意实数时，这个矩阵满足
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$$
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U^T U = I,
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$$
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所以它是一个正交矩阵，同时也属于酉矩阵的范畴。
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例如，当 $\theta = \frac{\pi}{4}$（45°）时，
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$$
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||
U = \begin{bmatrix}
|
||
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
|
||
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
|
||
\end{bmatrix}.
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||
$$
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||
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## 正定\正半定矩阵
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1. **正定矩阵（PD）**
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$$
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A \text{ 正定} \iff \forall\, x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}, \quad x^T A x > 0.
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$$
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2. **正半定矩阵（PSD）**
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$$
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||
A \text{ 正半定} \iff \forall\, x \in \mathbb{R}^n, \quad x^T A x \ge 0.
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$$
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- **PD**：所有特征值都严格大于零。
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$\lambda_i(A)>0,\;i=1,\dots,n$。
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||
- **PSD**：所有特征值都非负。
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||
$\lambda_i(A)\ge0,\;i=1,\dots,n$。
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**拉普拉斯矩阵是正半定矩阵！**
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对于任意实矩阵 $A$（大小为 $m\times n$），矩阵 $B = A^T A\quad(\text{大小为 }n\times n).$是半正定矩阵
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- 显然
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$$
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B^T = (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A = B,
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$$
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所以 $B$ 是对称矩阵。
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- 对任意向量 $x\in\mathbb R^n$，有
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$$
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x^T B\,x = x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2 \;\ge\;0.
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$$
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因此 $B$ 总是 **正半定（PSD）** 的。
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## 对称非负矩阵分解
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$$
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A≈HH^T
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$$
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**1. 问题回顾**
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给定一个**对称非负**矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$，我们希望找到一个**非负矩阵** $H\in\mathbb{R}^{n\times k}$ 使得
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$$
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A \approx HH^T.
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$$
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为此，我们可以**最小化目标函数(损失函数)**
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$$
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f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2,
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$$
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其中 $\|\cdot\|_F$ 表示 Frobenius 范数，定义为矩阵所有元素的平方和的平方根。
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||
$\| A - H H^T \|_F^2$ 表示矩阵 $A - H H^T$ 的所有元素的平方和。
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**2. 梯度下降方法**
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2.1 计算梯度
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目标函数(损失函数)是
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$$
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f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2.
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$$
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\|M\|_F^2 = \operatorname{trace}(M^T M),
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因此，目标函数可以写成：
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f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^T\bigl(A-HH^T\bigr)\Bigr].
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注意到 $A$ 和$HH^T$ 都是对称矩阵，可以简化为：
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f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^2\Bigr].
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展开后得到
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f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[A^2 - 2AHH^T + (HH^T)^2\Bigr].
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其中 $\operatorname{trace}(A^2)$ 与 $H$ 无关，可以看作常数，不影响梯度计算。
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**计算** $\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T)$
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\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T) = -4 A H
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**计算** $\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2)$
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\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2) = 4 H H^T H
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将两部分梯度合并：
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\nabla_H f(H) = \frac{1}{2}(4 H H^T H - 4 A H )= 2(H H^T H - A H)
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2.2 梯度下降更新
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设学习率为 $\eta>0$，则梯度下降的**基本更新公式为**：
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H \leftarrow H - \eta\, \nabla_H f(H) = H - 2\eta\Bigl(HH^T H - A H\Bigr).
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由于我们要求 $H$ 中的元素保持非负，所以每次更新之后通常需要进行**投影**：
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H_{ij} \leftarrow \max\{0,\,H_{ij}\}.
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这种方法称为**投影梯度下降**，保证每一步更新后 $H$ 满足非负约束。
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**3. 举例说明**
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设对称非负矩阵：
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A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad k=1, \quad H \in \mathbb{R}^{2 \times 1}
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初始化 $H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，学习率 $\eta = 0.01$。
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**迭代步骤**：
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1. **初始 \( H^{(0)} \):**
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H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad H^{(0)}(H^{(0)})^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.
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目标函数值：
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f(H^{(0)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1)^2 + 2(1-1)^2 + (2-1)^2 \right) = 1.
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2. **计算梯度：**
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HH^T H = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad AH = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix},
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\nabla_H f(H^{(0)}) = 2 \left( \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}.
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3. **更新 \( H \):**
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H^{(1)} = H^{(0)} - 2 \cdot 0.01 \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.04 \\ 1.04 \end{bmatrix}.
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4. **更新后目标函数：**
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H^{(1)}(H^{(1)})^T = \begin{bmatrix} 1.0816 & 1.0816 \\ 1.0816 & 1.0816 \end{bmatrix},
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f(H^{(1)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1.0816)^2 + 2(1-1.0816)^2 + (2-1.0816)^2 \right) \approx 0.8464.
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一次迭代后目标函数值从 $1.0$ 下降至 $0.8464$ |