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动态图神经网络

如何对GAT的权重（$W$）和注意力参数（$a$）进行增量更新（邻居偶尔变化）

1. 核心思想

• 局部更新：邻居变化的节点及其直接邻域的权重和注意力参数需要调整，其他部分冻结。
• 梯度隔离：反向传播时，仅计算受影响节点的梯度，避免全局参数震荡。

---

2. 数学实现步骤

(1) 识别受影响的节点

设邻居变化后的新邻接矩阵为 $\tilde{A}$，原邻接矩阵为 $A$，受影响节点集合 \mathcal{V}_{\text{affected}} 包括：

• 新增或删除边的两端节点（直接受影响）。
• 这些节点的1-hop邻居（间接受影响，根据GAT层数决定）。

(2) 损失函数局部化

仅对 \mathcal{V}_{\text{affected}} 中的节点计算损失：

\mathcal{L}_{\text{incremental}} = \sum_{i \in \mathcal{V}_{\text{affected}}} \ell(y_i, \hat{y}_i)

其中 \ell 为交叉熵损失，y_i 为标签，\hat{y}_i 为模型输出。

(3) 梯度计算与参数更新

• 梯度掩码：
  反向传播时，非受影响节点的梯度强制置零：

  
  \nabla_{W,a} \mathcal{L}_{\text{incremental}} = \left\{ 
  \begin{array}{ll}
  \nabla_{W,a} \ell(y_i, \hat{y}_i) & \text{if } i \in \mathcal{V}_{\text{affected}} \\
  0 & \text{otherwise}
  \end{array} \right.
  

• 参数更新：
  使用优化器（如Adam）仅更新有梯度的参数：

  
  W \leftarrow W - \eta \nabla_W \mathcal{L}_{\text{incremental}}, \quad a \leftarrow a - \eta \nabla_a \mathcal{L}_{\text{incremental}}
  

  其中 \eta 为较小的学习率（防止过拟合）。

(4) 注意力权重的动态适应

GAT的注意力机制会自动适应新邻居：

\alpha_{ij} = \text{softmax}\left(\text{LeakyReLU}\left(a^T [W h_i \| W h_j]\right)\right)

由于 W 和 a 已局部更新，新邻居 j \in \tilde{\mathcal{N}}(i) 的权重 \alpha_{ij} 会重新计算。

3. 适用场景

• 低频变化：如社交网络每天新增少量边、论文引用网络月度更新。
• 局部变化：每次变化仅影响图中少量节点（<10%）。

若邻居高频变化（如秒级更新），需改用动态GNN（如TGAT）或时间序列建模。

EvolveGCN

EvolveGCN-H

1. EvolveGCN-H核心思想

EvolveGCN-H 通过 GRU（门控循环单元） 动态更新 GCN 每一层的权重矩阵 $W_t^{(l)}$，将权重矩阵视为 GRU 的 隐藏状态，并利用当前时间步的 节点嵌入（特征） 作为输入来驱动演化。
关键特点：

• 输入依赖：利用节点嵌入 H_t^{(l)} 指导权重更新。
• 时序建模：通过 GRU 隐式捕捉参数演化的长期依赖。

---

2. 动态更新流程（以第 l 层为例）

输入：

1. 当前节点嵌入矩阵 $H_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{n \times d}$：
2. 上一时间步的权重矩阵 $W_{t-1}^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$：
3. 邻接矩阵 $A_t \in \mathbb{R}^{n \times n}$：

输出：

1. 更新后的权重矩阵 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$。
2. 下一层节点嵌入 $H_t^{(l+1)} \in \mathbb{R}^{n \times d'}$。

---

3. 动态更新示意图

Time Step t-1                          Time Step t
+-------------------+                 +-------------------+
|  Weight Matrix    |                 |  Weight Matrix    |
|    W_{t-1}^{(l)}  |  --(GRU更新)--> |    W_t^{(l)}      |
+-------------------+                 +-------------------+
         ^                                      ^
         |                                      |
+-------------------+                 +-------------------+
|  Node Embeddings  |                 |  Node Embeddings |
|    H_t^{(l)}      |  --(GCN计算)--> |    H_t^{(l+1)}    |
+-------------------+                 +-------------------+
         ^                                      ^
         |                                      |
+-------------------+                 +-------------------+
|  邻接矩阵 A_t     |                 |  邻接矩阵 A_{t+1} |
| (显式输入)        |                 | (下一时间步输入)  |
+-------------------+                 +-------------------+

\begin{align*}
W_t^{(l)} &<= H_t^{(l)} + W_{t-1}^{(l)} \\
H_t^{(l+1)} &<= A_t + H_t^{(l)} + W_t^{(l)}
\end{align*}

4. 具体步骤分解

步骤 1：节点嵌入聚合（Summarize）

由于 GRU 的输入需与隐藏状态 W_{t-1}^{(l)} 的列维度匹配（即 $d'$），需将 H_t^{(l)} 从 n \times d 压缩为 d' \times d ：

Z_t = \text{Summarize}(H_t^{(l)}, d')

将会舍弃部分节点

实现方式（论文方案）：

1. 计算得分：

   
   y_t = H_t^{(l)} p / \|p\| \quad (p \in \mathbb{R}^d \text{为可学习参数})
   

   学一个“打分器”参数 $p$，$H_t^{(l)} p$相当于对每个节点的嵌入向量和 $p$做点积，得到一个分数。比如在社交网络中，p 可能代表“活跃度”，得分高的用户更活跃。

2. 选取 Top-d' 个节点（按 y_t 排序），加权求和：

   
   Z_t = [H_t^{(l)} \circ \tanh(y_t)]_{\text{top-}d'} \quad (\circ \text{为逐元素乘})
   

   • 输出 $Z_t \in \mathbb{R}^{d' \times d}$。

举个例子

假设：

• 有3个节点（$n=3$），嵌入维度 $d=2$，选Top-2个节点（$d'=2$）。

• 节点嵌入：

  
  H_t^{(l)} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad p = [1, 0]
  

  （p 只关注嵌入的第一维，比如“用户发帖数量”）

1. 计算分数：

   
    y_t = H_t^{(l)} p = [1 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0, \ 0.3 \cdot 1 + 2 \cdot 0, \ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 0] = [1, 0.3, -1] 
   

   Top-2节点是第1、第2个节点（分数1和0.3）。

2. 加权聚合：

   
    Z_t = \begin{bmatrix} [1, 0.5] \circ \tanh(1) \\ [0.3, 2] \circ \tanh(0.3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.76 & 0.38 \\ 0.09 & 0.58 \end{bmatrix} 
   

   （假设 \tanh(1) \approx 0.76, $\tanh(0.3) \approx 0.29$）

3. 输出：Z_t 是 2 \times 2 矩阵，可以直接喂给GRU。

步骤 2：GRU 更新权重矩阵

W_t^{(l)} = \text{GRU}(Z_t^T, W_{t-1}^{(l)})

标准GRU的输入、隐藏、输出都是向量，但这里都是矩阵！

当前时间步的输入：Z_t^T

上一时间步的隐藏状态：W_{t-1}^{(l)}

更新隐藏状态： W_t^{(l)}

标准GRU	论文中的矩阵GRU	作用
W_{xz} (输入→更新门)	W_Z	将当前输入 Z_t^T 映射到更新门。
W_{hz} (隐藏→更新门)	U_Z	将上一隐藏状态 W_{t-1}^{(l)} 映射到更新门。
b_z (更新门偏置)	B_Z	更新门的偏置项。
W_{xh} (输入→候选状态)	W_H	将当前输入 Z_t^T 映射到候选状态。
W_{hh} (隐藏→候选状态)	U_H	将调制后的隐藏状态 (R_t \circ W_{t-1}^{(l)}) 映射到候选状态。
b_h (候选状态偏置)	B_H	候选状态的偏置项。

GRU 的矩阵形式计算：

1. 重置门 $R_t$：控制历史信息的遗忘程度

   
   R_t = \sigma(Z_t^T W_Z + W_{t-1}^{(l)} U_Z + B_Z)
   

2. 更新门 $Z_t$：控制新旧状态混合比例

   
   U_t = \sigma(Z_t^T W_U + W_{t-1}^{(l)} U_U + B_U)
   

3. 候选状态 $\widetilde{W}_t$：

   
   \widetilde{W}_t = \tanh(Z_t^T W_H + (R_t \circ W_{t-1}^{(l)}) U_H + B_H)
   

4. 最终权重更新：

   
   W_t^{(l)} = (1 - U_t) \circ W_{t-1}^{(l)} + U_t \circ \widetilde{W}_t
   

   • 输出 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$。

步骤 3：GCN 生成下一层嵌入

使用更新的 W_t^{(l)} 执行标准 GCN 操作：

H_t^{(l+1)} = \sigma\left(\widehat{A}_t H_t^{(l)} W_t^{(l)}\right)

• \widehat{A}_t 为归一化邻接矩阵（含自环）。

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5. 关键设计细节

1. 权重共享：
   • 所有时间步共享同一 GRU 的参数（$W_, U_, B_*$），确保模型尺寸不随时间增长。
2. 层独立性：
   • 每一层 GCN 的权重矩阵独立演化（不同层有各自的 GRU）。
3. 特征与结构的协同：
   • 节点嵌入 H_t^{(l)} 既包含特征信息，也隐含历史结构信息（通过多层 GCN 传播），因此 GRU 能间接感知结构变化。

6. 所需提前训练的权重

参数类型	符号	维度	作用
GCN 初始权重	W_0^{(l)}	\mathbb{R}^{d \times d'}	初始时刻各层 GCN 的初始参数
GRU 输入变换矩阵	W_Z, W_R, W_H	\mathbb{R}^{d \times d'}	将输入 Z_t^T 映射到门控
GRU 隐藏变换矩阵	U_Z, U_R, U_H	\mathbb{R}^{d' \times d'}	将 W_{t-1}^{(l)} 映射到门控
GRU 偏置项	B_Z, B_R, B_H	\mathbb{R}^{d'}	门控和候选状态的偏置
Summarize 参数	p	\mathbb{R}^d	对特征进行打分，不同层$p$不一样
任务相关参数	例如 MLP 权重	任务相关	链接预测、节点分类等输出层

EvolveGCN-O

1. 核心思想

EvolveGCN-O 通过 LSTM 直接演化 GCN 的权重矩阵 $W_t^{(l)}$，将权重矩阵视为 LSTM的输出（下一时间步的输入），不依赖节点嵌入。
关键特点：

• 结构驱动：仅通过历史权重 W_{t-1}^{(l)} 预测当前权重，完全基于图结构的动态变化。
• 轻量化：无需处理节点嵌入，计算效率更高。

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2. 动态更新流程（第$l$层）

输入：

1. 上一时间步权重 W_{t-1}^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}
2. 邻接矩阵 $A_t \in \mathbb{R}^{n \times n}$（仅用于GCN计算）

输出：

1. 更新后权重 W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}
2. 下一层节点嵌入 H_t^{(l+1)} \in \mathbb{R}^{n \times d'}

3.具体步骤分解

步骤1：LSTM更新权重矩阵

矩阵版LSTM计算：

1. 遗忘门：
   F_t = \sigma(W_F W_{t-1}^{(l)} + U_F C_{t-1} + B_F)
2. 输入门：
   I_t = \sigma(W_I W_{t-1}^{(l)} + U_I C_{t-1} + B_I)
3. 候选状态：
   \widetilde{C}_t = \tanh(W_C W_{t-1}^{(l)} + U_C C_{t-1} + B_C)
4. 细胞状态更新：
   C_t = F_t \circ C_{t-1} + I_t \circ \widetilde{C}_t
5. 输出门：
   O_t = \sigma(W_O W_{t-1}^{(l)} + U_O C_{t-1} + B_O)
6. 最终权重输出：
   W_t^{(l)} = O_t \circ \tanh(C_t)

步骤2：GCN生成下一层嵌入

H_t^{(l+1)} = \sigma(\widehat{A}_t H_t^{(l)} W_t^{(l)})

4. 与EvolveGCN-H对比

特性	EvolveGCN-H	EvolveGCN-O
RNN类型	GRU	LSTM
演化依据	节点嵌入+历史权重	仅历史权重
计算复杂度	高（需Summarize）	低
适用场景	特征动态性强（如社交网络）	结构变化主导（如路由器拓扑）

TGAT

Bochner定理

Bochner定理为TGAT的连续时间编码提供了理论基础，使其能够将任意时间差映射为可学习的向量表示，从而在动态图中有效捕捉时序依赖。这一方法超越了传统离散编码的局限性，是TGAT的核心创新之一。

时间编码的构造

（1）Bochner 定理的数学形式

根据Bochner定理，任意正定时间核函数 f(\Delta t) 可表示为：

f(\Delta t) = \mathbb{E}_{\omega \sim \mu} \left[ e^{i \omega \Delta t} \right],

其中 e^{i \omega \Delta t} = \cos(\omega \Delta t) + i \sin(\omega \Delta t) 是复指数函数。

（2）蒙特卡洛近似 & 实值化

由于直接计算期望复杂，TGAT 用蒙特卡洛采样近似：

1. 从分布 \mu 中采样 d 个频率 $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_k$。

2. 用这些频率构造实值编码（取复指数的实部和虚部，即 \cos 和 $\sin$）：

   
   \Phi_d(\Delta t) = \frac{1}{\sqrt d}\bigl[\cos(\omega_1 \Delta t),\sin(\omega_1 \Delta t),\dots,\cos(\omega_d \Delta t),\sin(\omega_d \Delta t)\bigr]
   

   这样就把时间差转成了一个长度为 2d 的实值向量。

例子

取 $d=1$（此时时间编码向量就是二维的），有

\Phi_1(\Delta t)\;=\;\frac{1}{\sqrt1}\bigl[\cos(\omega_1\Delta t),\;\sin(\omega_1\Delta t)\bigr]
=\bigl[\cos(\omega_1\Delta t),\;\sin(\omega_1\Delta t)\bigr].

例如，若我们令 \omega_1=1 且 $\Delta t = \pi/3$，那么

\Phi_1\bigl(\pi/3\bigr)
=\bigl[\cos(\pi/3),\;\sin(\pi/3)\bigr]
=\bigl[0.5,\;0.866\!\dots\bigr].

所以在这个例子里，二维时间编码就是 $\bigl[0.5,;0.866]$。

为什么这样设计？

• 普通的图神经网络即使有时间戳，也只能把它当作一个离散特征，很难推广到模型没见过的时刻。TGAT通过把相对时间差 \Delta t 映射成一组连续、周期性的函数值 (\cos(\omega_1 \Delta t),\sin(\omega_1 \Delta t)),让模型天然具备处理任意实数时间差的能力。
• 用一堆正余弦函数来编码时间，使得时间特征是平滑连续的
• 节点对邻居信息的关注度不仅由节点特征决定，也由时间编码决定。模型可以自动学出“距离现在越近的交互越重要”“一周前的活动强度要比一个月前的活动强度高”之类的规律。
• 可学习性：频率参数{ωᵢ}可以通过训练优化（例如让模型自动学习“短期交互”和“长期交互”的不同时间尺度）。

需要维护的数据：

1. 全量事件日志（事件流）
   整个动态图被表示成一条“事件流”──每一条事件是一个三元组

   
   (u, v, t)
   

   表示节点 u 和节点 v 在时刻 t 上发生了一次交互。训练／推断时，TGAT 会遍历这条有时间戳的边列表，按时间顺序对每个目标节点做消息聚合。

2. 每个节点的历史邻居列表
   为了快速地找到“截止当前时刻 $t$，某节点 v 最近接触过哪些节点”，TGAT 通常会为每个节点维护一个按时间排序的邻居列表：

   
     \mathit{Nbrs}(v) \;=\; [(u_1,t_1),\,(u_2,t_2),\,\dots]
   

   其中每个 (u_i, t_i) 表示节点 u_i 在时间 t_i 与 v 交互过。这样，给定当前时间 $t$，就可以高效地检索出所有满足 t_i < t 的历史交互。

3. 每层的节点隐藏状态
   TGAT 是一个多层（multi-layer）注意力网络，在第 l 层它会产生每个节点在各个时间点的隐藏表示

   
     \tilde h_v^{(l)}(t)\,.
   

   为了在更高层次继续聚合，这些中间表示需要被缓存下来，至少要保存上一次（前一层）计算出的向量，才能和后续的时间编码一起拼接、送入下一层注意力。

4. 时间编码的频率参数
   TGAT 中的 ${\omega_k}_{k=1}^d$（映射 \Delta t\mapsto [\cos(\omega_k\Delta t),\sin(\omega_k\Delta t)] 用的频率向量）是模型的可学习参数，也需要存储。

工作原理

1.检索时间邻居

从事件流中取出所有在 t 之前与 v_0 有过交互的节点集合以及交互的时间 $t_i$。

\mathcal{N}(v_0; t) = \{ v_i \mid \exists (v_0, v_i, t_i) \in \mathcal{E}, t_i < t \}

实际实现中，TGAT通过以下两种策略避免邻居集合无限膨胀：

（1）时间窗口截断

• 仅保留目标时间 t 的最近 \Delta T 时间内的交互节点（例如过去7天的邻居）。

• 数学表达：

  
  \mathcal{N}(v_0; t) = \{ v_i \mid (v_0, v_i, t_i) \in \mathcal{E}, t - \Delta T \leq t_i < t \}
  

（2）邻居采样（Neighborhood Sampling）

• 即使在一个时间窗口内，如果邻居数量过多（例如社交网络中的活跃用户），TGAT会随机采样固定数量的邻居（如最多20个）。

2.准备输入特征＋时间编码

在 TGAT 模型中，每一层都需要计算隐藏表示：

在第 l 层里，既要计算目标节点 v_0 在当前时刻 t 的隐藏表示 $\tilde{h}_0^{(l-1)}(t)$，也要计算它的每个邻居 v_i 在各自交互时刻 t_i 的隐藏表示 $\tilde{h}_i^{(l-1)}(t_i)$。

• 若 $l=1$，则将原始静态特征 x_i 作为第 0 层隐藏表示 $\tilde h_i^{(0)}(t_i)$；
• 若 $l>1$，则使用第 (l-1) 层计算出的隐藏表示 $\tilde h_i^{(l-1)}(t_i)$。
  对每个邻居 v_i 计算相对时间差 $\Delta t_i = t - t_i$，再通过

  \Phi_d(\Delta t_i) = \tfrac1{\sqrt d}\bigl[\cos(\omega_1\Delta t_i),\sin(\omega_1\Delta t_i),\dots\bigr]

得到长度为 2d 的时间编码向量。对目标节点自身，使用 \Delta t=0 的时间编码。

3.拼接构建"实体—时间"矩阵

Z(t) =
  \begin{bmatrix}
    \tilde h_0^{(l-1)}(t)\,\|\,\Phi_d(0)\\
    \tilde h_1^{(l-1)}(t_1)\,\|\,\Phi_d(\Delta t_1)\\
    \;\;\vdots\\
    \tilde h_N^{(l-1)}(t_N)\,\|\,\Phi_d(\Delta t_N)
  \end{bmatrix}

其中 \Delta t_i=t-t_i ，这里 v_0 一共有 N 个节点。可能存在同一时间有多个交互的节点。

4. 线性映射到 Query/Key/Value

分别用三组可学习的线性变换把 Z(t) 投影出

  Q = Z(t)W^Q,\quad
  K = Z(t)W^K,\quad
  V = Z(t)W^V

其中 Q 取第一行（目标节点），K,V 取其余行。

5.计算注意力权重

对每个邻居 i 计算

  \alpha_i \;=\;\frac{\exp\bigl(Q^\top K_i\bigr)}{\sum_j\exp\bigl(Q^\top K_j\bigr)}\,,

这样就能在同一时刻、同一节点间对「谁更重要」自动打分。

6.加权求和生成聚合向量

h^{(l)}(t)\;=\;\sum_{i\in N(v_0;t)}\alpha_i\,V_i\quad\in\mathbb{R}^{d_h}.

7.与目标节点静态特征融合并通过 FFN

把聚合向量 h^{(l)}(t) 和目标节点的原始特征 x_0 拼接，送入两层前馈网络：

\tilde h_0^{(l)}(t)
  = \mathrm{FFN}\bigl(h^{(l)}(t)\,\|\,x_0\bigr)
  = \mathrm{ReLU}\Bigl(\bigl[h^{(l)}(t)\parallel x_0\bigr] W_0^{(l)} + b_0^{(l)}\Bigr) W_1^{(l)} + b_1^{(l)}

这样就得到了第 l 层节点 v_0 在时刻 t 的最终输出表示。

FFN 并不是只在最后一层使用，而是在每一层注意力聚合后都要执行，以产生该层的节点时刻表示。

8.多头与多层堆叠

• 如果使用多头注意力，则在步骤 4–6 中并行做 k 组不同投影，得出 ${h^{(l,i)}(t)}_{i=1}^k$，再将它们拼接后送入 FFN；
• 堆叠 L 层上述流程，就能把多跳（L 跳）邻居信息聚合进来。

总结：每个节点，动态融合节点自身及其邻居在不同时间点的嵌入，其中这些嵌入都显式编码了时间信息。

不同层之间的嵌入维度可以不同，但同一层内所有时间步的嵌入维度必须保持一致。

举例

假设目标节点 v_0 在时间 t=10 需要聚合历史邻居，其中：

$t=10$时$v_0$的特征：\tilde{h}_0(t=10)=[0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]

• 在时间 $t_1=8$，v_0 与邻居 \{v_{1}, v_{2}\} 交互。

  • v_1 的特征：\tilde{h}_1(t=8) = [0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]

  • v_2 的特征：\tilde{h}_2(t=8) = [0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6]

• 在时间 $t_2=5$，v_0 与邻居 \{v_{3}\} 交互。

  • v_3 的特征：\tilde{h}_3(t=5) = [1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5]

时间编码（d_T=2, $\omega_1=1$）：

• \Phi_{d_T}(10-8=2) = [\cos(2), \sin(2)] \approx [-0.42, 0.91]
• \Phi_{d_T}(10-5=5) = [\cos(5), \sin(5)] \approx [0.28, -0.96]
• \Phi_{d_T}(0) = [1, 0]

将每个邻居的特征与对应时间编码拼接：

Z(10) = \begin{bmatrix}
\tilde{h}_0(10) \| \Phi_{d_T}(0) \\
\tilde{h}_1(8) \| \Phi_{d_T}(2) \\
\tilde{h}_2(8) \| \Phi_{d_T}(2) \\
\tilde{h}_3(5) \| \Phi_{d_T}(5)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 1, 0 \\
0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, -0.42, 0.91 \\
0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, -0.42, 0.91 \\
1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 0.28, -0.96
\end{bmatrix}_{4 \times 7}

注意力权重计算:

1.投影矩阵参数（简化示例，设 d_h = 3,真实情况由训-练得来）：

W_Q = W_K = \begin{bmatrix}
0.1 & 0.2 & 0.3 \\
0.4 & 0.5 & 0.6 \\
0.7 & 0.8 & 0.9 \\
1.0 & 1.1 & 1.2 \\
1.3 & 1.4 & 1.5 \\
0.2 & 0.3 & 0.4 \\
0.5 & 0.6 & 0.7
\end{bmatrix}_{7 \times 3}, \quad
W_V = \begin{bmatrix}
0.3 & 0.4 & 0.5 \\
0.6 & 0.7 & 0.8 \\
0.9 & 1.0 & 1.1 \\
1.2 & 1.3 & 1.4 \\
1.5 & 1.6 & 1.7 \\
0.1 & 0.2 & 0.3 \\
0.4 & 0.5 & 0.6
\end{bmatrix}_{7 \times 3}

2.计算 Query/Key/Value：

• Query（目标节点 $v_0$）：

q(10) = [Z(10)]_0 W_Q = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 1, 0] \cdot W_Q = [2.38, 2.76, 3.14]

• Keys（邻居节点）：

  
  K(10) = [Z(10)]_{1:3} W_K = \begin{bmatrix}
  0.6 & 0.7 & 0.8 & 0.9 & 1.0 & -0.42 & 0.91 \\
  0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & -0.42 & 0.91 \\
  1.1 & 1.2 & 1.3 & 1.4 & 1.5 & 0.28 & -0.96
  \end{bmatrix} \cdot W_K = \begin{bmatrix}
  3.22 & 3.68 & 4.14 \\
  1.82 & 2.18 & 2.54 \\
  4.18 & 4.64 & 5.10
  \end{bmatrix}
  

• Values（邻居节点）：

  
  V(10) = [Z(10)]_{1:3} W_V = \begin{bmatrix}
  3.52 & 3.92 & 4.32 \\
  2.12 & 2.42 & 2.72 \\
  4.48 & 4.88 & 5.28
  \end{bmatrix}
  

3.计算注意力权重

• 计算未归一化分数（缩放因子 $\sqrt{d_h} = \sqrt{3} \approx 1.732$）：

\text{scores} = \frac{q(10) K(10)^\top}{\sqrt{3}} = \frac{[2.38, 2.76, 3.14] \cdot \begin{bmatrix}3.22 & 1.82 & 4.18 \\ 3.68 & 2.18 & 4.64 \\ 4.14 & 2.54 & 5.10\end{bmatrix}}{1.732}\approx [18.46, 10.56, 21.40]

• Softmax 归一化：

  
  \alpha = \text{softmax}([18.46, 10.56, 21.40]) = [2.4 \times 10^{-2}, 1.6 \times 10^{-5}, 0.976]
  

4.加权求和生成聚合向量

h(10) = \sum_{i=1}^3 \alpha_i V_i = 0.024 \cdot \begin{bmatrix}3.52 \\ 3.92 \\ 4.32\end{bmatrix} + 1.6 \times 10^{-5} \cdot \begin{bmatrix}2.12 \\ 2.42 \\ 2.72\end{bmatrix} + 0.976 \cdot \begin{bmatrix}4.48 \\ 4.88 \\ 5.28\end{bmatrix}\approx [4.48, 4.88, 5.28]

5.节点嵌入更新

1.拼接操作

z=[h(10) \| x_0] = [4.48, 4.88, 5.28, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]

2. FFN参数设置

FFN 包含两层：

\tilde{h}_0^{(l)}(10)=\text{FFN}(z) = \text{ReLU}(z W_0 + b_0) W_1 + b_1

需提前训练的参数

参数名称	符号	维度	来源层	作用
时间编码频率参数	\omega_1,\dots,\omega_{d_T}	d_T\times1	全模型	控制功能性时间编码基频率，用于生成 \Phi_{d_T}(\Delta t)
Query 投影矩阵	W_Q^{(l)}	(d_h + d_T)\times d_h	第 l 层	将拼接后的"隐藏表示＋时间编码"映射为 Query 向量
Key 投影矩阵	W_K^{(l)}	(d_h + d_T)\times d_h	第 l 层	将拼接后的"隐藏表示＋时间编码"映射为 Key 向量
Value 投影矩阵	W_V^{(l)}	(d_h + d_T)\times d_h	第 l 层	将拼接后的"隐藏表示＋时间编码"映射为 Value 向量
FFN 第一层权重	W_0^{(l)}	(d_h + d_0)\times d_f	第 l 层 FFN	拼接向量 [\,h^{(l)}(t)\,\|\,x_0\,] 的第一层线性变换
FFN 第一层偏置	b_0^{(l)}	d_f	第 l 层 FFN	第一层线性偏置
FFN 第二层权重	W_1^{(l)}	d_f\times d	第 l 层 FFN	第二层线性变换，生成本层最终节点表示
FFN 第二层偏置	b_1^{(l)}	d	第 l 层 FFN	第二层线性偏置

每个节点运行的模型是一样的QKV这些参数都是一样的。

运行过程中这些训练好的参数不会变化，模型的动态性体现在：

• 维护全局事件流；当新的边 (u, v, t) 加入或旧的边变得不再被采样时，下一次你对某个节点做推理时，检索到的邻居集合就不一样；
• 时间编码会根据新的 \Delta t 动态计算；
• 注意力权重 \alpha_i 会重新分配，FFN 也会基于新的聚合结果给出新的输出。

节点是否需要交互（是否需要全局信息）

• 如果节点仅关注自己的特征更新以及任务，仅需维护：

  从事件流中取出所有在 t 之前与 v_0 有过交互的节点集合以及交互的时间 $t_i$。

  
  \mathcal{N}(v_0; t) = \{ v_i \mid \exists (v_0, v_i, t_i) \in \mathcal{E}, t_i < t \}
  

• 如果节点还关注其他节点的特征更新及任务，需要知道全局事件流 (若干时刻邻接矩阵转化而来)