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高飞论文

证明特征值序列为平稳的时间序列

问题设定

  • 研究对象
    设 \{\lambda_1(A)_t\}_{t\in\mathbb Z} 是随时间变化的随机对称矩阵 A_t 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。
  • 目标
    证明 \{\lambda_1(A)_t\} 是 二阶（弱）平稳的时间序列，即
    1. $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 t 无关）；
    2. $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 t 无关）；
    3. \operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k) 只依赖滞后 $k$。

关键假设

  • 矩阵统计特性（引理 1）

    • A_t 为 N\times N 实对称随机矩阵；元素 \{a_{ij}\}_{i\le j} 相互独立且有界：$|a_{ij}|\le K$。

    • 非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。

    • N 足够大时

      
E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad
\operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 .

说明：

  • $\sigma^2$
    这是随机矩阵 A_t 的非对角线元素 a_{ij} (i \neq j) 的方差，即

    
\text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2.

    根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。

  • $\sigma_1^2$
    这是最大特征值 \lambda_1(A_t) 的方差，即

    
\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2.

    当 N 足够大时，\sigma_1^2 近似为 $2\sigma^2$。

  • 时间序列模型
    对去中心化序列

    
  \tilde z_t:=\lambda_1(A)_t-\mu_1

    假设其服从 AR(1)

    
  \tilde z_t=\rho\,\tilde z_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad
  \varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1,

    且 \varepsilon_t 与历史 \{\tilde z_{s}\}_{s<t} 独立。

证明主特征值序列平稳

(1) 均值恒定性的推导

  • 去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此 
    
  E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1,
    与 t 无关，满足第一条。

(2) 方差恒定

AR(1)模型定义为：


z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t


\begin{aligned}
z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\
&= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\
&= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\
&= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j}
\end{aligned}


\text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j})

由于\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2 对所有 j 成立，


= \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}
  • $|\rho| < 1$ 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。

根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：


\sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2

此时：


\text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2

(3) 协方差仅依赖滞后 $k$

对 $k\ge0$，


  \gamma(k):=\operatorname{Cov}(\tilde z_t,\tilde z_{t-k})
            =\rho^{k}\sigma_{\tilde z}^{2},

仅含 k 而与 t 无关；于是


  \operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k),

满足第三条。

(4) 平稳性的核心条件

  1. |ρ| < 1 是关键条件
    • 直观上：\rho 越小，当前特征值对过去的依赖越弱；
    • \rho=\pm1 会让方差发散，不可能稳态。
  2. 噪声独立性：\varepsilon_t 为白噪声，确保新信息与历史无关。

证明剩余特征值平稳（大模型说不可取）：

1. 收缩操作（Deflation）的严格定义

设 A_t 的谱分解为：


A_t = \sum_{i=1}^N \lambda_i u_i u_i^\top,

其中 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_N$，且 \{u_i\} 是标准正交基。

  • 第一次收缩：
    定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为：

    • 特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 \lambda_1 后剩余特征值不变）。
    • 特征向量：u_2, \dots, u_N 保持不变（因 u_1 与其他特征向量正交）。

  • 第 k 次收缩：
    递归定义：

    
A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top,

    剩余矩阵 A_{t,k+1} 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。

每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。

2. 剩余特征值的统计特性

目标：证明 \{\lambda_k(A_t)\}_{t \in \mathbb{Z}} 对 k \geq 2 也是弱平稳的。

(1) 均值恒定性

  • 剩余矩阵的期望：
    由线性性：

    
E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top].

    若 A_t 的元素分布时不变，且 \lambda_i 和 u_i 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 E[A_{t,k+1}] 与 t 无关。

  • 特征值期望：
    对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 \lambda_{k+1}(A_t) 的期望近似为：

    
E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1},

    其中 (N-k-1)\mu 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。

(2) 方差恒定性

  • 剩余矩阵的方差：
    收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 A_{t,k+1} 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。
    由引理1的推广：

    
\text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2.

  • 动态模型：
    假设去中心化序列 \tilde{z}_{k+1,t} = \lambda_{k+1}(A_t) - \mu_{k+1} 服从AR(1)：

    
\tilde{z}_{k+1,t} = \rho_{k+1} \tilde{z}_{k+1,t-1} + \varepsilon_{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1,

    稳态方差为：

    
\sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2 = \frac{\sigma_{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2.
(3) 协方差仅依赖滞后 $m$
  • 协方差函数： 
    
\gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}_{k+1,t}, \tilde{z}_{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2.
    仅依赖 $m$，与 t 无关。

3. 递推证明的完整性

  1. 归纳基础：
    k=1 时（主特征值），平稳性已证。

  2. 归纳假设：
    假设 \lambda_k(A_t) 的平稳性成立，即：

    • $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数），
    • $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限），
    • $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。

  3. 归纳步骤：

    • 通过收缩操作，\lambda_{k+1}(A_t) 成为 A_{t,k+1} 的主特征值。
    • 若 A_{t,k+1} 满足与 A_t 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 \lambda_{k+1}(A_t) 的平稳性可类比主特征值的证明。

JB-test

JB-test（Jarque-Bera test） 是一种用于检验样本数据是否服从正态分布的统计假设检验方法。这个检验特别适用于判断数据的偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是否符合正态分布的特性。

正态分布具有以下特性：

  • 偏度（Skewness） 为 $0$，表示数据的分布是对称的。
  • 峰度（Kurtosis） 为 $3$，表示数据的峰度是"中等"的。

JB-test的统计量

Jarque-Bera统计量的计算公式为：


JB = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K - 3)^2}{4} \right)

其中：

  • n 是样本的大小。
  • S 是样本的偏度（skewness），衡量分布的对称性。
  • K 是样本的峰度（kurtosis），衡量分布的尖峭程度。

JB-test的分布和检验步骤

  • 零假设（$H_0$）：数据服从正态分布。
  • 备择假设（$H_1$）：数据不服从正态分布。

在进行检验时，首先计算 JB 统计量，然后将其与卡方分布进行比较：

  • JB 统计量的分布近似于自由度为 2 的卡方分布（当样本量较大时）。
  • 如果 JB 统计量的值大于临界值（根据设定的显著性水平，比如 $0.05$），则拒绝零假设，即认为数据不符合正态分布。
  • 如果 JB 统计量的值小于临界值，则无法拒绝零假设，即认为数据服从正态分布。

结论

  • 如果 JB 统计量接近 $0$，说明数据的偏度和峰度与正态分布的期望非常接近，数据可能符合正态分布。
  • 如果 JB 统计量远离 $0$，则说明数据的偏度或峰度与正态分布的特征差异较大，数据不符合正态分布。

特征值精度预估

1. 噪声随机变量与协方差

符号 含义
w_i 第 i 个过程噪声样本
v_j 第 j 个观测噪声样本
Q 过程噪声的真实方差（协方差矩阵退化）
R 观测噪声的真实方差（协方差矩阵退化）

说明：

  • 在矩阵形式的 Kalman Filter 中，通常写作

    
  w_k\sim\mathcal N(0,Q),\quad v_k\sim\mathcal N(0,R).

  • 这里为做统计检验，把 w_i, v_j 当作样本，Q,R 就是它们在标量情况下的方差。

2. 样本统计量

符号 含义
N_w,\;N_v 过程噪声样本数和观测噪声样本数
\bar w 过程噪声样本均值
\bar v 观测噪声样本均值
s_w^2 过程噪声的样本方差估计
s_v^2 观测噪声的样本方差估计

定义：


\bar w = \frac1{N_w}\sum_{i=1}^{N_w}w_i,\quad
s_w^2 = \frac1{N_w-1}\sum_{i=1}^{N_w}(w_i-\bar w)^2,


\bar v = \frac1{N_v}\sum_{j=1}^{N_v}v_j,\quad
s_v^2 = \frac1{N_v-1}\sum_{j=1}^{N_v}(v_j-\bar v)^2.

3. 方差比的 F 分布区间估计

  1. 构造 F 统计量

    
F = \frac{(s_w^2/Q)}{(s_v^2/R)}
    = \frac{s_w^2}{s_v^2}\,\frac{R}{Q}
    \sim F(N_w-1,\,N_v-1).

  2. 置信区间（置信度 $1-\alpha$）
    查得

    
F_{L}=F_{\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),\quad
  F_{U}=F_{1-\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),

    则

    
\begin{align*}
P\Big\{F_{\rm L}\le F\le F_{\rm U}\Big\}=1-\alpha \quad\Longrightarrow \quad P\Big\{F_{\rm L}\,\le\frac{s_w^2}{s_v^2}\,\frac{R}{Q}\le F_{\rm U}\,\Big\}=1-\alpha.
\end{align*}

  3. 解出 \frac{R}{Q} 的区间

    
P\Bigl\{\,F_{L}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\le \frac{R}{Q}\le F_{U}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\Bigr\}=1-\alpha.

    令

    
  \theta_{\min}=\sqrt{\,F_{L}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\,},\quad
  \theta_{\max}=\sqrt{\,F_{U}\,\frac{s_v^2}{s_w^2}\,}.

4. 卡尔曼增益与误差上界

在标量情况下（即状态和观测均为1维），卡尔曼增益公式可简化为：


K = \frac{P_k H^T}{HP_k H^T + R} = \frac{HP_k}{H^2 P_k + R}

针对我们研究对象，特征值滤波公式的系数都属于实数域。$P_{k-1}$是由上次迭代产生，因此可以$FP_{k-1}F^T$看作定值，则$P_k$的方差等于$Q$的方差，即：


\text{var}(P_k) = \text{var}(Q)

令 c = H, $m = 1/H$（满足 $cm = 1$），则：


K = \frac{cP_k}{c^2 P_k + R} = \frac{1}{c + m(R/P_k)} \quad R/P_k\in[\theta_{\min}^2,\theta_{\max}^2].

则极值为


K_{\max}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\min}^2},\quad
K_{\min}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\max}^2}.

通过历史数据计算预测误差的均值：


E(x_k' - x_k) \approx \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} (x_k^{l(m)} - x_k^{(m)})\\

定义误差上界


\xi
=\bigl(K_{\max}-K_{\min}\bigr)\;E\bigl(x_k'-x_k\bigr)
=\Bigl(\tfrac1{c+m\,\theta_{\min}^2}-\tfrac1{c+m\,\theta_{\max}^2}\Bigr)
\,E(x_k'-x_k).

若令 $c,m=1$，可写成


\xi
=\frac{(\theta_{\max}-\theta_{\min})\,E(x_k'-x_k)}
      {(c^2+\theta_{\min})(c^2+\theta_{\max})}.

量化噪声方差估计的不确定性，进而评估卡尔曼滤波器增益的可能波动，并据此给出滤波误差的上界.

基于时空特征的节点位置预测

在本模型中，整个预测流程分为两大模块：

  • GCN 模块：主要用于从当前网络拓扑中提取每个节点的空间表示**。这里的输入主要包括：

    • 邻接矩阵 $A$：反映网络中节点之间的连通关系，维度为 $N \times N$，其中 N 表示节点数。(可通过第二章网络重构的方式获取)
    • 特征矩阵 $H^{(0)}$：一般是原始节点的属性信息，如历史位置数据，其维度为 $N \times d$，其中 d 是初始特征维度。

  • LSTM 模块：用于捕捉节点随时间变化的动态信息，对每个节点的历史运动轨迹进行序列建模，并预测未来时刻的坐标。
    其输入通常是经过 GCN 模块处理后，每个节点在一段时间内获得的时空融合特征序列，维度一般为 $N \times T \times d'$，其中 T 表示时间步数，d' 是经过 GCN 后的特征维度。

GCN 模块

输入

  • 邻接矩阵 $A$：维度 $N \times N$。在实际操作中，通常先加上自环形成

    
\hat{A} = A + I.

  • 特征矩阵 $H^{(0)}$：维度 $N \times d$，每一行对应一个节点的初始特征（例如历史采样的位置信息或其他描述）。

图卷积操作

常用的图卷积计算公式为：


H^{(l+1)} = \sigma \Bigl(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)} \Bigr)

其中：

  • \tilde{A} = A + I 为加上自环后的邻接矩阵，
  • \tilde{D} 为 \tilde{A} 的度矩阵，定义为 $\tilde{D}{ii} = \sum{j}\tilde{A}_{ij}$；
  • H^{(l)} 表示第 l 层的节点特征，初始时 H^{(0)} 就是输入特征矩阵；
  • W^{(l)} 是第 l 层的权重矩阵，其维度通常为 $d_l \times d_{l+1}$（例如从 d 到 $d'$）；
  • \sigma(\cdot) 是非线性激活函数，例如 ReLU 或 tanh。

经过一层或多层图卷积后，可以得到最终的节点表示矩阵 $H^{(L)}$（或记为 $X$），维度为 $N \times d'$。
其中：

  • 每一行 x_i \in \mathbb{R}^{d'} 表示节点 i 的空间特征，这些特征综合反映了其在网络拓扑中的位置及与邻居的关系。

输出

  • GCN 输出：形状为 $N \times d'$；若将模型用于时序建模，则对于每个时间步，都可以得到这样一个节点特征表示。
  • 这里 d'>d 。1.高维嵌入不仅保留了绝对位置信息，还包括了网络拓扑信息。2.兼容下游LSTM任务需求。

LSTM 模块

输入数据构造

在时序预测中，对于每个节点，我们通常有一段历史数据序列。假设我们采集了最近 T 个时刻的数据，然后采用“滑动窗口”的方式，预测 $T+1$、 T+2...

  • 对于每个时刻 $t$，节点 i 的空间特征 x_i^{(t)} \in \mathbb{R}^{d'} 由 GCN 得到；

  • 将这些特征按照时间顺序排列，得到一个序列：

    
X_i = \bigl[ x_i^{(t-T+1)},\, x_i^{(t-T+2)},\, \dots,\, x_i^{(t)} \bigr] \quad \in \mathbb{R}^{T \times d'}.

对于整个网络来说，可以将数据看作一个三维张量，维度为 $(N, T, d')$。

LSTM 内部运作

LSTM 通过内部门控机制（遗忘门 $f_t$、输入门 i_t 和输出门 $o_t$）来更新其记忆状态 C_t 和隐藏状态 $h_t$。公式如下

  • 遗忘门：

    
f_t = \sigma(W_f [h_{t-1},\, x_t] + b_f)

  • 输入门和候选记忆：

    
i_t = \sigma(W_i [h_{t-1},\, x_t] + b_i) \quad,\quad \tilde{C}_t = \tanh(W_C [h_{t-1},\, x_t] + b_C)

  • 记忆更新：

    
C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t

  • 输出门和隐藏状态：

    
o_t = \sigma(W_o [h_{t-1},\, x_t] + b_o), \quad h_t = o_t \odot \tanh(C_t)

其中，x_t 在这里对应每个节点在时刻 t 的 GCN 输出特征；
[h_{t-1},\, x_t] 为连接后的向量；

LSTM 的隐藏状态 $h_i \in \mathbb{R}^{d'' \times 1}$（其中 d'' 为 LSTM 的隐藏单元数）捕捉了时间上的依赖信息。

输出与预测

最后，经过 LSTM 处理后，我们在最后一个时间步获得最终的隐藏状态 h_t 或使用整个序列的输出；接着通过一个全连接层（FC层）将隐藏状态映射到最终的预测输出。

  • 全连接层转换公式： 
    
\hat{y}_i = W_{\text{fc}} \cdot h_t + b_{\text{fc}}

其中，假设预测的是二维坐标（例如 x 和 y 坐标），$W_{\text{fc}} \in \mathbb{R}^{2 \times d''}$，输出 \hat{y}_i \in \mathbb{R}^2 表示节点 i 在未来某个时刻（或下一时刻）的预测坐标。

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若整个网络有 N 个节点，则最终预测结果的输出维度为 $N \times 2$（或 $N \times T' \times 2$，如果预测多个未来时刻）。

疑问

该论文可能有点问题，每个节点只能预测自身未来位置，无法获取全局位置信息。如果先LSTM后GCN可能可以！