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39 KiB
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# 数学基础
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## 求解一阶非齐线性微分方程
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考虑方程
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y' + y = x
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**第一步：求齐次方程的通解**
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先求对应的齐次方程
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y' + y = 0
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其解为
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y_h = Ce^{-x}
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其中 $C$ 为任意常数。
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**第二步：设特解形式**
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利用常数变易法，令特解取形式
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$$
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y_p = u(x) e^{-x}
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$$
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其中 $u(x)$ 为待定函数。
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**第三步：求导并代入原方程**
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计算 $y_p$ 的导数：
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$$
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y_p' = u'(x)e^{-x} - u(x)e^{-x}
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$$
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将 $y_p$ 和 $y_p'$ 代入原方程 $y' + y = x$：
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$$
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\bigl[u'(x)e^{-x} - u(x)e^{-x}\bigr] + u(x)e^{-x} = u'(x)e^{-x} = x
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$$
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因此有：
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$$
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u'(x) = x e^{x}
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$$
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**第四步：求 $u(x)$**
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对 $u'(x)$ 积分：
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$$
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u(x) = \int x e^{x} dx
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$$
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计算积分，可以用分部积分法：令
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$$
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\begin{cases}
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u = x, \quad dv = e^x dx,\\[1mm]
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du = dx, \quad v = e^x,
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\end{cases}
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$$
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得：
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$$
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\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1 = e^x (x-1) + C_1
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$$
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注意这里求得的常数 $C_1$可以忽略，因为它会与齐次解合并。故我们取
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$$
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u(x) = e^x (x-1)
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**第五步：构造特解并给出通解**
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将 $u(x)$ 带回特解形式：
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$$
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y_p = u(x)e^{-x} = e^x (x-1) e^{-x} = x-1
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$$
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因此，原方程的通解为齐次解与特解的和：
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$$
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y = y_h + y_p = Ce^{-x} + (x-1)
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$$
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## 梯度下降
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我们可以用一个简单的线性层作为例子，展示如何利用向量和矩阵计算梯度并更新参数。假设有一个全连接层，其计算公式为
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$$
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y = W x + b
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$$
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其中
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- $x \in \mathbb{R}^2$ 是输入向量
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- $W \in \mathbb{R}^{2\times2}$ 是权重矩阵
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- $b \in \mathbb{R}^2$ 是偏置向量
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- $y \in \mathbb{R}^2$ 是输出向量
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我们使用均方误差（MSE）作为损失函数，定义为
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$$
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L = \frac{1}{2} \|y - y_{\text{true}}\|^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2}(y_i - y_{\text{true}, i})^2
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$$
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**设定具体数值**
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- 输入向量：
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x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
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$$
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- 权重矩阵：
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$$
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W = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
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$$
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- 偏置向量：
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$$
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b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
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$$
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- 真实输出：
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y_{\text{true}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 13 \end{pmatrix}
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$$
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#### **步骤 1：前向传播**
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计算输出 $y$：
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$$
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y = W x + b = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
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$$
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首先计算矩阵乘法：
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$$
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W x = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 \\ 3\cdot1 + 4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 \\ 3+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}
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$$
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再加上偏置 $b$ 得到
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$$
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y = \begin{pmatrix} 5+1 \\ 11+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix}
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$$
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计算损失 $L$：
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$$
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L = \frac{1}{2} \left[(6-7)^2 + (12-13)^2\right] = \frac{1}{2} \left[(-1)^2 + (-1)^2\right] = \frac{1}{2} (1+1) = 1
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$$
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#### **步骤 2：反向传播，计算梯度**
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首先，我们定义误差向量为
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$$
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e = y - y_{\text{true}} = \begin{pmatrix} 6-7 \\ 12-13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
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$$
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由于损失函数
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$$
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L = \frac{1}{2}\|y - y_{\text{true}}\|^2
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$$
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对 $y$ 的偏导数为
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$$
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\frac{\partial L}{\partial y} = y - y_{\text{true}} = e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
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$$
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接下来，我们利用链式法则将梯度传递到 $W$ 和 $b$。
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**1. 梯度对 $W$ 的求导**
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对于输出层有
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$$
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y = W x + b
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$$
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每个元素 $y_i$ 对 $W_{ij}$ 的偏导数为
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$$
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\frac{\partial y_i}{\partial W_{ij}} = x_j
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$$
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利用链式法则，损失对 $W_{ij}$ 的梯度为
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$$
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\frac{\partial L}{\partial W_{ij}} = \frac{\partial L}{\partial y_i} \cdot \frac{\partial y_i}{\partial W_{ij}} = e_i \, x_j
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$$
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用矩阵形式写就是：
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$$
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\frac{\partial L}{\partial W} = e \cdot x^\top
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$$
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将数值代入：
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$$
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e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad x^\top = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}
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$$
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所以，
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$$
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\frac{\partial L}{\partial W} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot1 & -1\cdot2 \\ -1\cdot1 & -1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
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$$
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**2.梯度对 $b$ 的求导**
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由于 $y = W x + b$，且对 $b$ 的偏导数为 1，
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$$
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\frac{\partial L}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial b} = e \cdot 1 = e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
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$$
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#### **步骤 3：使用梯度下降更新参数**
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设定学习率 $\eta = 0.1$，更新公式为
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$$
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W_{\text{new}} = W - \eta \frac{\partial L}{\partial W}, \quad b_{\text{new}} = b - \eta \frac{\partial L}{\partial b}
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$$
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**更新 $W$**
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$$
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W_{\text{new}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 0.1 \cdot \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0.1 & 2 + 0.2 \\ 3 + 0.1 & 4 + 0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1 & 2.2 \\ 3.1 & 4.2 \end{pmatrix}
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$$
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**更新 $b$**
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$$
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b_{\text{new}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 0.1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0.1 \\ 1 + 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1 \\ 1.1 \end{pmatrix}
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$$
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#### **总结**
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在这个例子中，我们展示了如何用向量和矩阵的形式计算一个简单全连接层的前向传播、损失以及对参数 $W$ 和 $b$ 的梯度。关键步骤如下：
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1. **前向传播**：计算 $y = W x + b$ 得到输出，再计算损失 $L = \frac{1}{2}\|y - y_{\text{true}}\|^2$
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2. **反向传播**：
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- 计算误差向量 $e = y - y_{\text{true}}$
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- 利用链式法则得出梯度：
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$\frac{\partial L}{\partial W} = e \cdot x^\top$
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$\frac{\partial L}{\partial b} = e$
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3. **参数更新**：通过梯度下降将参数沿负梯度方向调整
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这样，我们就得到了更新后的参数 $W_{\text{new}}$ 和 $b_{\text{new}}$。这种向量或矩阵形式的梯度计算方法在真实神经网络中是普遍应用的，能够有效处理高维数据和大规模参数。
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## 范数
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### **L2范数定义**：
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对于一个向量 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_n]$，L2 范数定义为
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$$
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\|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_n^2}
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$$
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假设一个权重向量为 $\mathbf{w} = [3, -4]$，则
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$$
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\|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
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$$
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**用途**：
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- **正则化（L2正则化/权重衰减）**：在训练过程中，加入 L2 正则项有助于防止模型过拟合。正则化项通常是权重的 L2 范数的平方，例如
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$$
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\lambda \|\mathbf{w}\|_2^2
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$$
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其中 $\lambda$ 是正则化系数。
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- **梯度裁剪**：在 RNN 等深度网络中，通过计算梯度的 L2 范数来判断是否需要对梯度进行裁剪，从而防止梯度爆炸。
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**具体例子**：
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假设我们有一个简单的线性回归模型，损失函数为均方误差（MSE）：
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$$
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L(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf{x}_i)^2
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$$
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其中，$N$ 是样本数量，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$\mathbf{x}_i$ 是第 $i$ 个样本的特征向量，$\mathbf{w}$ 是权重向量。
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加入 L2 正则项后，新的损失函数为：
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$$
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L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf{x}_i)^2 + \lambda \|\mathbf{w}\|_2^2
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$$
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在训练过程中，优化算法会同时最小化原始损失函数和正则项，从而在拟合训练数据的同时，避免权重值过大。
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**梯度更新**
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在梯度下降算法中，权重 $\mathbf{w}$ 的更新公式为：
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$$
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\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w})
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$$
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其中，$\eta$ 是学习率，$\nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w})$ 是损失函数关于 $\mathbf{w}$ 的梯度。
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对于加入 L2 正则项的损失函数，梯度为：
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$$
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\nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w}
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$$
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因此，权重更新公式变为：
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$$
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\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta (\nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w})
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$$
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通过加入 L2 正则项，模型在训练过程中不仅会最小化原始损失函数，还会尽量减小权重的大小，从而避免过拟合。正则化系数 $\lambda$ 控制着正则化项的强度，较大的 $\lambda$ 会导致权重更小，模型更简单，但可能会欠拟合；较小的 $\lambda$ 则可能无法有效防止过拟合。因此，选择合适的 $\lambda$ 是使用 L2 正则化的关键。
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### Frobenius 范数
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对于一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其 Frobenius 范数定义为
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$$
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\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2}
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$$
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这个定义与向量 L2 范数类似，只不过是对矩阵中所有元素取平方和后再开平方。
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如果矩阵 $A$ 的奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$，则：
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$$
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\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}
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$$
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这使得 Frobenius 范数在低秩近似和矩阵分解（如 SVD）中非常有用。
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**迹和 Frobenius 范数的关系**：
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$$
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\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A)
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$$
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这表明 Frobenius 范数的平方就是 $A^* A$ 所有特征值之和。而 $A^* A$ 的特征值开方就是A的奇异值。
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**权重为向量的情况**
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当模型的输出是标量时（如单变量线性回归或二分类逻辑回归）：
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- **输入特征**：$\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d$（向量）
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- **权重形状**：$\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d$（向量）
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- **预测公式**：
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$$
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\hat{y}_i = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}_i
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$$
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其中 $\hat{y}_i$ 是标量输出。
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**权重为矩阵的情况**
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当模型的输出是向量时（如多变量回归、神经网络全连接层）：
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- **输入特征**：$\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d$（向量）
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- **输出维度**：$\hat{\mathbf{y}}_i \in \mathbb{R}^m$（向量）
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- **权重形状**：$W \in \mathbb{R}^{m \times d}$（矩阵）
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- **预测公式**：
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$$
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\hat{\mathbf{y}}_i = W \mathbf{x}_i + \mathbf{b}
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$$
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其中 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ 是偏置向量。
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## 方差等
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**标准差**
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$$
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\sigma =\sqrt{\frac{\textstyle\sum_{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline{x})}^{2}}{n}}
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$$
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**方差**
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$$
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Var(X)=\mathrm{E}[{(X-\mu) }^{2}]= {\sigma}^{2}
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$$
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**性质**
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$$
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Var(X)=\mathrm{E}({X}^{2})-{[\mathrm{E}(X)]}^{2} \\
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Var(kX)={k}^{2}Var(X)
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$$
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若X和Y是独立的随机变量
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$$
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Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
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$$
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**协方差**
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$$
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\sum {p}_{i}({x}_{i}-{\mu }_{\mathrm{X}})({\mathcal{y}}_{i}-{\mu }_{Y})
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\\ Cov\begin{pmatrix}X,Y
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\end{pmatrix}=\mathrm{E}\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{X}-{\mu }_{\mathrm{X}}
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||
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||
\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}Y-{\mu }_{Y}
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\end{pmatrix}
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\end{bmatrix}\\
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Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
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$$
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**性质：**
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**X Y表示随机变量**
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**协方差矩阵**
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协方差矩阵计算了不同维度之间的协方差，它是一个对称矩阵
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**性质：**
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A为n阶矩阵，X为n维随机向量
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$$
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\text{cov}(AX, AX) = A\text{cov}(X, X)A^T
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$$
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**推导：**
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## 高斯分布
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高斯分布的概率密度函数：
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$$
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\mathcal{f}(\mathcal{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \begin{pmatrix}-\frac{{(x-u)}^{2}}{2{\sigma }^{2}}
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\end{pmatrix}
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$$
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- x 在 μ-σ 和 μ+σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 68.2%；
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||
- x 在 μ-2σ 和 μ+2σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 95.4%；
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- x 在 μ-3σ 和 μ+3σ 之间的样本数量占到整个样本数量的99.6%；
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## 数据融合
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当前最优值=当前的先验估计值和观测值进行融合
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我们通常会尝试最小化方差，以尽可能减小状态估计的不确定性，从而获得更可靠和准确的估计结果
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## 拉普拉斯变换
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## 矩阵运算
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### 特征值和特征向量
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设矩阵：
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$$
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A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}
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$$
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步骤 1：求特征值
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构造特征方程：
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$$
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\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 0 = 0
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$$
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解得：
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$$
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(2-\lambda)(3-\lambda) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 3
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$$
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步骤 2：求特征向量
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- 对于 $\lambda_1 = 2$：
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解方程：
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$$
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(A - 2I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 \\ 0 & 3-2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
|
||
$$
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从第一行 $x_2 = 0$。因此特征向量可以写成：
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$$
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\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍})
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$$
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- 对于 $\lambda_2 = 3$：
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解方程：
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$$
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(A - 3I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2-3 & 1 \\ 0 & 3-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_1+x_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
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$$
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从第一行得 $-x_1 + x_2 = 0$ 或 $x_2 = x_1$。因此特征向量可以写成：
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$$
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\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍})
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$$
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**设一个对角矩阵**：
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$$
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D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix}
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$$
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$$
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\lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2
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$$
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对角矩阵的特征方程为：
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$$
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\det(D - \lambda I) = (d_1 - \lambda)(d_2 - \lambda) = 0
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$$
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因此特征值是：
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$$
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\lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2
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$$
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- 对于 $\lambda_1 = d_1$，方程 $(D-d_1I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 得到：
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$$
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\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d_2-d_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ (d_2-d_1)x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
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$$
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若 $d_1 \neq d_2$，则必须有 $x_2=0$，而 $x_1$ 可任意取非零值，因此特征向量为：
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$$
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\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
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$$
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- 对于 $\lambda_2 = d_2$，类似地解得：
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$$
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\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
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$$
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### 矩阵乘法
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**全连接神经网络**
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其中：
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- $a^{(0)}$ 是输入向量，表示当前**层**的输入。
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- $\mathbf{W}$ 是权重矩阵，表示输入向量到输出向量的线性变换。
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- $b$ 是偏置向量，用于调整输出。
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- $\sigma$ 是激活函数（如 ReLU、Sigmoid 等），用于引入非线性。
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- **输入向量 $a^{(0)}$**：
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$$
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a^{(0)} = \begin{pmatrix}
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a_0^{(0)} \\
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a_1^{(0)} \\
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\vdots \\
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a_n^{(0)}
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||
\end{pmatrix}
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$$
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这是一个 $n+1$ 维的列向量，表示输入特征。
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||
- **权重矩阵 $\mathbf{W}$**：
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$$
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\mathbf{W} = \begin{pmatrix}
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w_{0,0} & w_{0,1} & \cdots & w_{0,n} \\
|
||
w_{1,0} & w_{1,1} & \cdots & w_{1,n} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
w_{k,0} & w_{k,1} & \cdots & w_{k,n} \\
|
||
\end{pmatrix}
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||
$$
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||
这是一个 $k \times (n+1)$ 的矩阵，其中 $k$ 是输出向量的维度，$n+1$ 是输入向量的维度。
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- **偏置向量 $b$**：
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$$
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b = \begin{pmatrix}
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b_0 \\
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b_1 \\
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\vdots \\
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b_k
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\end{pmatrix}
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$$
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||
这是一个 $k$ 维的列向量，用于调整输出。
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1. 在传统的连续时间 RNN 写法里，常见的是
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$$
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\sum_{j} W_{ij} \, \sigma(x_j),
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$$
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这代表对所有神经元 $j$ 的激活 $\sigma(x_j)$ 做加权求和，再求和到神经元 $i$。
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如果拆开来看，每个输出分量也都含一个求和 $\sum_{j}$：
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- 输出向量的第 1 个分量（记作第 1 行的结果）：
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$$
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(W_r x)_1 = 0.3 \cdot x_1 + (-0.5) \cdot x_2 = 0.3 \cdot 2 + (-0.5) \cdot 1 = 0.6 - 0.5 = 0.1.
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$$
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- 输出向量的第 2 个分量（第 2 行的结果）：
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$$
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(W_r x)_2 = 1.2 \cdot x_1 + 0.4 \cdot x_2 = 1.2 \cdot 2 + 0.4 \cdot 1 = 2.4 + 0.4 = 2.8.
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$$
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2. 在使用矩阵乘法时，你可以写成
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$$
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y = W_r \, \sigma(x),
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$$
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其中 $\sigma$ 表示对 $x$ 的各分量先做激活，接着用 $W_r$ 乘上去。这就是把“$\sum_j \dots$”用矩阵乘法隐藏了。
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$$
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\begin{pmatrix}
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0.3 & -0.5\\
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1.2 & \;\,0.4
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\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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2\\
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||
1
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||
\end{pmatrix}
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=
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\begin{pmatrix}
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||
0.3 \times 2 + (-0.5) \times 1\\[6pt]
|
||
1.2 \times 2 + 0.4 \times 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.6 - 0.5\\
|
||
2.4 + 0.4
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0.1\\
|
||
2.8
|
||
\end{pmatrix}.
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$$
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### 奇异值
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**定义**
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对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其奇异值是非负实数 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_r$（$r = \min(m, n)$），满足存在正交矩阵 $U$ 和 $V$，使得：
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$$
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A = U \Sigma V^T
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$$
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其中，$\Sigma$ 是对角矩阵，对角线上的元素即为奇异值。
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**主要特点**
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1. **非负性**：奇异值总是非负的。
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2. 对角矩阵的奇异值是对角线元素的**绝对值**。
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3. **降序排列**：通常按从大到小排列，即 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots \geq \sigma_r \geq 0$。
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4. **矩阵分解**：奇异值分解（SVD）将矩阵分解为三个矩阵的乘积，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵。
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5. **应用广泛**：奇异值在数据降维、噪声过滤、图像压缩等领域有广泛应用。
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**计算**
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奇异值可以通过计算矩阵 $A^T A$ 或 $A A^T$ 的特征值的**平方根**得到。
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**步骤 1：计算 $A^T A$**
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首先，我们计算矩阵 $A$ 的转置 $A^T$：
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$$
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A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}
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$$
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然后，计算 $A^T A$：
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$$
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A^T A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}
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$$
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||
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||
**步骤 2：计算 $A^T A$ 的特征值**
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接下来，我们计算 $A^T A$ 的特征值。特征值 $\lambda$ 满足以下特征方程：
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$$
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\det(A^T A - \lambda I) = 0
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$$
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即：
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$$
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\det \begin{pmatrix} 9 - \lambda & 0 \\ 0 & 16 - \lambda \end{pmatrix} = (9 - \lambda)(16 - \lambda) = 0
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$$
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解这个方程，我们得到两个特征值：
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$$
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\lambda_1 = 16, \quad \lambda_2 = 9
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$$
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**步骤 3：计算奇异值**
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奇异值是特征值的平方根，因此我们计算：
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$$
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\sigma_1 = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{16} = 4
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$$
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$$
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\sigma_2 = \sqrt{\lambda_2} = \sqrt{9} = 3
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$$
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**结果**
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矩阵 $A$ 的奇异值为 **4** 和 **3**。
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### 矩阵的迹
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**迹的定义**
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对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹（trace）定义为矩阵对角线元素之和：
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$$
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\text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n B_{ii}
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$$
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**迹与特征值的关系**
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对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹等于其特征值之和。即：
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$$
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||
\text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n \lambda_i
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||
$$
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||
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||
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是矩阵 $B$ 的特征值。
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||
**应用到 $A^* A$**
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对于矩阵 $A^* A$（如果 $A$ 是实矩阵，则 $A^* = A^T$），它是一个半正定矩阵，其特征值是非负实数。
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$A^* A$ 的迹还与矩阵 $A$ 的 Frobenius 范数有直接关系。具体来说：
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$$
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\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A)
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$$
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**迹的基本性质**
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迹是一个线性运算，即对于任意标量 $c_1, c_2$ 和矩阵 $A, B$，有：
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$$
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\text{tr}(c_1 A + c_2 B) = c_1 \text{tr}(A) + c_2 \text{tr}(B)
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$$
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||
对于任意矩阵 $A, B, C$，迹满足循环置换性质：
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$$
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||
\text{tr}(ABC) = \text{tr}(CAB) = \text{tr}(BCA)
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||
$$
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||
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||
注意：迹的循环置换性**不**意味着 $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BAC)$，除非矩阵 $A, B, C$ 满足某些特殊条件（如对称性）。
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### 酉矩阵
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酉矩阵是一种复矩阵，其满足下面的条件：对于一个 $n \times n$ 的复矩阵 $U$，如果有
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$$
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U^* U = U U^* = I,
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$$
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||
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||
其中 $U^*$ 表示 $U$ 的共轭转置（先转置再取复共轭），而 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，那么 $U$ 就被称为酉矩阵。简单来说，酉矩阵在复内积空间中保持内积不变，相当于在该空间中的“旋转”或“反射”。
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||
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||
如果矩阵的元素都是实数，那么 $U^*$ 就等于 $U^T$（转置），这时酉矩阵就退化为**正交矩阵**。
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||
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考虑二维旋转矩阵
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$$
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||
U = \begin{bmatrix}
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||
\cos\theta & -\sin\theta \\
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||
\sin\theta & \cos\theta
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||
\end{bmatrix}.
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||
$$
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||
|
||
当 $\theta$ 为任意实数时，这个矩阵满足
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||
$$
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U^T U = I,
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$$
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||
所以它是一个正交矩阵，同时也属于酉矩阵的范畴。
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例如，当 $\theta = \frac{\pi}{4}$（45°）时，
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$$
|
||
U = \begin{bmatrix}
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||
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
|
||
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
|
||
\end{bmatrix}.
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||
$$
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||
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||
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### 对称非负矩阵分解
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$$
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A≈HH^T
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$$
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**1. 问题回顾**
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给定一个**对称非负**矩阵 $$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$，我们希望找到一个**非负矩阵** $$H\in\mathbb{R}^{n\times k}$$ 使得
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$$
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A \approx HH^T.
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$$
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||
为此，我们可以**最小化目标函数(损失函数)**
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$$
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f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2,
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$$
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||
其中 $$\|\cdot\|_F$$ 表示 Frobenius 范数，定义为矩阵所有元素的平方和的平方根。
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||
$\| A - H H^T \|_F^2$ 表示矩阵 $A - H H^T$ 的所有元素的平方和。
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**2. 梯度下降方法**
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2.1 计算梯度
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目标函数(损失函数)是
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$$
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f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2.
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$$
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$$
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\|M\|_F^2 = \operatorname{trace}(M^T M),
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$$
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因此，目标函数可以写成：
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$$
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f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^T\bigl(A-HH^T\bigr)\Bigr].
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$$
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||
|
||
注意到 $$A$$ 和$$HH^T$$ 都是对称矩阵，可以简化为：
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||
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||
$$
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||
f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^2\Bigr].
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||
$$
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||
展开后得到
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$$
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||
f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[A^2 - 2AHH^T + (HH^T)^2\Bigr].
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||
$$
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||
|
||
其中 $$\operatorname{trace}(A^2)$$ 与 $$H$$ 无关，可以看作常数，不影响梯度计算。
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||
**计算** $\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T)$
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$$
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\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T) = -4 A H
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$$
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|
||
**计算** $\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2)$
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$$
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\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2) = 4 H H^T H
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$$
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将两部分梯度合并：
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$$
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\nabla_H f(H) = \frac{1}{2}(4 H H^T H - 4 A H )= 2(H H^T H - A H)
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$$
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||
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2.2 梯度下降更新
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设学习率为 $$\eta>0$$，则梯度下降的**基本更新公式为**：
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$$
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H \leftarrow H - \eta\, \nabla_H f(H) = H - 2\eta\Bigl(HH^T H - A H\Bigr).
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||
$$
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||
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||
由于我们要求 $$H$$ 中的元素保持非负，所以每次更新之后通常需要进行**投影**：
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$$
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||
H_{ij} \leftarrow \max\{0,\,H_{ij}\}.
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||
$$
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||
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这种方法称为**投影梯度下降**，保证每一步更新后 $$H$$ 满足非负约束。
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**3. 举例说明**
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设对称非负矩阵：
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$$
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A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad k=1, \quad H \in \mathbb{R}^{2 \times 1}
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$$
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初始化 $$H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$，学习率 $$\eta = 0.01$$。
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**迭代步骤**：
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1. **初始 \( H^{(0)} \):**
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$$
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H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad H^{(0)}(H^{(0)})^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.
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$$
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目标函数值：
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$$
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f(H^{(0)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1)^2 + 2(1-1)^2 + (2-1)^2 \right) = 1.
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$$
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||
2. **计算梯度：**
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$$
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HH^T H = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad AH = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix},
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$$
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$$
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\nabla_H f(H^{(0)}) = 2 \left( \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}.
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$$
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||
3. **更新 \( H \):**
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$$
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||
H^{(1)} = H^{(0)} - 2 \cdot 0.01 \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.04 \\ 1.04 \end{bmatrix}.
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$$
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||
4. **更新后目标函数：**
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$$
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||
H^{(1)}(H^{(1)})^T = \begin{bmatrix} 1.0816 & 1.0816 \\ 1.0816 & 1.0816 \end{bmatrix},
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$$
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$$
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f(H^{(1)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1.0816)^2 + 2(1-1.0816)^2 + (2-1.0816)^2 \right) \approx 0.8464.
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$$
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一次迭代后目标函数值从 $1.0$ 下降至 $0.8464$
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## 幂迭代
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原理：每一次迭代都相当于将当前向量乘以 $A$ 后再归一化。由于矩阵 $A$ 作用下，初始向量中 $v_1$ 分量对应的系数**会按 $\lambda_1$ 的 $k$ 次幂**增长，而其他特征向量分量增长较慢（因为它们对应的特征值模较小），故随着迭代次数的增加，向量逐渐趋向于 $v_1$ 的方向。
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## 拉普拉斯矩阵
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### **拉普拉斯矩阵及其性质**
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对于一个无向图 \(G = (V, E)\)，其拉普拉斯矩阵 \(L\) 通常定义为
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$$
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L = D - A,
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$$
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其中：
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- \(D\) 是度矩阵，一个对角矩阵，其对角元 \($d_i$\) 为顶点 \(i\) 的度数；
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- \(A\) 是邻接矩阵，反映了图中各顶点之间的连接关系。
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示例：
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考虑一个简单的无向图，该图包含三个顶点：1, 2, 3，以及两条边： - 边 (1, 2) - 边 (2, 3)
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||
**邻接矩阵 \(A\)**
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$$
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A = \begin{pmatrix}
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0 & 1 & 0 \\
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||
1 & 0 & 1 \\
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||
0 & 1 & 0
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\end{pmatrix}.
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||
$$
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||
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||
**度矩阵 \(D\)**
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$$
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||
D = \begin{pmatrix}
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||
1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 2 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 1
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
**拉普拉斯矩阵 \(L\)**
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||
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||
将上面两个矩阵相减得到
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$$
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||
L = \begin{pmatrix}
|
||
1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 2 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
-
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 1 & 0 \\
|
||
1 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 1 & 0
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
1 & -1 & 0 \\
|
||
-1 & 2 & -1 \\
|
||
0 & -1 & 1
|
||
\end{pmatrix}.
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||
$$
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||
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||
|
||
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令常数向量
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$$
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\mathbf{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
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$$
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则有
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$$
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L\mathbf{1} = \begin{pmatrix}
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1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\
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||
-1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \\
|
||
0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
1 - 1 + 0 \\
|
||
-1 + 2 - 1 \\
|
||
0 - 1 + 1
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||
\end{pmatrix}
|
||
=
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||
\begin{pmatrix}
|
||
0 \\
|
||
0 \\
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||
0
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||
\end{pmatrix}.
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$$
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这说明常数向量 \($\mathbf{1}$\) 是 \(L\) 的零空间中的一个向量，即零特征值对应的特征向量。
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**主要性质**
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1. 对称性
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由于对于无向图，邻接矩阵 \(A\) 是对称的，而度矩阵 \(D\) 本身也是对称的（因为它是对角矩阵），所以拉普拉斯矩阵 \(L\) 也是对称矩阵。
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2. 正半定性
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对于任意实向量 \(x\)，都有：
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$$
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x^T L x = \sum_{(i,j) \in E} (x_i - x_j)^2 \ge 0.
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$$
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这说明 \(L\) 是正半定矩阵，即其所有特征值均非负。
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3. 零特征值与连通分量
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- 对于**任意图**，都有
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$$
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L \mathbf{1} = \mathbf{0},
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$$
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其中 $$\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)^T$$，因此 $$0$$ 一定是 $$L$$ 的一个特征值。
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因为拉普拉斯矩阵的定义为 $L = D - A$，其中每一行的元素之和为零，所以当向量所有分量都相等时，每一行的加权求和自然等于零。
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|
||
- 更进一步，**零特征值的重数等于图的连通分量(独立的子图)个数**。也就是说，如果图 \(G\) 有 \(k\) 个连通分量，则 \(L\) 的零特征值重数为 \(k\)。
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**简单证明思路**
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考虑图中每个连通分量，对于某个连通分量内的所有顶点，可以构造一个特征向量，使得在该连通分量中所有分量取相同常数，而在其他部分取零。由于该连通分量内部的任意两个顶点都是连通的，该特征向量满足 \(Lx = 0\)。这样，对于每个连通分量都可以构造出一个线性无关的零特征值特征向量，从而零特征值的重数至少为连通分量的数量；进一步证明可以证明重数不会超过这个数量。
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4. **谱分解及应用**
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由于 \(L\) 是对称正半定矩阵，其可以进行谱分解：
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$$
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L = U \Lambda U^T,
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$$
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其中 \(U\) 是**正交矩阵**，\($\Lambda$) 是包含 \(L\) 所有非负特征值的**对角矩阵**。
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这一性质使得拉普拉斯矩阵在谱聚类、图分割等应用中非常有用。
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总结
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拉普拉斯矩阵 \(L = D - A\) 是描述图结构的重要工具，具有如下主要性质：
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- **对称性**：\(L\) 是对称矩阵；
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- **正半定性**：任意向量 \(x\) 有 \(x^T L x \ge 0\)；
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- **零特征值**：\(L\) 总有零特征值，且其重数与图的连通分量个数相等；
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- **谱分解**：\(L\) 可进行正交谱分解，广泛应用于图的聚类与分割等领域。
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这些性质不仅在理论上非常重要，而且在图论和数据分析等实际问题中有广泛的应用。
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### **平均拉普拉斯矩阵：**
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### **归一化拉普拉斯矩阵**
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为了在某些应用中（例如谱聚类、图卷积网络等）获得更好的数值性质和归一化效果，我们可以构造 **对称归一化拉普拉斯矩阵**，记为 $$L_{sym}$$，定义为
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$$
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L_{sym} = D^{-1/2} L D^{-1/2} = I - D^{-1/2} A D^{-1/2},
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$$
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其中
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- $$D^{-1/2}$$ 表示度矩阵的逆平方根，
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- $$I$$ 为单位矩阵。
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$$
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D = \begin{pmatrix}
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4 & 0 & 0 \\
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0 & 9 & 0 \\
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0 & 0 & 16
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\end{pmatrix}.
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D^{-1/2} = \begin{pmatrix}
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\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
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0 & \frac{1}{3} & 0 \\
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||
0 & 0 & \frac{1}{4}
|
||
\end{pmatrix}.
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$$
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**主要特点**
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1. **归一化**：
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通过 $$D^{-1/2}$$ 的两侧预处理，将不同顶点的度数影响消除，使得矩阵在谱分解时能更好地反映图的结构。
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2. **对称性**：
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$$L_{sym}$$ 是对称矩阵，这意味着它可以进行正交谱分解，其特征值均为实数。
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3. **谱性质**：
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$$L_{sym}$$ 的特征值都位于区间 $$[0, 2]$$ 内。这一性质对于很多图论算法的稳定性和收敛性分析都非常重要。
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## Fiedler向量
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根据谱分解理论，$$L$$ 的特征值满足
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$$
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x 0 = \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n.
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$$
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其中，$$\lambda_1 = 0$$ 对应的特征向量通常为所有分量相同的常数向量。而 **Fiedler 向量** 就是对应于 $$\lambda_2$$ (第二小的特征值)的特征向量。
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**图的谱划分**
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1. 构建图的拉普拉斯矩阵
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- 根据给定的图结构,构建图的拉普拉斯矩阵 L。
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2. 计算 Fiedler 向量
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- 求解拉普拉斯矩阵 L 的第二小特征值对应的特征向量,即 Fiedler 向量。
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3. 根据 Fiedler 向量进行图划分
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- 将 Fiedler 向量的元素按大小**排序**。
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- 找到 Fiedler 向量元素值为 0 附近的分界点,将图划分为两个子图。
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**Fiedler 向量在连接紧密的顶点上的取值往往比较接近**
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$$
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Fiedler 向量 :xv = \begin{pmatrix}0.8 \\0.7 \\0.6 \\-0.5 \\-0.6 \\-0.7\end{pmatrix}.
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$$
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- 正值部分：对应顶点 1, 2, 3；
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- 负值部分：对应顶点 4, 5, 6。
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经过这种划分后，通常会发现：
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- 子图内部：顶点之间的连接较为紧密（边较多），
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- 子图之间：连接较弱（边较少或只有一两条边）。
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4. 递归划分子图（可选）
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- 对划分得到的两个子图,分别递归应用上述步骤(1-3步),进一步将其划分为更小的子图。
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- 这样可以将原图层层划分为多个子图。
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5. 确定最终聚类结果
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- 根据上述划分过程得到的多个子图,就对应了图的最终聚类结果。
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- 每个子图内的节点被认为属于同一个聚类。
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## 谱聚类
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谱聚类的基本思想是通过图的特征向量将数据点映射到低维空间中，然后在这个低维空间中使用传统的聚类技术。
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1.构造相似性图
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- **数据表示**：
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给定数据点 $$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$$。
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- **相似性矩阵 $$W$$**：
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根据数据点之间的距离或相似性构造矩阵 $$W$$。常见方法包括：
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- **Gaussian 核函数**：
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$$
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W_{ij} = \exp\Bigl(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\Bigr),
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||
$$
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||
只有当 $$x_i$$ 与 $$x_j$$ 彼此接近时， $$W_{ij}$$ 才较大；衡量数据点之间的距离并将其映射为一个 [0, 1] 之间的相似性值。
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||
其中 $$\sigma$$ 为尺度参数，当 $$\sigma$$ 较小时，只有非常接近的数据点才会被认为是相似的
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- **K近邻图**：仅连接每个点与其 $$k$$ 个最近邻之间的边，其余 $$W_{ij} = 0$$。
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2.构造图拉普拉斯矩阵
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- 对称归一化拉普拉斯矩阵
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- 未归一化的拉普拉斯矩阵
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3.计算特征向量
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对选定的拉普拉斯矩阵（例如 $$L_{sym}$$）进行特征分解，求出前 $$k$$ 个最小特征值对应的特征向 量。
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||
注意：对于未归一化的拉普拉斯矩阵，零特征值对应的特征向量通常是常数向量，所以在分 解时忽略这个解，选择第二小开始的 $$k$$ 个特征向量。
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4.构造嵌入空间
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- **形成矩阵 $$U$$**：
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将求得的 $$k$$ 个特征向量作为列组成矩阵
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$$
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||
U = \begin{pmatrix}
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||
u_1(1) & u_2(1) & \cdots & u_k(1) \\
|
||
u_1(2) & u_2(2) & \cdots & u_k(2) \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
u_1(n) & u_2(n) & \cdots & u_k(n)
|
||
\end{pmatrix}.
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||
$$
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||
其中，每一行对应原数据点在低维空间中的表示。
|
||
例：
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- **归一化（可选）**：
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||
对于对称归一化的情况，可以对 $$U$$ 的每一行做归一化处理，使得每一行变为单位向量，这一步有助于后续聚类的稳定性。
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5.聚类
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**使用 k-means 等传统聚类算法**：
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在低维嵌入空间中，每一行表示一个数据点的低维表示，然后对这些点进行聚类。
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得到每个数据点对应的簇标签。
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**谱聚类示例（6个数据点分成3类）**
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假设数据点为
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$$
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x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=5,\quad x_4=6,\quad x_5=10,\quad x_6=11.
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||
$$
|
||
直观上我们希望将它们分为3类：
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- 类1：靠近 1、2
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||
- 类2：靠近 5、6
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- 类3：靠近 10、11
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---
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**1. 构造相似性矩阵 $$W$$**
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||
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||
采用 **Gaussian 核函数**
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$$
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||
W_{ij}=\exp\Bigl(-\frac{(x_i-x_j)^2}{2\sigma^2}\Bigr).
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||
$$
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||
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||
取 $$\sigma=2$$（参数可调），则分母为 $$2\sigma^2=8$$。
|
||
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||
计算部分相似性（近似值）：
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||
- $$x_1,x_2: \; |1-2|^2=1,\quad W_{12}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$$
|
||
- $$x_1,x_3: \; |1-5|^2=16,\quad W_{13}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$$
|
||
- $$x_1,x_4: \; |1-6|^2=25,\quad W_{14}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$$
|
||
- $$x_1,x_5: \; |1-10|^2=81,\quad W_{15}=\exp(-81/8)\approx0.00004.$$
|
||
- $$x_1,x_6: \; |1-11|^2=100,\quad W_{16}=\exp(-100/8)\approx0.00001.$$
|
||
|
||
- $$x_2,x_3: \; |2-5|^2=9,\quad W_{23}=\exp(-9/8)\approx0.3247.$$
|
||
- $$x_2,x_4: \; |2-6|^2=16,\quad W_{24}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$$
|
||
- $$x_2,x_5: \; |2-10|^2=64,\quad W_{25}=\exp(-64/8)=\exp(-8)\approx0.000335.$$
|
||
- $$x_2,x_6: \; |2-11|^2=81,\quad W_{26}=\exp(-81/8)\approx0.00004.$$
|
||
|
||
- $$x_3,x_4: \; |5-6|^2=1,\quad W_{34}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$$
|
||
- $$x_3,x_5: \; |5-10|^2=25,\quad W_{35}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$$
|
||
- $$x_3,x_6: \; |5-11|^2=36,\quad W_{36}=\exp(-36/8)=\exp(-4.5)\approx0.0111.$$
|
||
|
||
- $$x_4,x_5: \; |6-10|^2=16,\quad W_{45}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$$
|
||
- $$x_4,x_6: \; |6-11|^2=25,\quad W_{46}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$$
|
||
|
||
- $$x_5,x_6: \; |10-11|^2=1,\quad W_{56}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$$
|
||
|
||
由于 $$W$$ 是对称矩阵，对角元一般取 0（或1，根据需求），我们构造相似性矩阵 $$W$$ 为
|
||
|
||
$$
|
||
W=\begin{pmatrix}
|
||
0 & 0.8825 & 0.1353 & 0.0439 & 0.00004 & 0.00001 \\
|
||
0.8825 & 0 & 0.3247 & 0.1353 & 0.000335& 0.00004 \\
|
||
0.1353 & 0.3247 & 0 & 0.8825 & 0.0439 & 0.0111 \\
|
||
0.0439 & 0.1353 & 0.8825 & 0 & 0.1353 & 0.0439 \\
|
||
0.00004& 0.000335&0.0439 & 0.1353 & 0 & 0.8825 \\
|
||
0.00001& 0.00004 & 0.0111 & 0.0439 & 0.8825 & 0
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
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||
|
||
---
|
||
|
||
2. **构造度矩阵 $$D$$**
|
||
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$$
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||
D_{ii}=\sum_{j=1}^6 W_{ij}.
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$$
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||
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近似计算：
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||
- 对于 $$x_1$$：
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||
$$D_{11}\approx0.8825+0.1353+0.0439+0.00004+0.00001\approx1.0617.$$
|
||
- 对于 $$x_2$$：
|
||
$$D_{22}\approx0.8825+0.3247+0.1353+0.000335+0.00004\approx1.3429.$$
|
||
- 对于 $$x_3$$：
|
||
$$D_{33}\approx0.1353+0.3247+0.8825+0.0439+0.0111\approx1.3975.$$
|
||
- 对于 $$x_4$$：
|
||
$$D_{44}\approx0.0439+0.1353+0.8825+0.1353+0.0439\approx1.241.$$
|
||
- 对于 $$x_5$$：
|
||
$$D_{55}\approx0.00004+0.000335+0.0439+0.1353+0.8825\approx1.0617.$$
|
||
- 对于 $$x_6$$：
|
||
$$D_{66}\approx0.00001+0.00004+0.0111+0.0439+0.8825\approx0.9375.$$
|
||
|
||
构造度矩阵：
|
||
$$
|
||
D=\begin{pmatrix}
|
||
1.0617 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 1.3429 & 0 & 0 & 0 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 1.3975 & 0 & 0 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 0 & 1.2410 & 0 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 1.0617 & 0\\[0.5em]
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.9375
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
---
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||
|
||
**3. 构造拉普拉斯矩阵 $$L$$**
|
||
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||
未归一化拉普拉斯矩阵定义为
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$$
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||
L = D - W.
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$$
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例如，矩阵的第 1 行为：
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$$
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||
L_{1\cdot}=(1.0617,\ -0.8825,\ -0.1353,\ -0.0439,\ -0.00004,\ -0.00001),
|
||
$$
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||
其它行类似。
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||
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||
---
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||
|
||
**4. 特征分解与构造低维嵌入**
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||
为了分成 3 类，通常我们取图拉普拉斯矩阵（或归一化拉普拉斯矩阵）的前 $$k=3$$ 个最小特征值对应的特征向量。
|
||
（注意：对于未归一化拉普拉斯矩阵，第一个特征值为 0，对应常数向量；但在归一化方法中，所有 3 个特征向量通常都有实际意义。）
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||
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||
假设经过特征分解后，我们得到了三个特征向量
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||
$$
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||
u_1,\; u_2,\; u_3,
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||
$$
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||
每个都是 6 维向量。将它们按列排列构成矩阵
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||
$$
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||
U=\begin{pmatrix}
|
||
u_1(1) & u_2(1) & u_3(1) \\[0.3em]
|
||
u_1(2) & u_2(2) & u_3(2) \\[0.3em]
|
||
u_1(3) & u_2(3) & u_3(3) \\[0.3em]
|
||
u_1(4) & u_2(4) & u_3(4) \\[0.3em]
|
||
u_1(5) & u_2(5) & u_3(5) \\[0.3em]
|
||
u_1(6) & u_2(6) & u_3(6)
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
每一行 $$i$$ 表示数据点 $$x_i$$ 在 **3 维低维嵌入空间中的表示**。
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||
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||
**假设得到的低维表示**（示例数值）：
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- $$x_1: \; (0.9,\ 0.2,\ 0.1)$$
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||
- $$x_2: \; (0.8,\ 0.3,\ 0.2)$$
|
||
- $$x_3: \; (-0.1,\ 0.8,\ 0.1)$$
|
||
- $$x_4: \; (-0.2,\ 0.7,\ 0.0)$$
|
||
- $$x_5: \; (0.1,\ -0.2,\ 0.9)$$
|
||
- $$x_6: \; (0.0,\ -0.1,\ 1.0)$$
|
||
|
||
---
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||
|
||
**5. 在低维空间上使用 k-means 聚类**
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利用 k-means 算法对 6 个数据点的 3 维向量进行聚类。
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||
在本例中，k-means 会尝试将点分为 3 类。
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||
根据上述低维表示，很容易看到：
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- 数据点 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 聚在一起；
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- 数据点 $$x_3$$ 和 $$x_4$$ 聚在一起；
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||
- 数据点 $$x_5$$ 和 $$x_6$$ 聚在一起。
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||
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最终得到的聚类结果：
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- 类1：$$\{x_1, x_2\}$$
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- 类2：$$\{x_3, x_4\}$$
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||
- 类3：$$\{x_5, x_6\}$$
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## **谱分解**
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一个对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $$n \times n$$ 的对称矩阵 $$A$$，其谱分解可以表示为：
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$$
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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其中，$$\lambda_i$$ 是矩阵 $$A$$ 的第 $$i$$ 个特征值，$$x_i$$ 是对应的特征向量。
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**推导过程**
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1. **特征值和特征向量的定义**
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对于一个对称矩阵 $$A$$，其特征值和特征向量满足：
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$$
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A x_i = \lambda_i x_i
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$$
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其中，$$\lambda_i$$ 是特征值，$$x_i$$ 是对应的特征向量。
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2. **谱分解**
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将这些特征向量组成一个正交矩阵 $$Q$$
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$$A = Q \Lambda Q^T$$
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Q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix},
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Q \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix}.
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$$
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Q \Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{bmatrix}.
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Q \Lambda Q^T = \lambda_1 x_1 x_1^T + \lambda_2 x_2 x_2^T + \cdots + \lambda_n x_n x_n^T.
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可以写为
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$$
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A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T.
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$$
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3. **网络重构**
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在随机网络中，网络的邻接矩阵 $$A$$ 通常是对称的。利用预测算法得到的谱参数 $$\{\lambda_i, x_i\}$$ 后，就可以用以下公式重构网络矩阵：
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$$
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A(G) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T
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$$
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