md_files/ZY网络重构分析.md at fb3525c12df39bf24c970a80f74fd5cad476e017

zy123/md_files

Fork 0

zhangsan fb3525c12d Commit on 2025/05/14 周三 13:59:24.57

2025-05-14 13:59:24 +08:00

9.8 KiB

Raw Blame History

如何确定kmeans的簇数？节点之间的流量，空间转为时间的图。

压缩感知函数拟合采样定理傅里叶变换

谱分解与网络重构

实对称矩阵性质：

对于任意 n \times n 的实对称矩阵 $A$：

秩可以小于 $n$（即存在零特征值，矩阵不可逆）。
但仍然有 n 个线性无关的特征向量（即可对角化）。

一个实对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 n \times n 的对称矩阵 $A$，

完整谱分解可以表示为：


A = Q \Lambda Q^T \\
A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T

$Q$是$n \times n$的正交矩阵，每一列是一个特征向量；$\Lambda$是$n \times n$的对角矩阵，对角线元素是特征值\lambda_i ，其余为0。

其中，\lambda_i 是矩阵 A 的第 i 个特征值，x_i 是对应的特征向量。

事实上，如果矩阵 A 的秩为 r ,就只需要用前 r 个特征值和特征向量就可以精确重构出。因为零特征值对矩阵重构不提供任何贡献。

截断的谱分解（取前 r 个特征值和特征向量）

如果我们只保留前 r 个最大的（或最重要的）特征值和对应的特征向量，那么：

特征向量矩阵 $U_r$：取 U 的前 r 列，维度为 $n \times r$。
特征值矩阵 $\Lambda_r$：取 \Lambda 的前 r \times r 子矩阵（即前 r 个对角线元素），维度为 $r \times r$。

因此，截断后的近似分解为：


A \approx U_r \Lambda_r U_r^T\\
A \approx \sum_{i=1}^{r} \lambda_i x_i x_i^T

推导过程

特征值和特征向量的定义
对于一个对称矩阵 $A$，其特征值和特征向量满足：


A x_i = \lambda_i x_i

其中，\lambda_i 是特征值，x_i 是对应的特征向量。

谱分解
将这些特征向量组成一个正交矩阵 Q

A = Q \Lambda Q^T


   Q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix},


   Q \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix}.


   Q \Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{bmatrix}.


   Q \Lambda Q^T = \lambda_1 x_1 x_1^T + \lambda_2 x_2 x_2^T + \cdots + \lambda_n x_n x_n^T.

可以写为


   A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T.

网络重构
在随机网络中，网络的邻接矩阵 A 通常是对称的。利用预测算法得到的谱参数 \{\lambda_i, x_i\} 后，就可以用以下公式重构网络矩阵：


A(G) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T

性质	特征分解/谱分解	奇异值分解（SVD）
适用矩阵	仅限方阵（$n \times n$）	任意矩阵（$m \times n$，包括矩形矩阵）
分解形式	`A = P \Lambda P^{-1}`	`A = U \Sigma V^*`
矩阵类型	可对角化矩阵（如对称、正规矩阵）	所有矩阵（包括不可对角化的方阵和非方阵）
输出性质	特征值（$\lambda_i$）可能是复数	奇异值（$\sigma_i$）始终为非负实数
正交性	仅当 `A` 正规时 `P` 是酉矩阵	`U` 和 `V` 始终是酉矩阵（正交）

谱分解的对象为实对称矩阵，

网络重构分析

基于扰动理论的特征向量估算方法

设原矩阵为 $A$，扰动后矩阵为 $A+\zeta C$（扰动矩阵 $\zeta C$，$\zeta$是小参数），令其第 i 个特征值、特征向量分别为 \lambda_i,x_i 和 $\tilde\lambda_i,\tilde x_i$。

特征向量的一阶扰动公式：


\Delta x_i
=\tilde x_i - x_i
\;\approx\;
\zeta \sum_{k\neq i}
\frac{x_k^T\,C\,x_i}{\lambda_i - \lambda_k}\;x_k,

输出：对应第 i 个特征向量修正量 $\Delta x_i$。

特征值的一阶扰动公式：


\Delta\lambda_i = \tilde\lambda_i - \lambda_i \;\approx\;\zeta\,x_i^T\,C\,x_i

**关键假设：**当扰动较小（ $\zeta\ll1$）且各模态近似正交均匀时，常作进一步近似


x_k^T\,C\,x_i \;\approx\; x_i^T\,C\,x_i \;

正交： \{x_k\} 本身是正交基，这是任何对称矩阵特征向量天然具有的属性。

均匀：我们把 C 看作“不偏向任何特定模态”的随机小扰动——换句话说，投影到任何两个方向 (x_i,x_k) 上的耦合强度 x_k^T\,C\,x_i\quad\text{和}\quad x_i^T\,C\,x_i 在数值量级上应当差不多，因此可以互相近似。

因此，将所有的 x_k^T C x_i 替换为 $x_i^T C x_i$：


\Delta x_i \approx \zeta \sum_{k\neq i} \frac{x_i^T C x_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \zeta (x_i^T C x_i) \sum_{k\neq i} \frac{1}{\lambda_i - \lambda_k} x_k = \sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}


\Delta x_i \approx\sum_{k\neq i} \frac{\Delta \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_k} x_k \tag{*}

问题：

当前时刻的邻接矩阵


A^{(1)}\in\mathbb R^{n\times n},\qquad
  A^{(1)}\,x_i^{(1)}=\lambda_i^{(1)}\,x_i^{(1)},\quad \|x_i^{(1)}\|=1.

下一时刻的邻接矩阵
```
A^{(2)}\in\mathbb R^{n\times n},
```
已知它的第 i 个特征值 $\lambda_i^{(2)}$（卡尔曼滤波得来）. 求当前时刻的特征向量 $x_i^{(2)}$。

下一时刻第 i 个特征向量的预测为


\boxed{
x_i^{(2)}
\;=\;
x_i^{(1)}+\Delta x_i
\;\approx\;
x_i^{(1)}
+\sum_{k\neq i}
\frac{\lambda_i^{(2)}-\lambda_i^{(1)}}
     {\lambda_i^{(1)}-\lambda_k^{(1)}}\;
x_k^{(1)}.
}

通过该估算方法可以依次求出下一时刻的所有特征向量。

矩阵符号说明

原始（真实）邻接矩阵：


A = \sum_{m=1}^n \lambda_m\,x_m x_m^T,
  \quad \lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n\;

滤波估计得到的矩阵及谱分解：


\widetilde A = \sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,
  \quad \widetilde\lambda_1\ge\cdots\ge\widetilde\lambda_n\;

只取前 r 项重构：


A_r \;=\;\sum_{m=1}^r \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T,

对 A_r 进行K-means聚类，得到 A_{final}

目标是让 A_{final} = A

0/1矩阵

其中 \widetilde{\lambda}_i 和 \widetilde{x}_i 分别为通过预测得到矩阵 \widetilde A 的第 i 个特征值和对应特征向量。然而预测值和真实值之间存在误差，直接进行矩阵重构会使得重构误差较大。对于这个问题，文献提出一种 0/1 矩阵近似恢复算法。


a_{ij} = 
\begin{cases}
1, & \text{if}\ \lvert a_{ij} - 1 \rvert < 0.5 \\
0, & \text{else}
\end{cases}

只要我们的估计值与真实值之间差距小于 0.5，就能保证阈值处理以后准确地恢复原边信息。

文中提出网络特征值扰动与邻接矩阵扰动具有相同的规律

真实矩阵 A 与预测矩阵 \widetilde{A} 之间的差为


A - \widetilde{A}=\sum_{m=1}^n \lambda_m\,x_m x_m^T-\sum_{m=1}^n \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T

若假设特征向量扰动可忽略，即\widetilde x_m\approx x_m ，扰动可简化为（这里可能有问题，特征向量的扰动也要计算）


A - \widetilde{A} = \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m \widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T.

对于任意元素 (i, j) 上有


|a_{ij} - \widetilde{a}_{ij}|=\left| \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m (\widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T)_{ij} \right|  < \frac{1}{2}

于一个归一化的特征向量 $\widetilde{x}_m$，其外积矩阵 \widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T 的元素理论上满足


|(\widetilde{x}_m \widetilde{x}_m^T)_{ij}| \leq 1.

经过分析推导可以得出发生特征扰动时，网络精准重构条件为：


\sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m < \frac{1}{2}


\Delta {\lambda} < \frac{1}{2n}

0-1 矩阵能够精准重构的容忍上界与网络中的节点数量成反比，网络中节点数量越多，实现精准重构的要求也就越高。

如果在高层次（特征值滤波）的误差累积超过了一定阈值，就有可能在低层次（邻接矩阵元素）中出现翻转。公式推导了只要谱参数的误差之和不超过 0.5，就可以保证0-1矩阵的精确重构。

非0/1矩阵

全局误差度量

对估计矩阵 \widetilde{A} 的所有元素 \{\tilde{a}_{ij}\} 进行 $K$-means 聚类，得到中心 ${c_k}_{k=1}^K$。

簇内平均偏差：


\text{mean}_k = \frac{1}{|\mathcal{S}_k|} \sum_{(i,j)\in\mathcal{S}_k} |\tilde{a}_{ij} - c_k|

全局允许误差：


\delta_{\max} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \text{mean}_k

带权重构需控制两类误差：

截断谱分解误差$\epsilon$：


\epsilon
= \bigl\|\widetilde A -  A_r\bigr\|_F
= \Bigl\|\sum_{m=r+1}^n \widetilde\lambda_m\,\widetilde x_m \widetilde x_m^T\Bigr\|_F.

滤波误差$\eta$：

来源：滤波器在谱域对真实特征值/向量的估计偏差，包括
- 特征值偏差 \Delta\lambda_m=\lambda_m-\widetilde\lambda_m
- 特征向量：矩阵扰动得来
```
A - \widetilde A=\sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m \hat{x}_m \hat{x}_m^T.
```
```
\eta \approx \Bigl\|\sum_{m=1}^n \Delta\lambda_m\,\widetilde x_m\widetilde x_m^T\Bigr\|_F
```

最终约束条件：


\boxed{
\underbrace{\eta}_{\text{滤波误差}}
\;+\;
\underbrace{\epsilon}_{\text{谱分解截断误差}}
\;\le\;
\underbrace{\delta_{\max}}_{\text{聚类量化容限}}
}

量化的间隔是不是就和分布有关，有无其他影响因素。

通信原理，采样量化。

压缩感知的话量化分隔不是均匀的。

假设都是破松分布

9.8 KiB Raw Blame History Unescape Escape